机械能守恒定律(全章同步导学)x

第七章机械能守恒定律

课时17追寻守恒量

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古人常常会看到一些百思不得其解的现象．一颗小不点儿的种子，会发芽，会成长；鹅黄的幼芽会成长为一棵亭亭如盖的巨树．这些构成树木的物质是从哪儿来的呢？是无中生有的吗？木头燃烧后只剩下一点点灰；蜡烛燃烧后变得无影无踪．它们都到哪儿去了呢？每到秋天，大地铺满了落叶；可是，春天来了，这些落叶又不知到哪儿去了，难道是不翼而飞了吗？

2400多年前，古希腊哲学家德谟克利特写了这样一首诗：无中不能生有，任何存在的东西也不会消灭．看起来万物是死了，但是实则犹生；正如一场春雨落地，霎时失去踪影；可是草木把它吸收，长成花叶果实，依然欣欣向荣．由此可见，在很久以前人们就在变化中寻找不变的东西了．其实，尽管这个世界是千变万化的，但这种变化并不是没有规律的，主宰这些变化过程的是某些守恒量．让我们一起来追寻这些守恒量吧！

基础梳理基本要求1．知道守恒是自然界的重要规律，初步领会能量转化、变中有恒的思想．2．了解势能、动能的概念．3．领会寻找守恒量是科学研究的重要思想方法.发展要求会分析生活中有关机械能转化的问题．

知识精析

一、概念

1．能量能量是牛顿没有留给我们的少数力学概念之一，但是在牛顿之前，我们就能发现它的萌芽．能量及其守恒的思想在伽利略的实验中已经显现出来了．在伽利略的斜面实验中，小球在另一个斜面上停下来的位置总是与它出发的竖直高度相同，看起来好像小球“记得”自己的起始高度，由这一事实我们认为是“守恒量”，并且把这个量叫做能量或能．

2．守恒宇宙中有各种形式的能量，并且它们之间可以相互转化，能量在任何过程中都守恒．但要注意自然界中某几种形式的能量转化与守恒是有条件．

二、能量的转化各种不同形式的能量可以相互转化，并且在转化过程中能量总是守恒的．说明：(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等．

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．

三、势能同一物体位置越高，我们就认为它的势能越大．

1．定义：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能．

2．特征：势能存在于相互作用的两物体之间，即势能属于系统．

3．势能的表现形式：重力势能、弹性势能，以后还要学到的电势能、分子势能等．

四、动能定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能．说明：动能是一个状态量，动能的大小与物体的运动方向无关，只与物体的质量和运动速度的大小有关．

五、动能和势能的转化与守恒图示为伽利略的理想斜面示意图．伽利略发现：无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球最后总能上升到同一高度的斜面上的某点，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同．这个过程中，势能先转化为动能，动能又转化为势能，动能和势能的总量保持不变，因此小球还能上升到与出发点等高处．

方法探究

一、关于守恒量

例1

试以“伽利略的斜面理想实验”为例，说明引入能量概念的理由．

解析

从描述守恒量的角度进行分析．如果不引入能量概念，我们也可以对“伽利略的斜面理想实验”做这样的描述：“为了提高小球，伽利略施加了与重力方向相反的力．当他释放小球时，重力使小球滚下斜面．在斜面的底部，小球由于惯性而滚上另一斜面．”然而，这样的描述无法表达在空气阻力和摩擦力小到可以忽略的情况下，小球总是能够滚到与起始点相同的高度，无法描述小球运动过程中的守恒量．因此，从描述守恒量的需求来看，引入能量的概念是十分必要的．

答案

见解析

点评

引入能量的概念，是在物理学发展中追寻守恒量的一个重要实例．

例2

行驶中的汽车制动后滑行一段距离,最后停下来；流星在夜空中坠落，并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速下降．上述不同现象中所包含的相同的物理过程是(

)

A．物体的动能转化为其他形式的能量

B．物体的势能转化为其他形式的能量

C．物体的能量从一种形式转化为其他形式

D．物体的能量只会减小不会增加

分析

一切运动过程都满足一定的守恒定律．能量是一切运动物体最普遍的守恒量．

解析

汽车制动后受到摩擦阻力的作用，动能转化为内能；流星在空中坠落时受到空气阻力的作用，机械能转化为内能和光能；降落伞在空中匀速下降，受到空气阻力的作用，势能转化为内能．故C选项正确．

答案

C

点评

能量转化有不同的过程与形式，而在不同的转化过程中，能量的总量总是保持不变的，即能量是守恒的．

二、关于动能、势能

例3

以竖直上抛的小球为例说明小球的势能和动能的相互转化情况，在这个例子中是否存在着能的总量保持不变？(空气阻力不计)

解析

竖直上抛运动的小球，在上升过程中动能转化为势能，达到最高点时，动能为零，势能达到最大；在下落过程中，势能逐渐减小，动能逐渐增大，势能又转化为动能．在小球运动的整个过程中，小球的能的总量保持不变．

