电路分析 第4版 04章 动态电路

04章：动态电路4.1动态电路的基本概念和换路定则 4.1.1动态电路的基本概念 4.1.2换路定则与初始值的确定 4.2一阶电路的分析 4.2.1RC和RL电路的零输入响应 4.2.2RC和RL电路的零状态响应 4.2.3全响应 4.2.4三要素法 4.3二阶电路的分析 4.3.1二阶电路的零输入响应4.3.2二阶电路的零状态响应与全响 4.4阶跃响应与冲激响应 4.4.1阶跃函数与冲激函数 4.4.2阶跃响应 4.4.3冲激响应 知识传授

1、了解动态元件的定义和特性；2、掌握动态电路的方程列写方法和初值确定方法；掌握一阶电路求解的三要素法；理解一阶电路不同类型响应的特点并能求解相应的响应；3、理解二阶电路的工作状态及其特点；4、认知时域中冲激函数和阶跃函数及其特点和应用。能力培养1、锻炼具备微积分知识解决问题的能力；2、锻炼具备针对特殊情况提出特殊解决方法的能力；3、锻炼认知和理解复杂电路模型的能力与视野。价值引导1、成就=基础+天赋+付出：类比电容和电感特性；2、数量、质量与度把握:数量可以决定动态电路的阶数，但质的飞跃来自与每个数量的有力支撑，且需要适当的力度，才能实现一阶电路到二阶电路的转变；4.1动态电路的基本概念和换路定则4.1.1

动态电路的基本概念问题的引出1.汽车:实际生活中的物理现象40公里/小时匀速加速过程稳态1稳态2过渡过程为什么会有过渡过程?2.照相机:闪光灯充电电容充电需要时间利用电容储存电能物体惯性的存在电磁惯性的存在过渡过程为什么电容充电会有过渡过程?从静止状态一、动态电路及过渡过程S未动作前,电路原已稳定i=0,uC=0i

=0,uC=Usi+–uCUsRC两种稳态：S接通电源后很长时间达到稳定两种稳态电路之间的过渡过程各物理量是如何变化的?设开关S在t=0由:ab+–uCUsRCi

S(t=0)ab电容的充电已经完成例如---初始稳态---新稳态K+–uCUsRCi初始状态过渡状态新稳态t1USuct0?i续此过程称为电路的过渡过程

当动态电路的结构发生变化时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳态:只有了解过渡过程,才能全面的了解动态电路的性质。

含有动态元件（电感或者电容）的电路:动态电路约定三个时刻合上(断开)电源、换路元件参数改变、电路结构改变等等。定义换路前后的瞬时,换路为了讨论上的方便,忽略了开关的动作时间t<0t>0综上所述,动态电路会产生过渡过程:1.电路中含有动态(储能)元件L、C3.电磁能量的储存和释放都需要一定的时间来完成

电路结构、元件参数发生变化电磁惯性(内因)(外因)2.换路:过渡过程实质:是电路的能量从一种分布状态到另一种分布状态的变化过程。除非电路中具有无穷大功率。二.动态电路的方程描述方程为微分方程描述方程为代数方程1、动态电路电阻电路iu3+-UsR1R2R3S(t=0)比较静态电路+–uCUsRCi

S(t=0)ab元件KVL2、动态电路的阶数换路后，用一阶微分方程描述的电路:一阶电路+–uCiCL–+RusS(t=0)换路后，用二阶微分方程描述的电路:二阶电路换路后，用n阶微分方程描述的电路:n阶电路+–uCUsRCi

S(t=0)ab含有n个动态元件的电路------n阶电路?思考题1:独立动态元件个数三.动态电路的分析方法经典法变换域分析法:时域分析法:拉普拉斯变换法状态变量法数值法(复频域分析)解微分方程状态方程计算机数值计算本章讨论求解一阶微分方程组齐次解特解双零法零输入响应零状态响应(略)第10章讨论s域中运算t

域4.1.2换路定则与初始值的确定一.初始条件定义设换路在t=0时刻进行,0-

换路前一瞬间0+

换路后一瞬间0-0+0tf(t)电路的初始条件（初始值）：求解微分方程的边界条件:电路变量的初始值

如何求初始条件?在t=0点连续:在t=0点不连续:电路的变量（电压或电流）及（n-1）阶导数在t=0+时刻的值。在0点有跃变二.换路定则1）线性电容所以令t0=0–

