基于离散傅里叶变换的频谱分析新方法

基于离散傅里叶变换的频谱分析新方法

0基于信号滤波的算法频率是一个重要的参数，是反映能源系统能耗的重要指标之一。电力系统频率的变化直接影响工作效率和工厂之间的负荷分布。目前,测频的方法很多,如:cross算法、最小二乘法、DFT算法、卡尔曼滤波算法、prony算法,但是这些算法都存在某些不足之处:cross算法受谐波、噪声和电压幅值影响较大;最小二乘法需要较长的数据窗以提高谐波环境下的计算精度;傅式算法受频率偏差、非整次谐波和衰减直流分量的影响较大,频谱泄露会造成较大的误差;prony算法受噪声的影响较大,且计算的阶数比较难选。在实际工程的应用中,DFT算法运用的是最普遍的,它主要有以下几个优点:在频率接近50Hz且高次谐波和非整次谐波含量很少时,该算法计算精度很高;DFT采用递归和循环的计算过程,因此它计算速度很快;具有很强的抗干扰性,它能滤除所有的整次谐波。快速傅里叶变换(FFT)是应用最广泛的一种谐波检测方法,然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象,使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准,尤其是相位误差很大,无法满足准确的谐波测量要求。为了解决上述问题,很多学者提出了改进的FFT方法,有插值算法,加窗插值改进算法。虽然这些方法都能使计算的精度得到很大程度提高,但这种窗函数法存在计算量和内存容量大、只能分析整次谐波等缺点。本文采用文献中公式推导的基本思路,将信号推广至一般情况,使得算法最终既能对任意信号进行实时测频,还能准确地对信号进行频谱分析,得到整次谐波、非整次谐波和衰减直流分量。1采样dft变换公式现有单信号模型如式(1)所示:其中:A为信号的幅值;ω为信号的角速度,ω=2πf;φ为信号的相角,用弧度制表示;考虑到频率的偏移,频率可表示为f=50+Δf。对原始信号进行采样得式(2),采样间隔Ts=1/Fs。令,并把它代入式(2)且进行变形可得式(3)。其中。现对式(3)进行进一步变形,先消去B2,再消去B1。对式(4)两边都取实部,则:其中z=real(a)。对x(k)序列进行DFT变换的公式是:现对式(5)两边都取DFT变换,其等式还是成立的,可得式(6)。把代入式(6)可得式(8),从式(8)到式(9)需要利用到一个很重要的变形公式:。则:2单信号模型推导在实际电力系统中,信号所含的频率成分很多,除了基频分量,还有整次谐波分量、非整次谐波分量和衰减直流分量,多信号模型由式(11)给出,对其采样得式(12)。令。为了能在式(13)中统一表述,可令am+1=ad,zm+1=real(am+1)=real(ad)。则:同上述单信号模型的推导方法一样,得到的式(13)将类似于式(7),可由数学归纳法证明。其中:C为式(13)中(2m+3)×1维的系数矩阵,*是卷积运算。现定义:对x(k)进行DFT变换,得到的式(14)类似于式(10),对于2m+1个未知数需要2m+1个方程。其中,B1i(r)、B2i(r)、θ1i、θ2i、Ai、φi(i=1,2,…,m)、Bd(r)的表达式分别为:3衰减直流分量幅值和时间常数基于多信号模型的程序流程如图1所示,现对其进行简要说明。1)在第三步中,要解出z1到zm+1,根据式(13)得到F(Pk)的表达式如式(15)所示,一共需要(m+1)个方程。2)对式(15)求偏导得到的雅克比矩阵如式(16)所示,而C对z1如式(17)所示。3)流程的最后一步中,衰减直流分量的幅值和衰减时间常数由式(18)得到。上述程序流程图适用于任何信号,现假设信号中频率分量只有整次谐波而没有非整次谐波和衰减直流分量,那么可以不采用牛拉法进行迭代,由,求解的未知数就变成z1一个,从而所使用的方程组也只要一个,非线性方程组的迭代过程就演变成线性方程的迭代过程,计算量将大为减小。4fft算法的算法验证现用本文提出的算法对这三种信号进行分解,得到的波形图如图2所示。从图2中三个信号的分解可以看出无论信号中含有整次谐波、非整次谐波,还是衰减直流分量,在系统频率偏离50Hz的情况下也都能将其精确地分解。特别指出衰减直流分量的存在对结果基本不产生影响,数据如表1所示。选择不同时刻的采样点、不同的采样频率、不同的阶数选择,用该算法对信号4进行分解,得到的结果分别如表2、3、4所示。表5为FFT算法与本论文提出的算法计算结果比较。从表2、3、4可以得到:该算法不受初始采样点的影响,不受采样频率的影响,不需要高采样频率,能很好地满足实际微机保护的要求,在阶数不小于信号中的所有分量个数的前提下,该算法也不受阶数选择的影响。5测频算法的功能1)该算法是基于离散傅里叶变换得到的,因此它具有DFT算法的所有优点。从公式推导的过程可以看出,它能严格地计算出信号中的任意频率分量,包括衰减直流分量,把DFT这种变换巧妙地应用到等式的两端并不会改变式子本身,因此该算法并没有继承DFT算法的不足。2)能准确地计算出系统频率的偏移量,实时性强,可以作为一种实用的测频算法。3)能准确地计算出整次谐波、非整次谐波的幅值、频率和相角,衰减直流分量的幅值和衰减时间常数,具有非常精确的频谱分析功能。zi=real(ai)(i=1,2,…,m+1)信号1：x(t)=cos(101.74×π×t+π/6)+0.2cos(203.48×π×t+π/4)+0.05cos(305.22×π×t+π/6)信号2：x(t)=cos(101.26×π×t+π/4)+0.05cos(220×π×t