答案

见解析

点评

在本题中，若存在空气阻力，则这一过程还伴随着内能的转化，动能与势能的总量不再守恒，故某几种能量的转化和守恒需要特定的条件．

互动平台

能量守恒定律的发现

这个伟大的定律的完成得益于三位科学家，最早的一位是被称为“疯子”的德国医生迈尔(1814—1878)．1840年迈尔开始在汉堡独立行医，他对万事总要问个为什么，而且必亲自观察、研究、实验．1840年2月22日，他作为一名随船医生跟着一支船队来到了印度尼西亚．一天，船队在加尔各达登陆，船员因水土不服都生起病来，于是迈尔依老办法给船员们放血治疗．在德国，医治这种病时只需在病人静脉血管上扎一针，就会放出一股黑红的血来，可是在这里，从静脉里流出的仍然是鲜红的血．于是，迈尔开始思考：人的血液所以是红的是因为里面含有氧，氧在人体内燃烧产生热量，维持人的体温．这里天气炎热，人要维持体温不需要燃烧那么多氧了，所以静脉里的血仍然是鲜红的．那么，人身上的热量到底是从哪来的？顶多500克的心脏，它的运动根本无法产生如此多的热量，无法光靠它维持人的体温．那体温是靠全身血肉维持的了，而这又靠人吃的食物而来，不论吃肉吃菜，都一定是由植物而来，植物是靠太阳的光热而生长的．太阳的光热呢？太阳如果是一块煤，那么它能烧4600年，这当然不可能，那一定是别的原因了,是我们未知的能量了.他大胆地推出,太阳中心约2750万度(现在我们知道是1500万度),迈尔越想越多,最后归结到一点：能量如何转化(转移)?他一回到汉堡就写了一篇《论无机界的力》,并用自己的方法测得热功当量为365千克(力)米/千卡.他将论文投到《物理年鉴》,却得不到发表,只好发表在一本名不见经传的医学杂志上.他到处演说：“你们看,太阳挥洒着光与热,地球上的植物吸收了它们，并生出化学物质……”可是，即使如此物理学家们也无法相信他的话，很不尊敬地称他为“疯子”．另外两位是英国科学家焦耳(1818—1889)和数学教授威廉·汤姆孙(1824—1907)．1840年，焦耳发现将通电的金属丝放入水中，水会发热，通过精密地测试，他发现：通电导体所产生的热量与电流强度的平方、导体的电阻以及通电时间成正比．这就是焦耳定律．1841年10月，他的论文在《哲学杂志》上刊出．随后，他又发现无论化学能，电能所产生的热都相当于一定的功，即460千克(力)米/千卡．1845年，他带上自己的实验仪器及报告，参加在剑桥举行的学术会议．他当场做完实验，并宣布：自然界的力(能)是不能毁灭的，哪里消耗了机械力(能)，总得到相当的热．可台下那些赫赫有名的大科学家对这种新理论都摇头，连法拉第也说：“这不太可能吧．”当时的威廉·汤姆孙(1824—1907)是一位数学教授，他8岁随父亲去大学听课，10岁正式考入该大学，乃是一位科学奇才，而今天听到一个啤酒匠在这里乱嚷一些奇怪的理论，就非常不礼貌地当场退出会场．焦耳没把人们的不理解放在心上，他继续做实验，这样一直做了40年，他把热功当量精确到了423.9千克(力)米/千卡．1847年，他带着自己新设计的实验又来到英国科学协会的会议现场．在他极力恳求下，会议主席才给他很少的时间让他只做实验，不做报告．焦耳一边当众演示他的新实验，一边解释：“你们看，机械能是可以定量地转化为热的，反之一千卡的热也可以转化为423.9千克(力)米的功……”突然，台下有人大叫道：“胡说，热是一种物质，是热素，他与功毫无关系．”这人正是汤姆孙．焦耳冷静地回答道：“热不能做功，那蒸汽机的活塞为什么会动？能量要是不守恒，永动机为什么总也造不成？”焦耳平淡的几句话顿时使全场鸦雀无声．台下的教授们不由得认真思考起来，有的对焦耳的仪器左看右看，有的就开始争论起来．汤姆孙碰了钉子后,也开始思考,他自己开始做试验,找资料,没想到竟发现了迈尔几年前发表的那篇文章，其思想与焦耳的完全一致！他带上自己的试验成果和迈尔的论文去找焦耳，他抱定负荆请罪的决心，要请焦耳共同探讨这个发现．在啤酒厂里汤姆孙见到了焦耳，看着焦耳的试验室里各种自制的仪器，他深深为焦耳的坚韧不拔而感动．汤姆孙拿出迈尔的论文，说道：“焦耳先生，看来您是对的，我今天是专程来认错的．您看，我是看了这篇论文后，才感到您是对的．”焦耳看到论文，脸上顿时喜色全失：“汤姆孙教授，可惜您再也不能和他讨论问题了．这样一个天才因为不被人理解,已经跳楼自杀了,虽然没被摔死，但已经神经错乱了．”汤姆孙低下头，半天无语．一会儿，他抬起头，说道：“真的对不起，我这才知道我的罪过．过去，我们这些人给了您多大的压力呀．请您原谅，一位科学家在新观点面前有时也会表现得很无知的．”一切都变得光明了，两人并肩而坐，开始研究起实验来．

1853年，两人终于共同完成能量守恒和转化定律的精确表述．

互动训练

1．如图所示，用一轻绳系一小球悬于O点．现将小球拉至水平位置，然后释放，不计阻力．小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是[2009年高考·广东文科基础](

)

A．小球的机械能守恒

B．小球所受的合力不变

C．小球的动能不断减小

D．小球的重力势能增加

答案

A

2．下列物体中，具有动能的是(

)

A．房顶上的瓦片

B．公路上行驶的汽车

C．课桌上的书本

D．路旁的大树

解析

本题考查动能的概念，根据动能的概念——运动的物体具有的能量叫动能，可知B选项正确．

答案

B

点评

动能与物体的质量、速度有关，故也与参照系的选取有关，没有特别说明的情况下一般选取大地为参照系．课时18功

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桔槔是我国古代劳动人民在生产实践中发明创造的一种提水工具，是我国劳动人民聪明与智慧的结晶．如图18－1所示，从桔槔的设计、安装到使用都涉及机械学、力学以及功能原理等方面的知识，有许多奥妙值得我们发掘与探索．

请你思考：一个力是否对物体做功？做功的多少跟哪些因素有关？图18－1

基础梳理

知识精析

一、功的概念物体在力的作用下，若在力的方向上发生了位移，力就对物体做了功．

力和物体在力的方向上发生的位移是力对物体做功的两要素．基本要求1．初步认识做功与能量变化的关系．2．理解功的概念，知道做功的两个要素．3．明确功是标量，知道W＝Flcosα的适用范围，会用功的公式进行计算．4．理解正功、负功的概念，会根据公式计算多个力的总功．发展要求初步理解通过化变力为恒力来处理变力做功的思想方法．

二、功的计算式W＝Flcosa

a是力F与位移l方向的夹角．当0≤a＜90°时，W＞0，表示力对物体做正功；当90°＜a≤180°时，W＜0，表示力对物体做负功；当a＝90°时，W＝0，表示力对物体不做功．注意：l是指力F的作用点发生的位移．

三、合力功与分力功当有几个力同时对物体做功时，通常先把这几个力的合力求出来，再利用公式W＝F合·l·cosa求合力做功的大小，也可以先求出各个分力做的功，然后利用代数和求总功．