，t=0+iCucC

+-uC

(0+)=uC

(0-)换路瞬间，若电容电流为有限值，说明:则有则电容电压换路前后瞬时的值保持不变。若为有限值2）线性电感令t0=0–

，t=0+iuLL+-LiL(0+)=iL(0-)说明:

换路瞬间，若电感电压为有限值，则有所以则电感电流换路前后瞬时的值保持不变。若为有限值换路定则

L

(0+)=

L

(0-)qc(0+)=qc

(0-)换路定则成立的条件:

换路瞬间，电感电压为有限值。

换路瞬间，电容电流为有限值;uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)

L=LiLqC=CuC由于可知换路定则推广常数思考题2:若条件不满足会如何?三、换路定则的应用电路初始值的计算ex1(2)由换路定则uC

(0+)=uC

(0-)=8Vic(0+)+-10Vi+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0-)=?(3)由0+等效电路,求iC(0+)iC(0--)iC(0+)电路原已稳定,开关在t=0打开，求iC(0+)。iC(0+)＝0-等效电路解8V注意:+-10ViiC+uC-S10k40kC开路等值电压源替代ex2

iL(0+)=iL(0-)=2A电路原已稳定,t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+uL(0+)-0+电路:10V1

4

2A先求由换路定则解由0_电路:10V1

4

iL(0_)短路等值电流源替代ex3iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-uC(0+)=-RIS0+等效电路:iC(0+)uL(0+)+–电路原已稳定,t=0时闭合开关S,求iC(0+),uL(0+)。S(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解+–uC(0-)CLRIS0-等效电路:iL(0-)=ISuC(0-)=RISiL(0-)RiL(0+)+–uC(0+)由换路定则所以练习:动态电路中电路变量初值求解步骤初始值计算步骤①换路前电路已稳定:电容开路、电感短路、uC

(0+)=uC

(0-),uC(0-)由0-电路求和iL(0-)；iL(0+)=iL(0-)②由换路定则求③

0+电路

C、L

的处理uC(0+)iL(0+)电容用等值电压源替代电容短路电感开路电感用等值电流源替代④由0+电路求变量及相应(n-1)阶导数的初值。对于n阶电路的初值确定其中iC(0+)和uL(0+)可根据t=0+时的等效电路求。还要把其（n-1)阶导数的初值也确定出来。如：分析二阶电路，要分析其一阶导数的初值，即分析的初值和+0Cddtu+0Lddti例4-1电路如图

(a)所示，开关动作前电路已达稳态，t=0时开关S打开。求uC(0+)、iL(0+)、iC(0+)、uL(0+)、iR(0+)和解：作t=0–的等效电路如图(b)所示，有由换路定则得uC(0+)=uC(0–)=6V，iL(0+)=iL(0–)=2AS(t=0)(a)iRiLiC–+12V0.1H1/24F+–uC3Ω6Ω6Ω(b)iRiLiC–+12V+–uC3Ω6Ω6Ω

画出t=0＋时的等效电路如图(c)所示，由KVL有所以

iR(0+)=1A，iC(0+)=iR(0+)–2=–1A，uL(0+)=6–3×2=0(c)iR(0+)iL(0+)iC(0+)–+12V+–6V3Ω6Ω2A+uL(0+)-EX7图示电路原已稳定,求开关打开后的各量初值。S(t=0)R1R2USLCuLuCuR2iLiC解0+电路:R2uR2(0+)iL(0+)uC(0+)iC(0+)uL(0+)?+-小结1.动态电路的特点含有动态元件(L、C)用微分方程来描述,方程阶数=电路阶数2.产生过渡过程过渡过程的物理现象换路外因动态元件内因实质在有限功率下,能量分布状态的改变,不能立即完成。电磁惯性3.换路定则有限值条件:uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)4.初始条件的计算?提示电路的初始值是求解微分方程的必要条件，给定动态电路,如何列写电路的微分方程并求解?动态电路的分析?今天先讨论一阶电路的双零响应、全响应和三要素分析法。4.2一阶电路分析TheFirst-OrderCircuit

