2022湖北省鄂州市中考数学试卷

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计3（）分）

1.实数9的相反数等于（）

A.-9B.+9C.AD.-A

99

2.下列计算正确的是（）

A.b+b2=b3B.伊C.（2b）3=6Z?3D.3b-2b=b

3.孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意,

改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A以B武C而D昌

6.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存

空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2”来表

示.即：2'=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,...,请你推算22022的个位数字是（）

A.8B.6C.4D.2

7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数），=fcc+b（k、6为常数，且

&<0）的图象与直线y=L都经过点A（3,1）,当日时，根据图象可知，x的

33

8.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的

工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示

的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的

截面示意图，已知OO的直径就是铁球的直径，是00的弦，CZ）切。。于点E,AC

_LC。、BDLCD,若CD=16a*,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为（）

(2)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

9.如图，已知二次函数），=。？+法+。（a、b、c为常数，且nWO）的图象顶点为P（1,机）,

经过点A（2,1）.有以下结论：①。<0；②a〃c>0；③4a+2什c=l；④x>l时，y随x

的增大而减小；⑤对于任意实数/，总有“P+从<。+儿其中正确的有（）

10.如图，定直线MN〃P。，点2、C分别为MN、尸。上的动点，且BC=12,8c在两直

线间运动过程中始终有NBCQ=60°.点A是mV上方一定点，点。是尸Q下方一定点,

SLAE//BC//DF,AE=4,。尸=8,AO=24、m，当线段BC在平移过程中，AB+C。的最

小值为（）

A.24^/13B.24A/15C.12^/13D.120^

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.计算：A/4=____.

12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动.6名选

手投中篮圈的个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据的众数是.

13.若实数“、。分别满足/-4a+3=0,必-4b+3=0,且aRb,则』+上的值为.

ab

14.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的

中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“前J”

位于点（-1,-2）,“焉”位于点（2,-2）,那么“兵”在同一坐标系下的坐标是.

15.如图，已知直线y=2x与双曲线>=区（女为大于零的常数，且x>0）交于点A,若0A

16.如图，在边长为6的等边△ABC中，。、E分别为边8C、AC上的点，A。与BE相交

于点P,若BD=CE=2,则△A8P的周长为

三、解答题（本大题共8小题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

21

17.（8分）先化简，再求值：-1---J-,其中“=3.

a+1a+1

18.（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有

我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按

成绩划分为A、B、C、。四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

（1）表中,C等级对应的圆心角度数为；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为

A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T2,73,从其中随机

抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1,72的概率.

等级成绩W分人数

■90^x^10015

B804V90a

c70«8018

Dx<707

19.(8分)如图，在矩形ABC。中，对角线AC、B。相交于点。，ii.ZCDF=ZBDC.Z

DCF=ZACD.

(1)求证：DF=CF；

20.(8分)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日

完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞

机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡C尸上的。处看见飞机A的仰角为30°.若

斜坡CF的坡比=1：3,铅垂高度。G=30米(点E、G、C、B在同一水平线上).求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CZ)；

(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)

21.(8分)在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去

体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y

(km)与他所用的时间x(〃”〃)的关系如图所示：

(1)小明家离体育场的距离为h”，小明跑步的平均速度为km/minx

(2)当15WxW45时，请直接写出y关于x的函数表达式；

(3)当小明离家2也?时，求他离开家所用的时间.

22.(10分)如图，Z\ABC内接于。。，P是。。的直径AB延长线上一点，ZPCB=ZOAC,

过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.

(1)试判断PC与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=4,tanA=工，求△OC。的面积.

2

PB1______0__

C

、D

23.（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究），="/（。＞0）型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点尸（0,A）的距离M凡始终等于

4a

它到定直线/：），=-」_的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点尸为图象的焦

4a

点，定直线/为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程.其中原点。为FH的中

4a

点，FH=2OF=-L.

2a

例如：抛物线y=：,其焦点坐标为F（0,-1）,准线方程为/：y=-A.其中MF=

222

MN,FH=2OH=l.

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：,.

【技能训练】

（2）如图2所示，已知抛物线＞=▲/上一点P到准线/的距离为6,求点尸的坐标；

8

【能力提升】

（3）如图3所示，已知过抛物线），=〃/（«＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线/

于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

【拓展升华】

（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:

点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段

C8的比例中项，即满足：AC=BC=V5zl.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数,

ABAC22

把点C称为线段43的黄金分割点.

如图4所示，抛物线）'=工？的焦点下（0,1）,准线/与y轴交于点，（0,-1）,E为i

线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当器=&时，请直接写出

24.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，RtZ\OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且

OA=6,斜边08=10,点P为线段48上一动点.

（1）请直接写出点B的坐标；

（2）若动点尸满足NPOB=45°,求此时点P的坐标；

（3）如图2,若点E为线段OB的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将折

叠，点A的对应点为A',当以',08时，求此时点尸的坐标；

（4）如图3,若尸为线段A。上一点，且4尸=2,连接将线段尸P绕点尸顺时针方

向旋转60°得线段FG,连接OG,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时

线段FP扫过的面积.

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.实数9的相反数等于（）

A.-9B.+9C.AD.-A

99

【分析】直接利用相反数的定义得出答案.

解：实数9的相反数是：-9.

