新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课件新人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率学习任务1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象)2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象)3．掌握倾斜角和斜率之间的关系．(逻辑推理)4．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)必备知识·情境导学探新知01由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？知识点1直线的倾斜角(1)直线的方向：在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向____，其他直线____的方向为这条直线的方向．(2)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴____与直线l__________之间所成的角．(3)特例：直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0°．(4)倾斜角α的范围：______________．向右向上正向向上的方向0°≤α<180°思考1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．知识点2直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_______．(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

．当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．正切值tanα

思考

2．当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．提醒

所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．知识点3直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为________．(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝

．(1，k)

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． (

)(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． (

)(3)不存在倾斜角相同的直线． (

)(4)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (

)(5)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． (

)(6)与y轴垂直的直线的斜率为0． (

)(7)与x轴垂直的直线的斜率不存在． (

)√××√×√√2．若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为________．(1，－1)

[直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．](1，－1)关键能力·合作探究释疑难02类型1直线的倾斜角类型2直线的斜率和方向向量类型3直线的倾斜角和斜率的综合

类型1直线的倾斜角【例1】

(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

)A．30°

B．60°C．30°或150°D．60°或120°D

如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°．√(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(

)A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°√√AB

根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．反思领悟

直线倾斜角的求法及注意点(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；(2)注意倾斜角的范围．[跟进训练]1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(

)A．α＋60°

B．α＋120°C．α－60° D．120°－αBC

[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α．]√√2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．135°

[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]135°

类型2直线的斜率和方向向量【例2】

(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(

)A．1

B．5

C．－1

D．－5

√

2

(2)若将本例(1)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角α的取值范围．[解]

如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知直线l的倾斜角α的取值范围为{α|0°≤α≤45°}∪{α|135°≤α<180°}．

2．直线的倾斜角和斜率的关系直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

学习效果·课堂评估夯基础031．(多选)下列说法正确的是(

)A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角1234√ABC

[由直线的倾斜角和斜率的定义知，ABC正确，D错误．故选ABC．]√√1234√

12341

1234

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