一阶电路是通常指电路中仅含一个独立的动态元件（或储能元件）的电路。

换路后，描述电路的方程是一阶（常系数）微分方程。～一阶电路定义。

常见的有一阶电阻电容电路（简称为RC电路）和一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。

4.2.1零输入响应分析零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应。本节按照RC和RL电路来分析。Zero-inputResponse1、RC电路的零输入响应－－RC放电电路已知：电路如图uC

(0-)=U0

，求uC

(t)。

解:

iK(t=0)+–uRC+–uCRuR=Ri特征根设特征方程RCp+1=0得则初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0tU0uC0I0ti0

电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积放电过程中电容电压uC。

发现：电压是连续的，而非突变（跃变）的！在换路瞬间，i

(0－)=0，i

(0+)=U0/R，电流发生了跃变！电路的解及分析一个重要的参数：时间常数τ令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数

=RC时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大过渡过程时间的长

小过渡过程时间的短电压初值一定：R大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R不变）w=0.5Cu2

储能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。t0

2

3

。。。

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

。。。

U0e

-5

tU0uCO

0.368U0时间常数τ的求法（1）用电路参数计算式中Req为从电容两端看出去的等效电阻。（2）用特征根计算R1R2CR3次切距的长度t2-t1=

t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0

t1t2按此速率，经过

秒后uc减为零（3）用图解法确定过程中能量的变化（或转换）情况：C不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量电阻吸收（消耗）能量uCR+-C2、RL电路的零输入响应－RL放电电路iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-t≥0时–+uRuL–+iLRLiL(0+)=iL

(0-)典型电路构成：电路微分方程：特征方程

Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0定积分常数AA=i(0+)=I0解方程：令iLS(t>0)L+–uLU0RR0+-令

=L/R,称为一阶RL电路时间常数i(0)一定：L大起始能量大

R小放电过程消耗能量小放电慢

大-RI0uLtI0ti0电路的解及分析ex1iL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000V

造成V损坏。iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V分析iLLR10V

有效的措施：反串单向导通性元件（二极管）小结：一阶零输入响应的求解y(t)—电路的零输入响应；y(0+)—响应的初始值；在一阶电路中，y(t)通常是uc(t)和iL(t)———先解决的主要电量。或齐性性1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=ReqC

,RL电路

=L/Req3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性性。Req例4-2

如图

所示电路中，开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合向2，试求t≥0时的电流uC(t)、i(t)。解

换路前电路已达稳态，则uC–+(a)C4ΩR21F4ΩR1S(t=0)2ΩR10V21–+i1FCuC–+R1(b)4Ω4ΩR2i例4-3已知iL(0+)=150mA，求t>0时的电压u(t)。先求电感两端的等效电阻Req。外加电压源方法：(a)0.1u(t)4Ω6Ωu(t)–+iL1/2Hu–+i(b)先计算主要电量：iL(c)u(t)–+50/3ΩL=0.5HiL(t)再计算待电量：u（t）解1、关于动态电路的阶数，下列说法正确的有：1个动态元件，一定是1阶动态电路。换路后，能由n阶微分方程描述的电路，就是n阶动态电路。换路后，能由n阶微分方程描述的电路，就是n-1阶动态电路。ABCD提交2个动态元件，一定是2阶动态电路。单选题1分2、图示电路，开关打开后，电感中电流初值2A-1A1A-2AABCD提交单选题1分3、换路后的稳态电压uC=

V.20.51ABC提交4D单选题1分3、图示为某动态电路的电流波形，则电流连续电流不连续电压连续电压不连续ABCD提交单选题1分100V0V63.2VABC提交4、图中，开关S闭合前电路已经稳定，计算开关闭合瞬间，uL(0+)=31.8VD单选题1分5、对于下图中，换路后，说法正确的是？ABC提交i1i2i3均保持不变;i1不变，i2增长到i1，i3衰减到0i1增长，i2增长，i3不变i1不变，i3增长到i1，i2衰减到0D单选题1分6、动态电路的相关概念如下，你认为正确的有：电感中电流为零，则其两端电压也一定为零。电容中电流为零，则其两端电压不一定为零。一阶RC电路的时间常数与等效电阻R成正比。ABCD提交一阶RL电路的时间常数与等效电阻R成正比。E电流有限情况下，换路的瞬间，电容中电压根据换路定则，不会跃变。F电流有限情况下，换路的瞬间，电感中电压根据换路定则，不会跃变。多选题3分7、下图换路后,时间常数τ

