2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章 圆定向练习试题（含详解）

北师大版九年级数学下册第三章圆定向练习

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AABC中，ZABC=50°,ZACB=74。，点0是的内心.则NBOC等于（）

A.124°B.118°C.112°D.62°

2、在△力比'中，CA^CB,点0为48中点.以点。为圆心，C0长为半径作（DG则。。与48的位置

关系是（）

C.相离D.不确定

3、已知。。的半径为3,若小2,则点。与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点尸在。。上C.点尸在。。外D.无法判断

4、如图，"宛内接于。0,ZABC=110°,ZBC4=40°,即为。。的直径，且劭=2,贝lj

（）

A.1B.1C.石D.石

5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90°B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦D.垂直于弦的直径平分这条弦

6、如图，在圆内接五边形45CDE中，NC+/CD£+ZE+/E4B=425。，则/C/M的度数为（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

7、如图，边长为4石的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（）

2

A.12石+2nB.46+1员C.246+2nD.12后+14门

8、如图，。。中的半径为1,AABC内接于。。.若ZA=50。，NB=70。，则A8的长是()

37

A.-B.GC.0D.-V3

9、如图，在半径为5的圆。中，AB,5是互相垂直的两条弦，垂足为R且4?=止8,则0。的长为

()

A.3B.4C.3亚D.4拒

10、如图，菱形ABC。中，NC=60°,AB=2.以A为圆心，A8长为半径画BD，点尸为菱形内一

点，连PA,PR,PD.若PA=P8,且ZAP8=12()。，则图中阴影部分的面积为()

A.y=%_3里B.2V3-1「22g

y——7i---------C.y=-7t---------------D.y工一显

“323233'32

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的和0C的夹角为120°,力的长为25cm,贴纸部分

的宽46为20cm,则一面贴纸的面积为cm2.（结果保留其）

2、如图，/I是正五边形两条对角线的夹角，则Nl=度.

3、如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型.已知半圆的半

径为1,则该圆锥的侧面积是

4、如图，以矩形458的对角线AC为直径画圆，点。、B在该圆上，再以点A为圆心，A8的长为

半径画弧，交AC于点E.若AC=2,ZBAC=30°.则图中影部分的面积和为_（结果保留根号和

兀）.

5、如图，已知G）P的半径为1,圆心P在抛物线'=-；/+1上运动，当。P与x轴相切时，圆心P的

横坐标为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1,在AABC中，44。8=90。,8平分幺8,且于点2

(1)判断△A3。的形状;

(2)如图2,在(1)的结论下,若3。=2=3,NB纱=75。,求AQ的长;

(3)如图3,在(1)的结论下，若将。8绕着点。顺时针旋转。(0°＜。＜90。)得到。/＞,连接初，作

DELBP交AP于点F.试探究A尸与的数量关系，并说明理由.

(1)只用直尺在图中找出的外心P,并写出P点的坐标—

⑵以(1)中的外心。为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将放大为△?!'8',放

大后点力、B、C的对应点分别为力'、6’、,请在图中画出B'C'；

⑶若以力为圆心，「为半径的。4与缱段如有公共点，则厂的取值范围是.

3、如图，。。是a/a'的外接圆，4?是。。的直径，4?，⑺于点反。是四延长线上一点，且

=ABCD

(1)求证：h是。。的切线;

(2)连接〃。并延长，交AC于点、F,交。。于点G,连接％若。。的半径为5,0E=3,求GC和分、

的长

4、在平面直角坐标系x0中，。。的半径为1.

对于线段46,给出如下定义：若线段46沿着某条直线/对称可以得到。。的弦4B',则称线段46

是。。的以直线/为对称轴的“反射线段”，直线,称为“反射轴”.

(1)如图，线段切，EF,G〃中是。。的以直线1为对称轴的“反射线段”有；

(2)已知力点坐标为(0,2),8点坐标为(1,1),

①若线段是。。的以直线，为对称轴的“反射线段”，求反射轴/与y轴的交点必的坐标.

