高数同济版第十二章幂级数

一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算§12.3幂级数2021/5/91一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.2021/5/92为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它2021/5/93例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数2021/5/94二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称(1)因为只要令则(1)成为收敛域2021/5/95发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:收敛,则必有于是存在常数M>0,使2021/5/96当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕2021/5/97幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散2021/5/98定理2.若的系数满足证:1)若

≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,即时,则2021/5/992)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径记下来!!!比值判别法成立根值判别法成立2021/5/910对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

2021/5/911例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.2021/5/912例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由2021/5/913例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数(2)的收敛域为故原级数的收敛域为即(2)2021/5/914三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.2021/5/915*说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是2021/5/916定理4

若幂级数的收敛半径(证明略

)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.通过逐项求导和逐项积分目的是转化幂级数为等比级数这样可方便求和.2021/5/917例5.求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,x=1时级数发散．2021/5/918因此由和函数的连续性得:而[2021/5/919解:

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例6.则故得的和函数.因此得设2021/5/920例7.解:构造幂级数显然收敛域为[-1,1)求的和.设和函数为2021/5/921内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2021/5/9222)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为2021/5/9232.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.

因为当时级数收敛,时级数发散

,说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立(为什么?)2021/5/924P2771(1),(3),(5),(7),(8)