=？ABCD提交单选题1分4.2.2一阶电路的零状态响应

零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用下产生的响应.1、RC电路的零状态响应典型电路及列方程–+uCCUsuR–+S(t=0)–+Ri

——一阶线性非齐次微分方程初始条件：uC(0+)=uC(0－)=0特解：通解：方程的解：

与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量

变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=-US由起始条件uC

(0+)=0定积分常数A齐次方程的通解

：特解（强制分量）

=US

：通解（自由分量，暂态分量）

强制分量(稳态)自由分量(暂态)

-USuChuCpUSti

OtucO

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，充电效率只有50％。

电容储存：电源提供能量：

电阻消耗

RC+-US能量关系tiL

O2、RL电路的零状态响应典型电路及列方程（解决首要问题）iLS(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知

——一阶线性非齐次微分方程初始条件：iL(0+)=iL(0－)=0方程的解：

uLUStO连续跃变

1、τ的含义，这里表现为电容（电感）充电速度快慢的程度。3、τ

计算

RC电路（或最终可以化简为Req+C的电路）τ=ReqCRL电路（或最终可以化简为Req+L的电路）τ=L/Req。2、零状态响应的比例性：

零状态响应与外加激励成正比，当外加激励增大K倍时，则零状态响应也增大K倍。齐性特性讨论：3、正弦激励下的零状态响应iL(0-)=0is(t=0)L+–uLRuS+-

i(0-)=0。求：i

(t)？

接入相位角电路如图，其中电源为：

列方程：

方程的解：

强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)ψut/suSf(t)/VO

iL(0-)=0iS(t=0)L+–uLRuS+-方程的解：

强制分量(稳态分量)—特解自由分量(暂态分量)－通解

通解：特解设为：

特解带入方程：解得：

得：

特解：

解答为讨论几种情况：

电路直接进入稳态，不产生过渡过程。

定积分常数A

由则A

=0,无暂态分量

解的分析

最大电流出现在

t=T/2时刻。iIm

-Im

T/2tiO工程中：断电后再送电的时候：是需要选择合适的时机的！需要选择合适的时机合闸！4.2.3全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一阶电路的全响应分析iS(t=0)US+–uRC+–uCR

稳态解uCp

=US解答为

uC(t)=uCp+uChuC

(0-)=U0非齐次方程

=RC

暂态解

1、RC全响应uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值确定A于是全响应

强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全响应tucO(1).

全响应=(稳态解)+(暂态解)2、全响应的两种分解方式

iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC(0-)=U0C+–uCiS(t=0)+–uRR零状态响应零输入响应等效+-uCuC(0-)=U0iC+-U0uCiC(2).

全响应=零状态响应+零输入响应

零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0图示：零状态+零输入的全响应

零状态响应零输入响应物理概念清楚便于叠加计算

全响应=零状态响应+零输入响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)

强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)(3).两种分解方式的比较思考？是否有更直接的公式来描述一阶电路的求解问题？4.2.4三要素法:分析一阶电路