②若将“反射线段”月6沿直线尸x的方向向上平移一段距离S,其反射轴/与y轴的交点的纵坐标

力的取值范围为：4?，求S.

26

(3)已知点M,/V是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足,第'=1,若，例，是。。的以

直线/为对称轴的“反射线段”，当材点在圆上运动一周时，求反射轴/未经过的区域的面积.

(4)已知点机力是在以(2,0)为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MV=&,若1W是

。。的以直线/为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时;请直接写出反射轴/与y轴交

点的纵坐标的取值范围.

备用图

5、如图，4?为。。的直径，弦CO于E,连接AC,过A作交。。于点尸，连接

DF,过B作8GLOP,交加;的延长线于点G.

(1)求证：6G是。。的切线;

(2)若“用=30。，D六4,求必的长.

DFG

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据三角形内心的性质得到哙g//吐25°,/OCB弓/ACF37。，然后根据三角形内角和计算

/仇后的度数.

【详解】

解：•.•点。是△/!回的内心，

：.()B平■64ABC,0C平■分乙ACB,

:.NOBC^NABOW乂50。=25°,ZOCB=^ZACB=^X74a=37°,

.•.N80O18O°-NOBONOCB=\8Q°-25°-37°=118°.

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内

心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

2、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得COLAB,根据三角形切线的判定即可判断A3是。C的切

线，进而可得。。与46的位置关系

【详解】

解：连接CO,

•••C4=CB,点。为46中点.

:.CO1AB

・•・CO为。C的半径，

.〔AB是OC的切线，

与48的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键.

3,A

【分析】

已知圆。的半径为八点尸到圆心。的距离是&①当时，点尸在。0内，②当尸d时，点尸在

。。上，③当时，点一在。。外，根据以上内容判断即可.

【详解】

的半径为3,若夕。=2,

?.2<3,

点尸与。。的位置关系是点。在。。内，

故选：A.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆。的半径为八点。到圆心。的距离是4①当

时，点。在。。内，②当尸d时，点。在。。上，③当时，点。在。。外.

4、C

【分析】

根据三角形内角和定理求得NA,根据同弧所对的圆周角相等可得/。=44=30。，根据直径所对的圆

周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得。C的长

【详解】

解：ZABC=110°,ZBCA=40°

.■.ZA=30°

•/BC=BC

ZD=ZA=30。

Q8。为。。的直径，

.-.ZBCD=90°

在—BCD,N£>=30°,BD=2,

：.BC=-BD=\

2

DC=y]BD2-BC2=6

故选C

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含

30度角的直角三角形的性质,求得NO=ZA=30°是解题的关键.

5、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°,直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90。，A选

项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

6、B

【分析】

先利用多边的内角和得到/E4B+N8+NC+NCD£+NE=540。，可计算出48=115。，然后根据圆内接

四边形的性质求出ZCDA的度数即可.

【详解】

解：•••五边形ABCDE的内角和为（5-2）x180。=540°,

二Z.EAB+ZB+ZC+Z.CDE+ZE=540°,

,ZZEAB+ZC+ZCDE+ZE=425°,

Z.ZB=54O°-425°=115°,

•••四边形A6CD为。。的内接四边形，

ZB+ZC£M=180°,

ZCDA=180°-115°=65°.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关

键.

7、A

【分析】

正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果.

【详解】

解：正三角形的面积为：gx4Gx6=12石，

三个小半圆的面积为：白万*06)\3=1阮，中间大圆的面积为：乃《二金，

所以阴影部分的面积为：126+18%-16]=126+2]，

故选：A

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关

键.

8、B

【分析】

连接如、0B,过点。作由三角形内角和求出NC,由圆周角定理可得NAO3=2NC,由

04=03得是等腰三角形，即可知乙40。=；4403,AD=BD=^AB,根据三角函数已可求出

AD,进而得出答案.

