一元二次方程及其解法教案

一元二次方程及其解法

学习目标：

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公

式的推导过程，以及因式分解降次的实质.

二、知识要点梳理

知识点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

知识点二、一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

2．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程

的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程

无实数解.

3．公式法解一元二次方程：

(1)一元二次方程求根公式：

对于一元二次方程，当时，，这个

式子叫做一元二次方程的求根公式．

注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．

公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．

(2)归纳一元二次方程根的情况：

对于一元二次方程，其中，称为一元二次方程根的判别式．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

4．因式分解法解一元二次方程：

(1)因式分解法解一元二次方程：

将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于

0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.

(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)

(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

(4)常用因式分解法：

提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.

三、规律方法指导

一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.

直接开平方法是最基本的方法.

公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.

配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法).经典例题透析

类型一、关于一元二次方程的判定

1.判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

思路点拨：判定一个方程是不是一元二次方程，要看它是否能整理为ax2+bx+c=0的形式，并且仅当a≠0时，它才是一元二次方程．

【变式1】判定下列方程是否关于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．

思路点拨：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根据二次项的系数的取值来讨论、判定．

解：(1)经整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，它都是一个一元二次方程．

(2)经整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，有m2-1≠0，一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．

总结升华：对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程类型二、一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的确定

一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．

2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

【变式1】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．

解：将原方程整理为一般形式，得

(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件

m2-8≠0，

即m≠±．

可知它的各项系数分别是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

参数m的取值范围是不等于±的一切实数．类型三、一元二次方程的根及根的判别式

3.不解方程，判定方程根的情况

(1)16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0

(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0

【变式1】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．

解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0a＜-2

∵ax+3＞0即ax＞-3∴x＜-∴所求不等式的解集为x＜-.

类型四、用直接开平方法解一元二次方程

4.解方程3x2-24=0．

解：x=或x=-．

【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361；(2)2y2-72=0；

(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．

解：(1)∴x=19或x=-19．(2)∴y=6或y=-6．(3)∴a=或a=-．

(4)∴m=或m=-．

5.解方程(x-3)2=49．

解：x=10或x=-4．

【变式1】解下列方程：

(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27；

(3)3(b+4)2=96；(4)5(4-3n)2=320．

解：(1)x=10或x=-20．(2y=或y=．(3)b=-4+或b=-4-．

(4)n=-或n=4．

类型五、用配方法解一元二次方程

6.用配方法解方程x2-7x-1=0．

解：将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=+或x=-．

步骤：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．

【变式1】用配方法解方程.

(1)x2-4x-2=0；(2)3x2-4x-2=0；(3)x2+6x+8=0；(4)x2-4x+6=0．

类型六、用公式法解一元二次方程

7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3)．

解：或．

【变式1】利用公式法解方程.

(1)2x2-8x+3=0；(2)2x2-8x=-5.

(1)解：或．

(2)解：x1=，x2=.

类型七、用因式分解法解一元二次方程

9.用因式分解法解方程.

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0；

(3)4x2-4x+1=0；(4)(y+2)(2y+3)=6.

解：(1)∴x1=-2，.(2)(3)(4)

【变式1】用因式分解法解方程.

(1)2x2+3x=0；(2)5(3-2x)=2x(3-2x)；(3)4(x+2)2-9(x-3)2=0.

解：(1)∴x1=0，x2=-是原方程的解.(2)∴x1=，x2=．(3)∴x1=1，x2=13

类型八、用适当方法解一元二次方程

10.解下列关于x的方程

(1)0.5x2-=0；(2)(x+a)2=；

(3)2x2-4x-1=0；(4)(1-)x2=(1+)x．

解：(1)∴x1=，x2=-．(2)∴x1=a，x2=-a．（3)∴x1=，x2=.(4)∴x1=0，x2=-3-2．

总结升华：在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较烦琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更烦琐，所以，先配方的方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．应用问题与一元二次方程

二、知识要点梳理

知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

答(切忌答非所问).

知识点二、数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、

千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能

是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位

上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.

如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

知识点三、平均变化率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)知识点四、利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率(税率是20%)

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-20%)]=本息和(收利息税时)

知识点五、利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

知识点六、形积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.经典例题透析

类型一、数字问题

1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．

思路点拨：两个连续奇数相差2.

解：设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；依题意得：

(x-1)(x+1)=323x2-1=323x2=324∴x1=18，x2=-18当x=18时，18-1=17，18+1=19．当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．

【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数．

解：设较小的整数为x，则另一个整数为(x+1)

依题意得：x(x+1)=210，x2+x-210=0，解之，得：x1=14，x2=-15，当x=14时，x+1=15；当x=-15时，x+1=-14；

答：这两个数为14、15或-15、-14.

2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．

解：设个位数字为x，则十位数字为(x-2)，这个两位数为10(x-2)+x，依题意得：10(x-2)+x=3x(x-2)整理，得：3x2-17x+20=0

解之，得：x1=4，x2=(不合题意，舍去)当x=4时，10(x-2)+x=24答：这个两位数为24.