一阶电路的数学模型是一阶微分方程：

其解答一般形式为：

一阶电路的三要素：初始值f(0+)、特解和时间常数τ

在直流激励下，即c为常数

三要素法只适用于一阶电路，电路中的激励c可以是直流、正弦函数、阶跃函数等。

则不相等三要素法分析一阶电路过程1、首先分析待求量

待求量有很多，在过渡过程求解分析时，电路中各个元件的电压或者电流、以及功率等都可能作为待求来分析：+-uC1A2

1

3FS(t=0)+-uR1iR2iC如：图中待求量2、在待求量中选取首要问题来分析解决

众多的待求量中，首要问题只有两个：uc和iL。首先选取uc或iL采用三要素分析。3、然后再通过待求量与uc或iL的关系求解最终结果补例1

已知：图示电路已稳定

。

t=0时合开关，求换路后的uC(t)。解：t/suC2(V)0.667O

1A2

1

3F+-uCS(t=0)分析：本题的首要问题正好是待求量补例2

已知：电感无初始储能

t=0时,合K1,t=0.2s时合K2。求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2s

t>0.2s

i10V1HK1(t=0)K2(t=0.2s)3

2

分析：本题的首要问题也是待求量

例4-4如图所示电路，开关打开以前电路已达稳态，t=0时开关S打开。求t≥0时的uC

、iC

。解：uC的初始值：时间常数：

特解：

+-6V+-uc3k

1k

6k

S（t＝0）ict/suc/v64O分析:本题先解决的应该是：ucuc用三要素表示结果与波形显示然后:ic则利用与uc的关系求出

例4-5

如图所示电路，已知iL(0－)=2A，求t≥0时的iL(t)、i1(t)

。

先求出电感两端的戴维南等效电路，如图b所示，其中Uoc=24V，Req=6

。iL(0+)=iL(0－)=2

(b)UocReq–+iL3H解：得：然后：分析：显然先计算：iL(t)

2i1–+4A4Ωi1iL3H1、一阶电路的零输入响应和动态储能元件初始值成正比，称为零输入响应的线性性或齐性性。对错AB提交单选题1分2、RC一阶动态电路的过渡过程，就是充电过程。对错AB提交单选题1分3、RL一阶动态电路的过渡过程，R值越大，则时间常数τ越长。对错AB提交单选题1分4.3二阶电路分析

在二阶电路的分析中，三要素法已不适用。本节对于二阶电路的分析，采用的是经典法(双零响应）。二阶电路中，所列的方程是二阶微分方程，因而需要两个初始条件，它们均由储能元件的初始值决定。TheSecond-OrderCircuit4.3.1零输入响应－RLC串联情况uC(0-)=U0i(0-)=0已知求uC(t),i(t),uL(t).(t=0)RLC+-iucuL+-1、典型电路与标准待求量分析：标准待求量与一阶电路一样：uc和iL。2、标准待求量的方程—第一步3、标准待求量uc的解－第二步——二阶线性常系数齐次微分方程给定的初始条件为：将初始条件代入得U0≠0I0=0方程的解为的通用表达式：的结果大于、等于或小于零时，影响到uc解的表达式，具体表达如下：第三步一、Δ>0即：(t=0)RLC+-iucuL+-uc的波形tuc设|p2|>|p1||p1|小|p2|大U0uc显然uc的变化规律是一个单调衰减过程。非振荡性。过阻尼状态。i和uL的变化规律t=0+

i=0,t=i=0t=tm时i最大0<t<tm

i增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时uL

极小2tmuLtmiuL(0)=U0t>2tmuL

衰减加快t>0i>0tU0ucuL(

)=0关注tm值由uL=0可计算tm由duL/dt可确定uL为极小值的时间t2tmuLtmitU0uc关注能量转换关系0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i减小.RLC+-非振荡放电过阻尼RLC+-

当t<tm时，电感吸收能量，建立磁场；当t>tm时，电感释放能量，磁场逐渐消失；当t=tm时，正是电感电压过零点。2tmuLtmitU0uc二、Δ<0即：特征根为一对共轭复根uC的解答形式：

0

β

0

β三个待求量的波形δ——衰减系数，δ越大，衰减越快；ω0——电路的谐振角频率。ω——衰减振荡角频率，ω越大，振荡周期越小，振荡越快。

0

βuLuC-2-uctU00

2i

+能量转换关系<t<--<t<RLC+-RLC+-0<t<RLC+-uC减小，i增大uC减小，i减小|uC|增大，i减小衰减振荡欠阻尼

i

+uct-2-2U00uCuL特例R=0LC+-等幅振荡（无阻尼振荡）

0

βt在第九章有应用！三、Δ=0即：解出由初始条件非振荡放电（临界阻尼）2tmuLtmitU0uc可推广应用于一般的二阶电路定积分常数由小结：二阶电路分析过程第一步：列写待求量的微分方程(给或求出初值）：第二步：写出微分方程的特征方程；化简成第三步：写出方程解，由的判断，找出与RLC关系：特征方程与激励无关其实，每个电路，只可能是上述情况之一如图所示电路中，已知L=1H，C=0.25F，uC(0–)=4V，i(0–)=–2A。求以下几种情况，电容电压uC。（1）R=5