四、对功的定义式的理解

1．功的公式：W＝Flcosa，只适用于大小和方向均不变的恒力做功，公式中的l是指力的作用点发生的位移，a是指力的方向和位移的方向的夹角．W是可正可负的(当然也可能为0)，从公式容易看出，W的正负完全取决于cosa的正负，也就是a的大小．

2．公式W＝Flcosa可以理解为：功W等于力在位移方向上的分量Fcosa与位移l的乘积；或功W等于力F与位移在力的方向上的分量lcosa的乘积．

3．由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个力、力的作用点发生的位移以及力与位移的夹角有关，而跟物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无关．

4．理解功的公式中的l同一物体的运动，相对于不同的参考系，位移是不同的，因此对不同的参考系，同一过程中算出的功也就不同．为了避免这种结果的“不确定性”，在计算功时，位移通常都是以地面为参考系的．

五、用微元法求变力做的功对于变力做功，不能直接用W＝Flcosa进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用W＝Flcosa求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功．这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性．在高中阶段主要用于解决大小不变、方向与运动方向相同或相反的变力的做功问题．

方法探究

一、判断力是否做功

例1

在下图中的几种情形中所提到的力没有做功的是(

)

解析

在A、B、C、D各图中，只有D图中的受力物体没有发生位移，故D图中所提到的力做的功为零．

答案

D

点评

一方面要注意当物体没有发生位移时作用在其上的所有外力都不做功，另一方面要注意物体在某几个力的作用下(做功)发生了位移，有可能某些作用力不做功，如图B、C中的重力和支持力．

二、关于摩擦力做功问题

1．摩擦力(包括滑动、静摩擦力)和其他力一样，可能不做功，可能做负功，可能做正功．

2．一对静摩擦力做功的代数和一定为零．

3．一对滑动摩擦力不可能同时不做功，做功之和一定为负值，伴随着内能的转化．

例2

如图18－2所示，在光滑的水平面上有一辆静止的小车，一小木块以水平初速度v0从小车的左端沿其粗糙的上表面开始滑动．当小车运动的位移为l1时，木块运动的位移为l2，木块和小车恰好达到相同的速度v(v<v0)，此后木块和小车一起做匀速运动．已知木块与小车间的滑动摩擦力的大小为f，求在此过程中木块与小车间的滑动摩擦力分别对小车和木块所做的功．

图18－2

解析

木块在小车上发生相对滑动的过程中，木块对小车的滑动摩擦力向右，与小车的位移方向相同，滑动摩擦力对小车做正功，即W1＝f·l1．小车对木块的滑动摩擦力向左，与木块的位移方向相反，滑动摩擦力对木块做负功，即W2＝－f·l2，并且有W1＋W2＝－f(l2－l1)＝－fΔl．

答案

见解析

点评

①由本例可知，求功的计算式中的l一般要取大地为参考系．②题中小车的位移应取l1而不是l2，要区别作用点(物)发生的位移与作用点的改变．③以后会学到：W1＋W2＝－f·Δl(等于这一过程转化的内能)．

变式训练1

如图18－3甲所示，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在光滑的水平桌面上，A与B之间的动摩擦因数为μ．现用一水平拉力F作用于B上，使A和B保持相对静止地向右运动一段位移s，则在此过程中摩擦力对A做的功为________，对B做的功为________．

图18－3甲

解析

求摩擦力做的功，首先应找出A、B两木块所受摩擦力的大小及方向，然后再分析两者的位移，最后根据功的表达式求解．对A、B进行受力分析，如图18－3乙、丙所示．

乙丙图18－3对A、B组成的整体运用牛顿第二定律得：

a＝

隔离木块A，由牛顿第二定律得：

fBA＝－fAB＝F静摩擦力对木块A做的功为：

WfBA＝fBA·s＝Fs静摩擦力对木块B做的功为：

WfAB＝－fBA·s＝－Fs本题中静摩擦力对木块A做正功，对木块B做负功．这对静摩擦力做的功的代数和为：

W＝WfAB＋WfBA＝0．

答案

Fs

－Fs

三、关于功的定义式

例3

如图18－4甲所示，重物的质量m＝1kg，动滑轮的质量忽略不计．现竖直向上拉动细绳，使重物由静止开始以a＝5m/s2的加速度匀加速上升，则在1s内拉力F做的功为多少？(g取10m/s2)

图18－4甲

解析

由图可知拉细绳的力为F，则滑轮对重物的拉力为2F，由牛顿第二定律，有：

2F－mg＝ma解得：F＝7.5N

图18－4乙

又由题意知重物在1s内上升的距离为：

h＝at2＝2.5m故拉力的作用点上升的距离如图18－4乙所示，有：

h′＝2h＝5m由功的定义知拉力做的功为：

W＝F·h′＝37.5J．

答案

37.5J

点评

①本题要注意拉力的作用点为绳上某处，并非重物．②本题还可以根据拉力做的功等于滑轮拉重物做的功进行求解，即W＝2F·h＝37.5J．

变式训练2如图18－5甲所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于长木板始终保持静止．关于长木板对重物P的摩擦力和支持力的做功情况，下列判断正确的是(

)

图18－5甲

A．摩擦力对重物不做功B．摩擦力对重物做负功

C．支持力对重物不做功D．支持力对重物做正功

解析

P的受力情况如图18－5乙所示，由图可知支持力始终与位移方向相同，故支持力对重物做正功；静摩擦力的方向沿长木板向上，任一时刻都与位移的方向垂直，故静摩擦力对重物不做功．

图18－5乙

答案

AD

点评

本题中的支持力与静摩擦力都是变力，不能直接套用公式，要用微元法把时间分成无限多的小段，之后会发现支持力FN总与Δl同方向，f总与Δl垂直．

互动平台

育才老师和细心同学关于计算几个同时作用于物体的力所做的总功的对话

细心:老师，因为功是标量，在计算几个同时作用于物体的力所做的总功时，可以先求出每个力分别做的功，再求它们的代数和；也可以先求合力，再求合力做的功．育才:你说得很正确，但在具体的问题中，常采用第一种方法计算合力做的功．

粗心同学和细心同学关于功的正负问题的对话

粗心:当力和物体位移间的夹角大于90°时，力对物体做负功，是不是表示功的方向与物体的运动方向相反？细心:我问你功是矢量还是标量？粗心:标量．细心:标量怎么会有方向呢？粗心:我懂了.负功表示物体克服阻力做功.并不表示方向.细心:还不错嘛！