【详解】

A

如图，连接力、OB,过点。作O£＞，A3,

：NA=50°,ZB=70°,

，ZC=180°-50°-70°=60°,

ZAO5=2ZC=120°,

YOA=OB,

AAO8是等腰三角形，

ZAOD=-ZAOB=60°,AD=BD=-AB,

22

zmo=30°,

：.OD=^,AD=ylOA2-OD2=Jl2-(1)2=-y,

/.AB=2AD=y/3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理.

9、D

【分析】

作〃丸L4?于也0N1CD于N,根据垂径定理、勾股定理得：〃归姓4,再根据四边形就是正方

形，故可求解.

【详解】

作〃打48于M0N1CD千N,连接阳0D,

,：OB』,B的-AB=4,

2

：.0M=^OB2-BM-=3

,:AB=CD=8,

：.〃忙〃佐4,

•弦被丁互相垂直,

：.4DPF9Q°,

OMLAB于M,ONLCD于N,

：.40MP=/0NP=9Q°

.••四边形〃〃仍是矩形，

OM=ON,

...四边形,始W是正方形，

二0X3五.

故选C.

【点睛】

本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线.

10、C

【分析】

过点P作加交于点M,由菱形A8CO得ND48=NC=60。，AB=AD^2,由以=尸3,

ZAPB=}20°^AM=-AB=\,ZAPM=-ZAPB=60°,故可得ZR4"=30。，

22

ZPAD=ZDAB-ZPAM=60°-30°=30°,根据SJS证明A/WP三,求出PM=@,即可求出

3

S阴=S扇形AHO-S.ABP-SeADP•

【详解】

如图，过点尸作尸河，谡交于点M,

•.•四边形46口是菱形，

，ND48=NC=60。，/W=AD=2,

,:PA=PB,ZAPS=120°,

AAM=-AB=l,NAPM」NAPB=60°,

22

ZPAM=30°,ZPAD=ZDAB-ZPAM=60°-30°=30°,

在八48尸与ZW*中，

'AB=AD

■Z.PAB=NPAD,

AP=AP

aABP=^ADP(SAS),

••S&ABP=S4ADP9

在向ZVIMP中，ZPAM=30°,

：.AP=2PM,

AP2=PM2+AM\即4PM2=P”+I，

解得：PM=,

3

.c_c0°_60]"1V31c拒_2兀2y/3

,,-----2X2X32XZX~="3-------3-.

故选：c.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关

键.

二、填空题

1,200万

【分析】

根据题意先求出B0,进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案.

【详解】

解：：处长为25的，贴纸部分的宽A?为20诩，

：.BO=5cm,

二贴纸的面积为9S用吃侬=5逆形颂F120"*25—1201*5=?。。"(cnf').

360360

故答案为：200”.

【点睛】

本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键.

2、72

【分析】

根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得结果.

【详解】

正五边形的每个内角为(5一2)；8。°=[08。

•••多边形为正五边形，即/炉式三切，如图

：.XABC、46切均为等腰三角形，且N4叱Na决108°

，NBCA=NCBD=；(180°-108°)=36°

：.Al=ZBCA+ZCBD=12°

故答案为：72

【点睛】

本题考查了正多边形的性质及多边形的内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形性质等知识，掌握

正多边形的性质及多边形内角和定理是本题的关键.

3£

、2

【分析】

首先根据题意可确定组成的圆锥侧面刚好为该半圆形，所以求出该半圆形的面积即为该圆锥的侧面

积.

【详解】

解：由题意，半圆为该圆锥的侧面，完整的圆形为该圆锥的底面，

，半圆形的面积即为该圆锥的侧面积，

•.•半圆的半径为1,

故答案为：—.

【点睛】

本题考查圆锥的侧面积计算，本题中理解组成的圆锥侧面恰好为半圆形是解题关键.

4、，一昱

124

【分析】

设AC的中点为。，连接。8,先求出8C=；4C=1,AB=y/3,则与10s=；S&8c=gx：xlxG=^,

SAADC=S&ABC=；AB-BC=,然后求出5期般的=,最后根据“='*网-'仙*++,感）（..

解即可.