；（2）R=4

；（3）R=2

；（4）R=0

。(1)R=5Ω时，临界电阻<R电路为过阻尼情况。(t=0)RLC+-iucuL+-解：待求量列方程：

例4-6代入初始条件：

解得：代入：（2）R=4

时，电路为临界阻尼情况。例4-6续（4）R=0

，电路为无阻尼振荡（3）R=2

时，电路为欠阻尼情况。电路所示如图

t=0时打开开关。求:电容电压uC,并画波形图。解(1)

uc(0-)=25ViL(0-)=5A

特征方程为：50p2+2500p+106=05ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uc+-iL5Ω20Ω10Ω10Ω50V+-iL+uC-0-电路20Ω10Ω10Ω+-25V5AiC0+电路(2)uc(0+)=25ViC(0+)=-5A20Ω10Ω10Ω+-uCLCt

>0电路补例1(4)

由uC

t035825思考：结合对偶原理去预测？二阶电路的三种状态：过阻尼：欠阻尼：临界阻尼：不振荡慢速衰减过程。振荡衰减过程。不振荡快速衰减过程。RLC串联的情况！1）RLC并联呢？2）二阶电路有零状态响应和全响应吗？讨论：如果电路是GCL并联的时候1、电路求解图示电路t>0后的iL。2、列写方程uR=uC=uL，iLS(t=0)RLC+-isucuL+-ic+uR－iRiR+iC+iL=0，过阻尼临界阻尼欠阻尼提示：看看与前面串联电路的有何区别？练习列写uC为变量的电路方程，并判断过渡过程的性质。已知uc(0+)和iL(0+)均为非零初值。(过阻尼，欠阻尼，临界阻尼?)

解特征根为：p1=-2，p2=-3过阻尼响应KCL1

5/6H1/5F+uc-iL4.3.2零状态响应与全响应一.零状态响应

二阶电路的初始储能为零（即电容电压为零和电感电流为零），仅由外加激励所产生的响应称为二阶电路的零状态响应。

如图求所示电路中电压uc

(t)的零状态响应。分析过程：解：第一步列写微分方程由KVLusuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

和条件得方程——二阶线性常系数非齐次微分方程解答形式为：LCp2+RCp+1=0第三步:求特解ucp特解ucp为待求量稳态解图示电路中ucp＝us第四步：确定积分系数uC(0–)=0，i(0–)=0得全解usuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

第二步:求通解uch

如图所示电路，L=1H，C=1/3F，R=4

，us=16V，初始状态为零。求uC

(t)、i(t)。

1、列写电路方程为

2:求通解uchusuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

解例4-7特解

对应齐次方程的通解

第3步:求特解up第4步：确定积分系数,得全解usuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

二、全响应

如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。全响应举例已知：iL(0)=2AuC(0)=0R=50,L=0.5H,C=100F求：iL(t),iR(t)。解(1)列微分方程RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC(2)求通解(自由分量）特征根P=-100j100(3)求特解（强制分量，稳态解）(4)求全解RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC(5)由初值定积分常数iL(0+)=2A,uC(0+)=0（已知）(6)求iR(t)解答形式为：由初始值定积分常数RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC0+电路R=50

C=100FRiR50V2AiC(6)求iR（续）思考?iR（t）也可以用与iL，iC的关系求得。RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC比较与总结1.一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程的时间。2.二阶电路用三个参数，和

0来表示动态响应。特征根响应性质自由分量形式注意：是RLC串联的电路4.线性电路经典法(时域法）解二阶过渡过程包括以下几步：(1)换路后(0+)电路列写微分方程(2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定）(3)求强制分量（稳态分量）(4)全解=

自由分量+强制分量(5)将初值f(0+)和f

（0+)代入全解，定积分常数求响应(6)讨论物理过程，画出波形3.电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。求电感电流的零状态响应iL(t)t>0