互动训练

1．如图所示，物体沿弧形轨道滑下后到达足够长的水平传送带上，传送带沿图示方向匀速运行．则传送带对物体做功的情况可能是(

)

A．始终不做功

B．先做负功后做正功

C．先做正功后不做功

D．先做负功后不做功

解析

设传送带的速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2．

a．当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功．选项A正确．

b．当v1＞v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到v1再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功．选项C正确．

c．当v1＜v2时，物体相对于传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力方向向左，则物体先做匀减速运动直到速度为v1再做匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功．选项D正确．

答案

ACD

2．物体沿直线运动的v－t

关系如图所示，已知在第1s内合外力对物体做的功为W，则[2007年高考·上海物理卷](

)

A．从第1s末到第3s末合外力做的功为4W

B．从第3s末到第5s末合外力做的功为－2W

C．从第5s末到第7s末合外力做的功为W

D．从第3s末到第4s末合外力做的功为－0.75W

解析从第1s末到第3s末，物体受到的合外力为零，做的功为零，选项A错．从第3s末到第5s末，物体受到的合外力为-

，位移为2s，合外力方向与位移方向相反，故W2＝·2s·cosp＝-W，选项B错．从第5s末到第7s末，物体受到的合外力为-

，位移为-2s，合外力方向与位移方向相同，故W3＝·2s·cos0＝W，选项C正确．从第3s末到第4s末，物体受到的合外力为-

，位移为

s,合外力方向与位移方向相反,故W4＝·s·cosp＝-0.75W,选项D正确．

答案

CD

3．一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示．设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是x1和x2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至t0时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则[2009年高考·海南物理卷](

)

A．x2＝5x1，v2＝3v1 B．x1＝9x2，v2＝5v1

C．x2＝5x1，W2＝8W1 D．v2＝3v1，W2＝9W1

答案

AC课时19功率

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搬运工可用手将装满水泥浆的翻斗车推到楼顶，也可以用起重吊车将同一翻斗车吊到楼顶；耕同一块地可以用牛耕，也可以用拖拉机耕；挖土时，可以用人工挖，也可以用挖掘机挖．

请你思考：

1．人工和机器在完成同一件工作的过程中，做功有何关系？

2．人工和机器在完成同一件工作时的快慢有何差别？

基础梳理基本要求1．理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关计算．2．理解额定功率与实际功率的概念．3．了解平均功率与瞬时功率的含义．4．根据功率的定义式推导P＝Fv，并能用于分析、计算和解释现象．5．能分析汽车发动机的功率—定时，牵引力与速度之间的关系．发展要求通过对各种机械的功率的探究和有关功率的测量，认识功率概念在生活中的应用．

知识精析

一、功率

力在一段时间内对物体所做的功跟完成这些功所用时间的比值，叫做这个力的功率．功率是表示力对物体做功快慢的物理量．

1．定义式：P＝

P＝是求某力在一段时间内或一个过程中的平均功率,只有当物体匀速运动时，其值才等于瞬时功率．

2．计算式

P＝Fvcos_a，其中a是F与v之间的夹角．对力F的理解应注意以下几点：

(1)力F可以是恒力，也可以是变力；

(2)力F可以是某一个力，也可以是某几个力的合力．也就是说，利用P＝Fvcosα这一表达式，可以求恒力在某时刻的功率，也可以求变力在某时刻的功率；可以求某个力的功率，也可以求合力的功率．对速度v的理解要注意以下两点：

(1)物体的速度可能是恒定的，也可能是变化的；

(2)物体的速度大小、方向都发生变化时，仍可以求力的功率．如平抛物体的运动过程中，尽管物体的速度大小、方向都不断发生改变，但重力的方向及大小都不变，而物体的竖直分速度vy＝gt．因此，平抛物体经时间t，重力的瞬时功率P＝mg·vy＝mg·gt＝mg2t．在恒力作用下，物体做变速运动，如果v是某一时刻的瞬时速度，则P＝Fvcosα表示该力在该时刻的瞬时功率；如果v是某一段时间内的平均速度，则P＝Fvcosα

表示该力在这段时间内的平均功率．

3．国际单位制中，功率的单位是瓦特(符号：W)，且1W＝1J/s．

二、额定功率和实际功率

1．额定功率是指动力机械在正常条件下长时间工作所能提供的最大功率，通常在铭牌上标明，它是人们对机械选择所依据的重要配置参数．

2．实际功率是指机械在正常工作的过程中实际输出的功率，它一般比额定功率要小．

3．在工作过程中，实际功率可以等于额定功率(称为满负荷工作)，也可以短时间内略大于额定功率(称为超负荷工作)，但是决不能长时间超负荷工作，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命，甚至导致事故发生．

三、关于公式P＝Fv的讨论

1．当功率P一定时，F∝，即速度越小，其做功的力就越大．例如，当汽车发动机的功率一定时，上坡时由于要增大牵引力，司机就只能用换挡的办法减小速度以获得较大的牵引力．

2．当速度v一定时，P∝F，即做功的力越大，它的功率也越大．例如，汽车从平路到上坡，若要保持速度不变，必须加大油门，增大发动机功率来得到较大的牵引力．

3．当力F一定时，P∝v，即速度越大，功率越大．例如，起重机吊同一物体以不同的速度匀速上升，输出功率不等，速度越大，起重机的输出功率越大．

方法探究

一、对功率的理解

例1

一种测定运动员体能的装置如图19－1所示，运动员的质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮(不计滑轮摩擦及其重量)悬挂重物m2，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带上侧以速度v向右运动．下列关于人对传送带做功的四种说法中，正确的是(

)

图19－1

A．人对传送带做功

B．人对传送带不做功

C．人对传送带做功的功率为m2gv

D．人对传送带做功的功率为(m1＋m2)gv

解析

因人的重心相对于地面不变，故人受到的摩擦力大小等于m2g，因此人对传送带的摩擦力大小为m2g，方向向右．由于传送带在该力的方向上有位移，因此人对传送带做正功，做功的功率P＝m2gv．

答案

AC

点评

在恒力作用下物体沿力的方向做匀速运动，则该力做功的功率既可以用公式P＝求，也可以用公式P＝Fv求．

二、平均功率与瞬时功率

例2

如图19－2甲所示，滑轮的质量和滑轮与绳之间的摩擦均不计，质量为2kg的物体在力F的作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图19－2乙所示．则(取g＝10m/s2)(