【详解】

解：设AC的中点为。，连接。8,

•.・AC=2,四边形16徵是矩形，

.-.OA=OC=OB=],N4吐90°,

又户30°,

/.BC=-AC=\,

AB=JAC2-BC2=x/3，

5,u0«=jS^c=1x1x1x73=^,S&ADC=S^BC=~ABBC=

-.-ZBAC=30°,

:.ZBOC=60°,

604x「_冗

360

s1#上并上冗30万X（我21##冗万_56

=

・・3阴=＞半圆-3根8+3丛08+3扇形8优一3扇彬4觇=5%一_~6-------360-----=2〃__2"V4-12^-"4-

故答案为：与乃一乌

124

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到

5阴=S半圆-SMX++S扇形80c.

5、2或-2或0

【分析】

当。夕与x轴相切时，圆心夕的纵坐标为1或T,根据圆心户在抛物线上，所以当y为±1时，可以

求出点。的横坐标.

【详解】

解：当尸1时，有尸0.

当尸T时，有T=-g*+l,x=±2.

故答案是：2或-2或0.

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点尸的纵坐标，然后代入抛物线求出点尸的

横坐标.

三、解答题

1、（1）是等腰直角三角形，证明见解析；（2）屈；（3）Ab=ViDE,证明见解析

【分析】

(1)先求解/4。。=/88=45。,取48的中点6,连接CG,OG,再证明AC,8,。在以G为圆心，GC

为半径的同一个圆上，从而可得答案.

(2)如图，把顺时针旋转90。得到"。。'，连接QQ',过。'作Q'FLBQ,交8。的延长线于

尸，证明NQQQ'=45o,QQ'=3x/I证明/800=120。,/尸2。=60。，求解

QF=QQ'.cos60°=—,FQ'=QQ'.sin60°=—,再利用勾股定理可得答案；

22

(3)如图，连接BF,证明ADPES“BF,可得竺=空，结合(1)问的结论可得答案.

ABAF

【详解】

解：(1)44。3=90°,。。平分^4。8,

/.ZACD=ZBCD=45°,

取A3的中点G,连接CG,OG,

・・・ZACB=ZAZ)B=90°,

CG=AG=BG=DG,

.•.AC],。在以G为圆心，GC为半径的同一个圆上,

ZABD=ZACD=45°,

・•・AABD为等腰直角三角形.

(2)如图，VAD=BD,ZADB=90°,

把△A。。顺时针旋转90。得到ABOQ',连接QQ',过。'作交8。的延长线于尸,

Q,

DQ=DQ'=3,ZQDQ'=90°,AQ=BQ',

NDQQ'=45°,QQ=>/32+32=30,

;NBQD=75。,

NBQ。=120°,ZFQQ'=60°,

QF=QQ'cos60°=孚,FQ'=QQkin60°=蜉,

BF=BQ+QF=2j2+--=苧，

:.AQ=BQ'=-j3S.

（3）AF=&£>E,理由如下:

如图，连接8尸,

如。=45嚼邛,

AD=BD,NADB=90°,=

・・・DB=DP,/BDP=a,DELBP,

BE=PE,NBDE=/PDE=­a,NDBE=90°--a,FB=FP,

22

•/AD=DP,ZADP=90O+a,

/.ZDAP=ZDPA=45°--a,

2

NBAP=45°-（45°-ga）=ga=NPDE,

・•.ZAPB=180。一ga一45。一（90。一ga]=45。，

,.・FB=FP,

/FBP=Z.FPB=45°,NBFP=90°=NBFA,

・•.ZBFA=ZDEP=90\

:.ADPES^ABF,

,DPDE

'~AB~~AFy

:—邑即加&3E

AFAB2

【点睛】

本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆

周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.

2、(1)(4,2)；(2)见解析；(3)72<r<V10

【分析】

(1)根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P-,

(2)根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；

(3)根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点力到理的距离时，。力与线段a'有一个或两

个公共点即可.

【详解】

解：如图所示：

(1)点P即为△/a'的外心，户点的坐标为(4,2),

故答案为:(4,2)；

(2)图中画出的△[‘8'C'即为所求作的图形；

(3)观察图形可知：尸〃时，。4与线段6c有一个公共点.

