《高等应用数学》（曾慧平）教案 第五章 定积分 5.2微积分基本公式

课题微积分基本公式课时1课时（45min）第33课时教学目标知识技能目标：理解积分上限函数（变上限函数）的概念。理解牛顿-莱布尼茨公式。（3）掌握应用牛顿-莱布尼茨公式的计算。素质目标：（1）提高观察能力和归纳能力，加强数形结合意识．（2）培养自主学习的良好习惯，加强数学知识运用于生活的意识．（3）弘扬科学严谨、执着专注、精益求精、追求卓越的工匠精神．教学重难点教学重点：积分上限函数（变上限函数）的概念，牛顿-莱布尼茨公式教学难点：应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（23min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家预习本节课内容。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学知识，增加学生的学习兴趣考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题：除了利用定积分的定义求定积分外，还可以利用什么方法求定积分？【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（23min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识5.2.1积分上限函数及其导数❖【教师】介绍积分上限函数及其导数设函数在区间上连续，x为上的一点．我们来考查函数在部分区间上的定积分．这里，既表示积分上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记号无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他记号，如，则上面的定积分可以表示为．当积分上限在区间上任意变动时，对于每一个取定的值，定积分都有一个对应值，所以它是上的一个函数，记作，即，这个函数称为积分上限函数或变上限函数．积分上限函数具有以下重要定理．定理1如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上可导，并且它的导数为．定理2如果函数在区间上连续，则函数就是在上的一个原函数．定理2的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的；另一方面初步揭示了定积分与原函数之间的联系．因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分．❖【学生】聆听、理解❖【教师】讲解例题例1设，求．例2设，求．❖【学生】聆听、理解、演算5.2.2牛顿-莱布尼茨公式知识点牛顿-莱布尼茨公式❖【教师】介绍牛顿-莱布尼茨公式定理3设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，则有．此公式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．牛顿-莱布尼茨公式揭示了定积分和被积函数的原函数或不定积分之间的关系，它表明定积分可以通过以下两步来计算．（1）先求的一个原函数（即求不定积分）．（2）求这个原函数在积分区间上的增量．❖【学生】聆听、理解❖【教师】讲解例题例3求下列定积分．（1）． （2）．例4计算．例5设求．【学生】聆听、思考、演算、对比演算步骤和结果通过教师讲解和例题分析等方式，使学生理解积分上限函数及其导数，以及牛顿-莱布尼茨公式，并掌握应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法强化训练（10min）变式训练（5min）【教师】通过课堂例题进行变式训练求下列积分计算下列定积分．（1）； （2）；【学生】黑板板演【教师】巡视纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂达标（5min）【教师】布置练习题求积分（商品销售总量）某种商品在一年中的销售速度为，其中为时间，单位为月，求此商品前3个月的销售总量．【学生】练习课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了积分上限函数及其导数，以及牛顿-莱布尼茨公式的相关知识。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，熟练掌握利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生对所学知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中小节作业5.2中与本课相关的习题本课作业布置二维码老师扫描此码，即可进行线上作业布置【学生】完成课后任务通过课后作业复习巩固学到的知识教学反思本节课效果不错，学生全程参与，主动求知。对学生而言，教师对学生内心深处的宽容，为学生提供充分表达自己的机会和空