)

图19－2

A．物体的加速度大小为2m/s2

B．F的大小为21N

C．4s末，F做功的瞬时功率为42W

D．4s内，F做功的平均功率为42W

分析

(1)v－t图象的斜率表示物体运动的加速度．

(2)求平均功率一般用P＝，求瞬时功率一般用P＝Fvcosα．

解析

由v－t图象可得：物体的加速度a＝0.5m/s2由牛顿第二定律得：2F－mg＝ma所以F＝＝10.5N

4s末，F做功的瞬时功率为：

P＝F·2v＝10.5×2×2W＝42W

4s内，F做功的平均功率为：

W＝21W．

答案

C

点评

注意：本题中力的作用点的速度是物体运动速度的2倍．如图19－3甲所示，一质量为m的物体，从倾角为θ的光滑斜面顶端由静止下滑，开始下滑时离地面的高度为h．当物体滑至斜面底端时，重力的瞬时功率为(

)

图19－3甲

A．mg B．mgsinθ

C．mgcosθ D．mgsin2

θ

分析

求某力的瞬时功率用公式P＝Fvcosα．

解析

由动力学规律知道，物体沿光滑斜面下滑时做匀加速运动，其加速度a＝gsinθ，由斜面高度h求得斜面长度，即物体做初速度为零的匀加速运动的位移s＝物体刚滑至斜面底端时的速度v＝，刚到斜面底端时物体的受力情况如图19－3乙所示．

图19－3乙

由P＝Fvcosα，得此时重力的瞬时功率为：

P＝mgvcos(－θ)

即P＝mgsinθ．

答案

B

点评

这是一道综合性的动力学例题，计算时要注意：当力与速度不在一条直线时，找出力与速度方向的夹角，再运用相关公式求解．

三、机车启动的两种情况分析

1．以恒定功率启动机车以恒定的功率启动后，若运动的过程中所受阻力f不变，由牵引力F＝知，F随v增大而减小．根据牛顿第二定律a＝可知,当速度v增大时，加速度a减小，机车做加速度减小的加速运动；直至F＝f时，a减小至零，此后机车的速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是vm＝．下面是这个动态过程的简单方框图．

这一过程的P-t图象和v－t图象分别如图19-4甲、乙所示.

甲乙图19－4

2．以恒定的加速度启动由公式a＝知，当加速度a不变时，发动机的牵引力F恒定；再由P＝F·v知，F一定时，发动机的实际输出功率P随v的增大而增大，当P增大到额定功率以后不再增大；此后，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至F＝f时，a＝0，车速达到最大值vm＝，此后机车做匀速运动．在P增至P额之前，机车做匀加速运动，其持续时间为：

t0＝这个v0必定小于vm，它是机车的功率增至P额时的瞬时速度．计算时，先由F－f＝ma求出F；再求出v0＝；最后根据v0＝at0求出t0．在P增至P额之后，机车做加速度减小的加速运动，直至达到vm．下面是这个动态过程的简单方框图．这一过程的P－t图象和v－t图象分别如图19－5甲、乙所示．

甲乙图19－5注意：P＝F·v中的F仅是机车的牵引力，而非车辆所受到的合力，这一点在计算时极易出错．

例3

某汽车发动机的额定功率为60kW，该车的质量为5t，在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．取g＝10m/s2．则：

(1)若汽车以额定功率启动，汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度为5m/s时的加速度是多大？

(2)若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动，则这一过程能维持多长时间？这一过程中，发动机的牵引力做了多少功？

解析(1)汽车以额定功率启动，当a＝0时，汽车速度达到最大值．由P＝Fv＝fvm，得：vm＝＝12m/s当v＝5m/s时，有：汽车的牵引力F＝＝1.2×104N汽车的加速度a＝＝1.4m/s2．

(2)汽车以0.5m/s2的加速度运动时，所能达到的最大速度为：vm′＝＝8m/s这一过程能维持的时间t＝s＝16s这一过程中牵引力为恒力，做的功为：

W＝Fl＝(f＋ma)·at2＝4.8×105J．

答案

(1)12m/s

1.4m/s2

(2)16s

4.8×105J

点评

汽车启动问题常讨论的两种情况：以恒定功率启动(P一定)和以恒定的加速启动(F一定)．对于汽车以恒定功率启动类问题，要掌握两种计算的方法．①由加速度求速度的问题，先由牛顿第二定律求牵引力，再由P＝Fv求对应的速度．②由速度求加速度的问题，先由P＝Fv求牵引力，再由牛顿第二定律求对应的加速度．对于汽车以恒定的加速启动类问题，要注意其匀加速的末状态．当汽车功率达到额定功率时，汽车的速度并不是它所能达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过程，这个过程结束时，其速度才达到最大速度．

变式训练2

一质量m＝1.0×104kg的汽车，在平直的公路上行驶，其发动机的输出功率和所受的阻力不变．已知汽车的速度v1＝5.0m/s时，其对应加速度a1＝0.75m/s2；速度v2＝10m/s时，其对应的加速度a2＝0.25m/s2．求：

(1)汽车发动机的输出功率P．

(2)汽车可能达到的最大速度vm．

解析(1)由题意知汽车以恒定功率启动时，初始阶段为变加速运动，设任意时刻的速度和加速度分别为v和a．设汽车的输出功率为P，所受的阻力为f．由公式P＝F·v，F－f＝ma

整理得：P＝(f＋ma1)v1

P＝(f＋ma2)v2联立解得：f＝0.25×104N

P＝5×104W．

(2)最大速度vm＝＝20m/s．

答案

(1)5×104W

(2)20m/s

互动平台

粗心同学和细心同学关于区分瞬时功率和平均功率的对话

粗心：计算平均功率只能运用公式P＝，计算瞬时功率则运用公式P＝Fvcosθ．细心：公式P＝Fvcosθ中的v是指什么速度？粗心：瞬时速度．细心：如果公式P＝Fvcosθ中的v是指平均速度呢？粗心：哦,我明白了.平均功率也可以用公式P＝Fcosθ

来求解．

互动训练

1．机车由静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受的阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是[2007年高考·广东物理卷](