此时与线段比'相切，

当r=AC=4+『=历时，。4只经过点C,

"的取值范围是

故答案为：-Jl<r<>/10.

【点睛】

本题考查了作图他似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据

位似中心画位似图形.

25

3、(1)见解析；(2)GC=6,OF=—

【分析】

(1)连接相，由已知可得/。而+/比》=90°,进而根据/及#=/8切，等量代换可得NO"+

NBCK0。，即可证明"是。。的切线；

(2)证明应1为△&7G的中位线，由AO〃GC,证明△GC~△小尸，进而列出比例式代入数值进行计

算即可.

【详解】

(1)证明：连接0C

G2

'：OB=OC,

：.AOBC=AOCB

:AB_LCD于点、E,

:.NCEB=9Q°

：.40BC+NBCD=9Q°

：.NOCB+/BCD=9N

,：ABCP=/BCD,

:.NOCB+4BCP=9Q°

：.OCLCP

.D是。0的切线

(2):4?!.切于点£,

."为⑦中点

•：0为G〃中点，

...施为的中位线

:.GC=2OE=6,OE//GC

'：AO//GC

：.4GCFs"OAF

.GCGF

6GF

n即n一=——

5OF

\'GF+0F=5,

：心

11

【点睛】

本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键.

4、(1)2；(2)①M(0,1)；②04s42；(3)僧一4］万；(4)y>l或y<T

2I162)

【分析】

(1)。。的半径为1,则。。的最长的弦长为2,根据两点的距离可得EF=&,CO=2,EF=^,进

而即可求得答案；

(2)①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对•称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求

得M的坐标；②由①可得当5=0时・，%=；,设当S取得最大值时，过点。|作。轴，根据题

意，O„A,B2分别为沿直线y=x的方向向上平移一段距离S后O',AB的对应点，则OtP=PO'=S,

根据余弦求得cosNM。。=cosNOQP=盥=会进而代入数值列出方程，解方程即可求得S的最大

值，进而求得S的范围；

(3)根据圆的旋转对称性，找到MN所在的。。,的圆心，如图，以MN为边在。。内作等边三角形

O2MN,连接。Q,取OQ的中点R,过R作。Q的垂线/,则/即为反射轴，反射轴/未经过的区域是

以。为圆心OR为半径的圆，反射轴/是该圆的切线，求得半径为1一3，根据圆的面积公式进行计

4

算即可；

(4)根据(2)的方法找到MN所在的圆心03,当"点在圆上运动一周时，如图，取。。③的中点A，

OT的中点S,即。的中点4在以S为圆心，半径为&的圆上运动，进而即可求得反射轴/与y轴

交点的纵坐标y的取值范围

【详解】

(1)•••09的半径为1,则。。的最长的弦长为2

根据两点的距离可得EF=42,CD=2,EF=45

:.EF<2,CD<2,EF>2

故符合题意的“反射线段”有2条;

故答案为：2

(2)①如图，过点8作803y轴于点0，，连接Aq

V4点坐标为(0,2),6点坐标为(1,1),

；・48=肝+(2-1)2=&，且ZBAO'=45°,0(0,1)

••・OO的半径为1,ZA,0B,=90°

.•.44=0，且8Mo=45。

・•・线段4?是。。的以直线/为对称轴的“反射线段”，。(0,0),<?'(0,1)

②由①可得当S=0时，%

1.

Xp___________区/

如图，设当s取得最大值时，过点。1作轴，根据题意,01,&,区分别为沿直线尸x的方向向

上平移一段距离S后o',AB的对应点，则OtP=PO'=S,

,•・。'(0,1)

.•.O[(S,S+1)

OO,2=S2+(5+l)2=252+2S+l

过0。中点Q,作直线/，。。交y轴于点M,贝V即为反射轴

.*，等)

••I

・・・cosNMOQ=cosNOQP=—=—

1OM0a

即加出

113。。

6

iia

即/OO：=(s