【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．

解：设原来的两位数的个位数字是x，则十位数字是(8-x)，原来的两位数为10(8-x)+x，依题意得：[10(8-x)+x][10x+(8-x)]=1855

化简得：x2-8x+15=0，解之，得：x1=3，x2=5，当x=3时，10(8-x)+x=53，当x=5时，10(8-x)+x=35答：原来的两位数为53或35.

类型二、平均变化率问题

3.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

思路点拨：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是(1+x)万台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2万台，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．

解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，

依题意得：1+(1+x)+(1+x)2=3.31，整理，得：x2+3x-0.31=0，解得：x1=10%，x2=-3.1(不合题意，舍去)

【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

思路点拨：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三个月的总营业额列出等量关系．

解：设平均增长率为x则200+200(1+x)+200(1+x)2=950，整理，得：x2+3x-1.75=0，解得：x1=50%，x2=-3.5(不合题意，舍去)，答······

4.我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．

(1)若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？

(2)宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1374.094万亩增加到1500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩(精确到1亩)？

解：(1)5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为5×104×10÷1000×18÷80=112.5(亩)．

(2)设2001年到2003年初我市森林面积年均增长率为x，则1374.094(1+x)2=1500.545．故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045(舍去)．所以2005年初到2006年初全年新增森林面积：1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％≈737385(亩)．又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为415×104×28×１5％÷1000×18÷50≈6275(亩)．新增森林面积和保护森林面积之和为：737385+6275=743660(亩)．

类型三、利息问题5.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后(到期后扣除20%的利息税)本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

思路点拨：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．

解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320，整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2(不符，舍去)，x2==0.125=12.5%

类型四、利润(销售)问题

6.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

思路点拨：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+×100)

解：设每张贺年卡应降价x元则(0.3-x)(500+)=120解得：x=0.1，x2=-0.3(不合题意，舍去)答：每张贺年卡应降价0.1元．

【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?

解：设该商品的售价为每件(50+x)元，则每件商品的利润为[(50+x)-40]元，销售量为(500-10x)件．根据题意，得[(50+x)-40](500-10x)=8000．

解得x1=10，x2=30．当x=10时，50+10=60(元)，当x=30时，50+30=80(元)

【变式2】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：

(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系．

(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？

解：(1)由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨1元，其日销量就减少1件．

(2)设每件产品涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销量为(70-x)件．得［(130+x)-120］(70-x)=1600，

解得x1=x2=30，130+30=160(元)．答：每件商品定价为160元时，每日盈利达到1600元．

总结升华：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷．这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值．类型五、形积问题

7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为(x+2)米．依题意，得x(x+2)×1=15．化简，得x2+2x-15=0．解之，得x1=3，x2=-5(不合题意，舍去)．所以这种运输箱底部长为5米，宽为3米．由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为(5+2)×(3+2)=35(米2)．

【变式1】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

思路点拨：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．

解：(1)设渠深为xm，则渠底为(x+0.4)m，上口宽为(x+2)m.

依题意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0，解得：x1==0.8m，x2=-2(不合题意，舍)

∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．

(2)=25(天)答：渠道的上口宽与渠底宽分别是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

类型六、一元二次方程应用新题型

条件探求型

8.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．

(1)求鸡场的长与宽各是多少？

(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

思路点拨：第(2)小题着眼于作为条件出现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第(1)小题的结果进行研究．

解：(1)设平行于墙的一边长为xm，则另一边的长为，根据题意，得，

解得x1=15，x2=20．当x=15时，；当x=20时，．

(2)由题意可知：当a＜15时，此题无解；当15≤a＜20时，此题只有一个解；当a≥20时，此题有

方案设计型

9.某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．

(1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；

(2)已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长

与宽各为多少米？

(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同

时符合下述两个条件)：

条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃(花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平

行)，并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；

条件②：整个矩形场地(包括道路、草坪、花圃)为轴对称图形．

请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．

解：(1)这两条道路的面积分别为2am2与2bm2．

(2)设b=xm，则a=2xm，依题意，得x·2x-(2x+4x-4)=312．整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11(舍去)．所以b=x=14，a=2x=28．

(3)符合设计方案的一种草图如图2所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃

的面积分别相等．设AE=x，则FB=14-2-x=12-x(m)，(m)．依题意，得．

解得x=7(m)．所以大菱形花圃的面积为(m2)，

小菱形花圃的面积为(m2)．

(注：其他符合设计方案的三种花圃见图3，图4，图5，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m2与32.5m2)一元二次方程的根与系数的关系二、知识要点梳理

一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

三、规律方法指导

一元二次方程根与系数的关系的用法：

①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；

②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；

③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；

④已知方程的两根，求这个一元二次方程；

⑤已知两个数的和与积，求这两数；

⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；

⑦讨论方程根的性质。

四、经典例题透析

1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.

1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.

思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.

解：法一：把x=2代入原方程，得

22-6×2+m2-2m+5=0

即m2-2m-3=0

解得m1=3，m2=-1

当m1=3，m2=-1时，原方程都化为

x2-6x+8=0

∴x1=2，x2=4

∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.

法二：设方程的另一个根为x.

则

2.判别一元二次方程两根的符号.

2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.

总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.

【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.