)

A．机车输出功率逐渐增大

B．机车输出功率不变

C．在任意两相等的时间内，机车动能的变化相等

D．在任意两相等的时间内，机车动量的变化大小相等

解析

机车的牵引力F＝f＋ma恒定不变，故输出功率均匀增大；由动能定理得，ΔEk＝F合·s，在连续相等的时间间隔里，位移越来越大，故选项C错误；又由动量定理Δp＝F合·t

知，选项D正确．

答案

AD

2．质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则[2009年高考·宁夏理综卷](

)

答案

BD

3．与普通自行车相比，电动自行车骑行更省力．下表为某一品牌电动自行车的部分技术参数．在额定输出功率不变的情况下，质量为60kg的人骑着此电动自行车沿平直公路行驶，所受阻力恒为车和人总重的0.04倍．当此电动车达到最大速度时，牵引力为______N；当车速为2m/s时，其加速度为______m/s2．(取g＝10m/s2)规格后轮驱动直流永磁铁电机车型14”电动自行车额定输出功率200W整车质量40kg额定电压48V最大载重120kg额定电流4.5A

解析

由题意知，人骑电动自行车行驶时受到的阻力f＝0.04m总g＝40N故最大速度时牵引力F＝f＝40N当v＝2m/s时，F′＝＝100N

a＝＝0.6m/s2．

答案

40

0.6课时20重力势能

课前导航

三峡工程是全世界最大的水力发电工程．一座长2309m、最高点高185m的堤坝建于长江之上，当工程完工后，一个水库便在堤坝上游形成，水库的正常水位比堤坝另一面的水位高175m．水从水位高的地方流向水位低的地方，经过位于堤坝底部的水轮发电机，使它转动产生电能．预计三峡工程完工后，总发电功率为18200MW．三峡工程水力发电是利用水的什么能来发电的呢？本课时的内容将定量地分析与此相关的问题．

基础梳理基本要求1．认识重力做功与路径无关的特点．2．理解重力势能的定义式并能进行计算．3．理解重力做功与重力势能的变化的关系．4．知道重力势能具有的相对性．5．知道重力势能是物体与地球系统所共有的．

知识精析

一、重力势能

1．概念：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．

2．表达式：Ep＝mgh．

3．单位：在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳(J)．说明：(1)平常在书中或练习题中所述某物体的重力势能，严格地讲是物体和地球所共有的；

(2)重力做功与物体的运动路径无关，只与起点和终点的位置有关．正是由于重力做功具有与路径无关的特点，才能引入重力势能的概念．

二、重力势能的相对性重力势能是相对量，重力势能的大小与参考平面的选择有关，要确定重力势能，必须事先选定参考平面．在Ep＝mgh中，h是物体相对于参考平面的高度，当物体在参考平面以上时，重力势能取正值；当物体在参考平面以下时，重力势能取负值；当物体处在参考平面上时，重力势能为零．所以，同一物体在同一位置，由于参考平面选择的不同，其重力势能也不同．重力势能是标量，只有大小而无方向，正负表示势能的大小．

三、重力做功WG与重力势能Ep的区别与联系表达式WG＝mgΔhEp＝mgh影响大小因素重力和始末位置的高度差Δh重力和物体到参考平面的高度特点只与始末位置的高度差有关，与路径及参考平面无关与参考平面的选择有关过程量状态量联系1．重力做功是重力势能改变的量度，重力对物体做多少功，物体的重力势能就减少多少，即：WG＝Ep－Ep′＝－ΔEp．2．重力做正功，重力势能就减少；重力做负功，重力势能就增加．

方法探究

一、对重力势能的理解

例1

下列关于重力势能的说法中，正确的是(

)

A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B．只有确定了参考平面才能确定物体的重力势能

C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功

D．在地面上的物体，它的重力势能一定等于零

解析重力势能具有系统性和相对性，故A、B选项正确．因为重力势能具有相对性，所以重力势能等于零是一个相对的量，当参考平面的位置变化后物体的势能也就变化，因此不能说物体就不具有做功的本领．如果不选地面为参考平面,地面上物体的重力势能就不为零.所以C、D选项错误．

答案

AB

点评

物体的重力势能随所选取的参考平面的变化而变化，可以为正值，可以为负值，也可以为零．

变式训练1

试结合重力势能的物理意义来分析解答以下问题：

(1)一块大石头放在地面上和悬挂在空中时，站在地面上的人会有什么不同的感觉？

(2)若把悬挂在空中的大石头换成一个气球，站在地面上的人会有什么不同的感觉？

(3)大石头放在高高的台阶的边缘，站在石块旁台阶上面的人和台阶下面的人有什么不同的感觉？

答案

(1)人由经验获知大石头的高度增大了，石头具有的能量大了，人的危险感就大．联系本课时的知识能说明：物体的高度越高，物体的重力势能也就越大．

(2)悬挂的石头换成气球，物体的质量减小了，人的危险感会减小．联系本课时的知识能说明：物体的质量越大，物体的重力势能也越大．

(3)台阶上的同一块石头，对于台阶上面的人没有危险感，对于台阶下面的人有危险感．联系本课时的知识能说明：物体的重力势能与参考平面的选择有关．

二、重力势能的变化量

例2

如图20－1所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k．现用手拉住弹簧的上端，使弹簧的上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求物体的重力势能的增加量．

图20－1

分析

物体被提升的高度等于弹簧的上端被提升的高度与弹簧拉伸的长度之差．

解析

物体离开地面后，弹簧的伸长量为：

Dx＝物体上升的高度为：Dh＝h-Dx＝h-物体的重力势能的增加量为：

DEp＝mgDh＝mg(h-)．

答案

mg(h-)

点评

由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力的作用点上移的高度,拉力做功也不等于物体重力势能的增加．

变式训练2如图20－2所示，桌面距地面0.8m，一质量为2kg的物体放在距桌面高0.4m的支架上．(取g＝9.8m/s2)

图20－2

(1)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能．若物体由支架下落到桌面，则此过程中重力势能减少了多少？

(2)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能．若物体由支架下落到桌面，则此过程中重力势能减少了多少？