(t)1

1/3

0.5F0.5HiL+iCiR解代入、整理得特征方程

p2+2p+1=0特征根p=p1=p2=-1初值iL(0+)=0,uL(0+)=0.25V？A1=0,A2=0.5iL(0+)=0练习：1、一阶电路三要素法公式法中，三要素是指：初值、终值、平均值;初值、终值、有效值;初值、终值，τ值;零值、终值，τ值ABCD提交单选题1分4.4阶跃响应与冲激响应4.4.1、阶跃函数与冲激函数一单位阶跃函数1.定义K+–uC1VRC2.延迟单位阶跃函数t

(t)1OUSUSK+–uC(t)RCUSt(t-t0)t0O例1例23.由单位阶跃函数可组成复杂的信号1t0tf(t)Ot0t-(t-t0)(t)Of(t)1t1f(t)O二单位冲激函数1.单位脉冲函数2.定义单位t(t)O

tf(t)Oic=CUS(t)t=0,时合开关S,S+–uCUSCick(t)实例电容C上电压突变！非单位脉冲函数电路分析中，这个函数有吗？tk(t)O这个量就是冲激函数3.

函数的筛分性

同理有：f(0)(t)

(t-t0)延迟单位冲激函数t

(t-t0)t0O单位延迟冲激函数ictCUS

(t-t0)t0O普通延迟冲激函数筛出0时刻的值

筛出τ时刻的值

=

(t)

即：积分与导数的关系！单位阶跃函数和单位冲激函数关系1）、

(t)的积分得到

(t)

2）、

(t)

的微分得到

(t)4.4.2、阶跃响应

电路对于(单位)阶跃函数输入的零状态响应称为(单位)阶跃响应，用s(t)表示。

求法：与在直流激励下的零状态响应相同。

如果电路的激励是幅度为K的阶跃函数，则根据零状态响应的比例性可知电路的零状态响应为Ks(t)。——比例性

由于非时变电路的电路参数不随时间变化，则在延迟的单位阶跃信号作用下，其响应为s(t–t0)。——非时变性（或定常性）。iC+–uCRuC(0-)=0思考：tO1itOi一阶电路阶跃响应分析为举例有区别吗？tO1i显然，是有区别的，时间域不一样！1）电源（激励）的比例性tuc1OtiC0当激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。延迟激励的响应为s(t–t0)。——非时变性iC

(t-t0)C+–uCR+-t-t0

(t-t0)t0注意t(

t-t0)不要写为延迟激励作用下2）延时响应的非时变性例4-8如图所示电路中，R=1

，L=2H，us的波形如图所示。计算t≥0时的零状态响应i，并画出i的波形。解

（1）分段计算在t＜0时，i=0在0≤t≤2s时，us=10V，电路为零状态响应，用“三要素”法求解。

在t≥2s时，us=0，电路为零输入响应。Lusi–+R2t10Ous(V)即：0≤t≤2st>2si=0，t＜06.322t/s10Oi/A（2）用阶跃函数表示激励电路的单位阶跃响应为由零状态响应的比例性和非时变性可得6.322t/s10Oi/A一个式子表达（3）与分时段解的结果是相等的0≤t≤2st>2si=0，t＜0比例性非时变性性4.4.3、冲激响应

电路在单位冲激函数δ(t)的激励下的零状态响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。求法一：是按照时间顺序分部求解－－物理意义明确：(1)先计算由δ(t)作用下的uC(0+)或iL

(0+)。

作冲激电源作用瞬间的等效电路：在冲激电源作用于电路的瞬间，电容应看做短路，电感应看做开路。如有冲激电流流过电容处，电容电压将发生跃变；如有冲激电压出现于电感两端，电感电流将发生跃变。(2)再求解由跃变产生的初值所引起的零输入响应，即为t>0时的冲激响应。先冲激出初值后初值零输入求法二：公式法－－借助数学公式的关系(1)先计算由ε(t)作用下的待求量的阶跃响应s(t)。(2)再由上面的公式

直接求出

。一阶和二阶电路的冲激响应分析例题如下：注意：分部求导：因为分部之后含有冲激项，要分析一下这个冲激项，有可能这个冲激项为零例4-9一阶RC电路冲激响应uc和ic。1.t在0-___0+间

2.t>0+

在初始电压作用下的零输入响应

icisRC+uc-

利用0时刻电路图求取电容在冲激电流作用后产生的初始电压方法一：时间顺序分析icisR+uc-icRC+uc-