解析

先找到参考平面，然后找到物体与参考平面的高度，由Ep＝mgh计算．在计算重力势能的变化量时，注意只与物体的始末位置相关，而与路径无关．

(1)以地面为参考平面，物体的高度h1＝1.2m，因而物体的重力势能具有Ep1＝mgh1＝2×9.8×1.2J＝23.52J．物体落至桌面时的重力势能为Ep2＝mgh2＝2×9.8×0.8J＝15.68J．物体重力势能的减少量ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84J．

(2)同理Ep1′＝7.84J，Ep2′＝0，故物体落至桌面时，重力势能的减少量ΔEp′＝7.84J．

答案

(1)23.52J

7.84J

(2)7.84J

7.84J

例3

在水平地面上平铺着n块相同的砖，每块砖的质量都为m，厚度都为d．若将这n块砖一块一块地叠放起来，需要克服重力做多少功？

解析

n块砖平铺在水平地面上时，系统重心离地的高度为．当将它们叠放起来时，系统重心离地的高度为.所以需要克服重力做的功为：

W＝Ep2－Ep1＝nmg·－nmg·＝n(n－1)mgd．

答案

n(n－1)mgd

点评

本题也可这样求解：将第2块砖叠上时，重力做功W2＝－mgd将第3块砖叠上时，重力做功W3＝－mg·2d

……将第n块砖叠上时，重力做功Wn＝－mg(n－1)d所以，将这n块砖一块一块地叠放起来，重力做功为：

WG＝W2＋W3＋…＋Wn＝－mgd－mg·2d－…－mg(n－1)d＝－n(n－1)mgd故需克服重力做功为n(n－1)mgd．显然，用重力势能变化的解法更简单些．

解析

解法一求铁链的重力势能时，可以把铁链分成AB和BC两部分，先分别求出两部分的重力势能，再求整条铁链的重力势能．选取斜面的底端为参考平面，则原来铁链的重力势能等于AB和BC两部分重力势能之和，即：

Ep1＝mg·sin30°－mg·＝－mgl

铁链刚离开斜面时的重力势能为：Ep2＝－mg·

所以重力势能的变化量为：

ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgl

即重力势能减少了mgl．

解法二铁链刚离开斜面时相当于AB段到了CD位置，而BC段不动，如图20－3乙所示．则有：

图20－3乙

ΔEp=Ep2-Ep1=mg·-

mg·sin30°=-

mgl

即重力势能减少了mgl．

答案

mgl

三、关于重力势能的综合题

例4

如图20－4所示，劲度系数为k1的轻质弹簧1的两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧2的上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面．在此过程中，两物块的重力势能分别增加了多少？

图20－4

分析

开始时，整个系统处于平衡状态，两弹簧均被压缩．现施力将物块1缓慢上提，直到弹簧2刚好脱离桌面，在此过程中弹簧2由压缩状态逐渐恢复到自由长度，弹簧1由压缩状态变为拉伸状态．

解析

刚开始时，下面的弹簧受到的压力大小为(m1＋m2)g，弹簧的压缩量Δx2＝．要使弹簧2离开桌面，物块2应上升高度Δx2，则物块2增加的重力势能为：

ΔEp2＝m2g·g＝把物块1拉起的过程中，上面的弹簧是由压缩状态转为拉伸状态，其原先压缩的长度Δx1＝最终拉伸的长度Δx1′＝则物块1被提升的高度为：

Δx1＋Δx1′＋Δx2＝所以，物块1增加的重力势能为：

ΔEp1＝m1g(Δx1＋Δx1′＋Δx2)＝m1g[]＝m1(m1＋m2)g2()．

答案

物块1、2增加的重力势能分别为

m1(m1＋m2)g2()和

点评

本题涉及物体的平衡条件和重力势能的概念，所述的物理过程比较复杂，难度比较大．解题时需把物理过程分析清楚，注意整体法与隔离法的运用．

互动平台

育才老师和细心同学关于重力势能相对性的对话

细心：老师，关于重力势能，我有了新的认识．重力势能是相对量，其大小与参考平面的选取有关，要确定重力势能，必须事先选定参考平面．在公式Ep＝mgh中，h是物体相对于参考平面的高度．当物体在参考平面以上时，重力势能取正值；当物体在参考平面以下时，重力势能取负值；当物体处在参考平面时，重力势能为零．所以，同一物体在同一位置，由于参考平面的选取不同，其重力势能的数值也可能不同．育才：你说得完全正确．但我这里还想补充一点，重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负，其正负表示与在参考平面上物体势能的相对大小．比较物体的重力势能大小时，需带正负号比较，例如：1J＞0＞－2J．

互动训练

1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h．若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是(

)

A．mgh，减少mg(H－h)

B．mgh，增加mg(H＋h)

C．－mgh，增加mg(H－h)

D．－mgh，减少mg(H＋h)

解析

重力势能Ep′＝mg(－h)＝－mgh重力势能的变化ΔEp＝E1′－Ep＝－mgh－mgH＝－mg(h＋H)即重力势能减少mg(H＋h)．

答案D

2．质量为m的物体,在距地面h高处从g的加速度由静止开始竖直下落至地面．下列说法正确的是(

)

A．物体的重力势能减少了mgh

B．物体的重力势能减少了mgh

C．重力做功为mgh

D．重力做功为mgh

解析

重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝WG，与运动轨迹和运动过程无关，也与重力以外其他力的做功无关．

答案

B

3．如图甲所示，一长为L的均匀铁链对称地挂在一轻质小滑轮上．由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，则至铁链完全离开滑轮的过程铁链重力势能的变化为(

)

A．mgL B．－mgL

C．mgL D．－mgL

解析

铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能，如图乙所示，即：

ΔEp＝－mg·＝－mgL

答案D乙甲课时21探究弹性势能的表达式

课前导航

男子跳高(如图21－1甲所示)现在的世界纪录是2.45m，是由古巴运动员索托马约尔于1993年7月27日在萨拉曼萨(卡)创造的．我国选手朱建华曾创造了该项目的世界纪录，朱建华现在还保持着2.39m的亚洲纪录，这一成绩是1984年的世界纪录．而男子撑竿跳高(如图21－1乙所示)的世界记录是6.14m，是乌克兰运动员布勃卡在1994年7月31日的赛斯特里尔创下的．请从能量的角度解释：撑竿跳高的记录能超过6m，比普通跳高的记录高得多，是“撑竿”给甲乙予了运动员能量吗？为什么？图21－1

基础梳理基本要求1．知道探究弹性势能表达式的思路．2．理解弹性势能的概念，会分析影响弹簧弹性势能大小的相关因素．3．体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法．发展要求领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法．

知识精析

一、对该探究活动的认识

“探究弹性势能的表达式”是一个不包含实验的探究活动．按照课程标准的要求，这一探究活动意在检验以下三点．

1．重力势能的表达式是通过对重力做功的分析得出的，那么能否想到弹性势能的表达式有可能通过对弹力做功的分析而得出？

2．是否能从前面利用极限思想的实例中受到启发而产生认知的迁移？在此要说明的是，虽然通过探究找出了弹性势能的表达式，但并不要求同学们利用这一表达式进行任何计算．

3．关于弹性势能的相对性．重力势能Ep＝mgh，其大小是相对于参考平面的，选取的参考平面不同，重力势能的值也不同，所以重力势能具有相对性．对于弹簧，我们也可以规定其任意长度时的势能为零势能．但为了方便描述和分析，我们总是选取弹簧处于原长时的势能为零势能参考点，由于此时弹簧的弹性势能是最小的，故其他位置的弹性势能均大于零．

二、探究活动的方法和步骤

1．提出问题 2．猜测与假设

3．设计方案 4．实施方案

5．记录数据 6．分析归纳图象

7．得出结论 8．讨论交流

三、弹簧弹性势能的表达式

1．弹性势能的决定因素

(1)类比：重力势能与物体所受到的重力有关，与相对高度有关；与之对应的弹性势能应该与弹力有关，与弹性形变有关；又因为F弹＝kl，故可猜想弹性势能与k、l有关．重力势能与相对高度成正比，其中重力是恒力(地表附近)；而弹簧的弹力与弹性形变有关，故弹性势能应该不与形变成正比．

(2)结论：①弹性势能与弹簧伸长或缩短的长度有关，但弹性势能与弹簧伸长或缩短的长度不是正比关系，因为弹力的大小是变化的，可以确定弹性势能随伸长或缩短(相对于原长)的距离的增大而增大；②弹性势能与弹簧的劲度系数有关：用不同劲度系数的弹簧做实验，弹簧压缩量相同时，劲度系数大的弹簧将物体弹出的距离远，说明弹性势能随弹簧劲度系数的增大而增大．

2．表达式

(1)弹性势能是相对的，其大小在选定了零势能参考点后才有意义．对弹簧，一般选弹簧处于自由长度时为零势能参考点，因为这样选取处理问题方便．

(2)根据势能的定义可知，当弹簧的伸长(或压缩)量为l时，相对原长状态所具有的做功本领为弹性势能的大小，或者说使弹簧伸长(或压缩)l的过程中克服弹力所做的功等于弹性势能的增加．

(3)使弹簧产生形变l需克服弹力做的功．计算匀加速直线运动的位移时，可用速度和时间的乘积得到位移，但是速度是在不断变化的，于是采用微元法，把整个运动过程分成很多小段，每个小段中物体的速度的变化比较小，可以近似地用小段中任一时刻的速度和这一小段时间间隔相乘得到这一小段位移的近似值，然后把各小段位频慕值相加．当各小段分得非常小的时候，得到的就是匀变速直线运动的位移表达式了．(过程如图21－2所示)

图21－2研究克服弹力做功时也可以把变力做功的问题转化为恒力做功的问题来解决．把拉伸的过程分为很多小段，它们的长度是Δl1、Δl2、Δl3……在各个小段上，拉力可以近似认为是不变的，它们分别是F1、F2、F3……所以在各个小段上，拉力做的功分别是F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3……拉力在整个过程中做的功可以用它在各个小段做功之和来表示，即W＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3……如图21－3所示，F－x图象所围的面积表示拉力所做的功．

图21－3

(4)结论：弹簧伸长或压缩相同形变所具有的弹性势能相等，弹性势能Ep＝，其中k为弹簧的劲度系数，l为弹簧的形变量．

方法探究

一、对弹性势能的理解

例1

关于弹性势能，下列说法中正确的是(

)

A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能

B．任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变

C．只要物体发生了形变，就一定具有弹性势能

D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关

解析

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体发生了形变，若是非弹性形变，可能无弹力作用，则物体就不具有弹性势能．弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数的大小相关．故A、B选项正确．

答案

AB

点评

发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．

变式训练

关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(

)

A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大

B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小

C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大

D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

解析

弹性势能由在弹性限度内弹簧的形变量和劲度系数决定．如果弹簧的初状态被压缩，当它恢复原长时，弹性势能减小；再伸长时，弹性势能再由零增大，故A、B、D选项错误．

答案

C

二、弹簧的弹力做功

例2

弹簧的原长为l0，劲度系数为k，用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，在继续拉伸的过程中拉力所做的功为W2．试求W1与W2的比值．

分析

F－x图象与横轴所围的面积等于弹簧弹力所做的功．

解析

拉力F与弹簧的伸长量x成正比，故在F－x图象中是一条倾斜的直线(如图所示)，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2．显然，两块面积之比为1∶3，即W1∶W2＝1∶3．

答案

1∶3

点评

上述解法采用了教材中“探究弹性势能表达式”的研究方法，即应用F－x图象直观地进行分析．若记得弹性势能的表达式(不要求学生掌握)，也可由弹性势能的表达式进行计算．由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能，故有：

W1＝kl2，W2＝k(2l)2－kl2＝kl2所以，W1与W2的比值为：

W1∶W2＝kl2∶

kl2＝1∶3．

三、弹力做功与弹性势能的关系

例3

如图21－4所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被压缩．在压缩弹簧的过程中，下列说法正确的是(

)图21－4

A．物体对弹簧做的功与弹簧的形变量成正比

B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等

C．弹簧的弹力做正功，弹簧的弹性势能减小

D．弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加

分析

(1)在压缩过程中，弹簧的弹力是变力．

(2)弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．弹力做功W＝－ΔE弹．

解析弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，而弹力做功与形变量并不成正比；物体向墙壁运动的过程中弹力不断增大，因此运动相同的位移，弹力做的功不相等；在弹簧被压缩的过程中，弹力做负功，弹簧的弹性势能增加．

答案

BD

点评

对Ep＝kl2的理解：l是从自然长度算起的形变量，不能理解成任取的