故选：A.

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键.

2.下列计算正确的是（）

A.b+序=伊B.伊・伊=序C.（26）3=6/D.3b-2b=b

【分析】按照整式幕的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案.

解：•“与廿不是同类项，

选项A不符合题意；

,:伊・占=后,

选项B不符合题意；

⑵）3=8/，

...选项c不符合题意；

,：3b-2b=b,

选项力符合题意，

故选：D.

【点评】此题考查了整式基与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相

关计算法则.

3.孙权于公元221年4月自公安'‘都鄂"，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意,

改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A以B出C而D昌

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形，

故选：D

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

4.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）

正面

解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A

选项正确，

故选：A.

【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键.

5.如图，直线点C、A分别在/1、/2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交h

于点8,连接AB.若/BC4=150°,则N1的度数为（）

【分析】由题意可得AC=8C,则/C48=/C8A,由/BC4=150°,ZBCA+ZCAB+

NCB4=180°,可得NCAB=NCB4=15°,再结合平行线的性质可得=NCBA=

15°.

解：由题意可得AC=BC,

：.ZCAB^ZCBA,

；NBC4=150°,ZBCA+ZCAB+ZCBA=180°,

NCAB=NC8A=15°,

V/I/7/2,

：.Z\=ZCBA=\5°.

故选:B.

【点评】本题考查作图-基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得

出BC=AC是解答本题的关键.

6.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存

空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2”来表

示.即：2・2,22=4,23=8,24=16,25=32,……，请你推算22022的个位数字是（）

A.8B.6C.4D.2

【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22°22与22的尾数相同，即

可求解.

解：V21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,........,

A2的乘方的尾数每4个循环一次，

；2022+4=505…2,

...22022与22的尾数相同，

故选：C.

【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关

键.

7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数>=h+6（鼠人为常数，且

k<0）的图象与直线y=2x都经过点A（3,1）,当日+6<4x时，根据图象可知，x的

取值范围是（）

【分析】根据题意利函数图象，可以写出当履+6<1时，x的取值范围.

3

解：由图象可得，

当x>3时，直线y=L在一次函数的上方，

3

，当麻+%<L时，x的取值范围是x>3,

3

故选：A.

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

8.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的

工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示

的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的

截面示意图，已知。。的直径就是铁球的直径，A8是。。的弦，CQ切。。于点E,AC

LCD.BDLCD,若C£）=16c，〃，AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为（）

A.lOcwB.15cwC.20cmD.24cm

【分析】连接OE,交AB于点F,连接OA,••,ACLCQ、BDLCD,由矩形的判断方法

得出四边形AC£>8是矩形，得出AB〃CD,4B=Cr>=16c77i,由切线的性质得出OEJ_C。,

得出OE_LAB,得出四边形EF8O是矩形，AF=L1B=』X16=8（cM,进而得出所

22

=B£）=4cnz,设的半径为ran,则。A=rcn?,OF=OE-EF=（r-4）cm,由勾股

定理得出方程J=82+（r-4）2,解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径.

解：如图，连接OE,交AB于点凡连接OA,

caz

*：AC1.CD.BDA.CD.

：.AC//BDf

AC=BD=4cm9

・・・四边形ACOB是平行四边形,

・・・四边形ACD5是矩形，

:・AB〃CD,AB=CD=\6cmf

・・・CZ）切。O于点E

：・OELCD,

：.OE1AB,

四边形是矩形，AF=2A3=>lxi6=8(cm),

22

；・EF=BD=4cm,

设OO的半径为-cm,则。4=%6，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtZ\AOF中，OA2=AF2+OF2,

：.I2=S2+(r-4)2,

解得：r=10,

,这种铁球的直径为2(kw,

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行

四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键.

9.如图，已知二次函数y=o?+fex+c(八氏c为常数，且aWO)的图象顶点为尸(1,M,

经过点A(2,1).有以下结论：①。<0；②abc>0；③4a+26+c=l；④x>l时，y随x

的增大而减小；⑤对于任意实数，，总有“P+初Wa+儿其中正确的有()

P(l,m)

A(2,1)

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定。、

氏c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运

用作差法判定即可.

解：①由抛物线的开口方向向下，

则。<0,故①正确；

②•.•抛物线的顶点为P(1,机)，

一且=1,b=-2a,

2a

Va<0,

：.b>0,

♦.•抛物线与y轴的交点在正半轴，

：.c>0,

.".ahc<0,故②错误；

③；抛物线经过点4(2,1),

1=a*21+2b+c,即4a+2b+c=1,故③正确；

④•••抛物线的顶点为P(1，m),且开口方向向下，

；.x>l时，y随x的增大而减小，即④正确：

⑤

at^+bt-(a+b)

—at2-2at-a+2a

=aP-2at+a

=a(t2-2t+])

—a(f-1)2・0,

.".at2+bt^：a+b,则⑤正确

综上，正确的共有4个.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握

数形结合思想成为解答本题的关键.

10.如图，定直线MN〃PQ,点、B、C分别为MMPQ上的动点，且BC=12,BC在两直

线间运动过程中始终有N8CQ=60°.点A是上方一定点，点。是PQ下方一定点,

S.AE//BC//DF,AE=4,DF=X,A£>=24我，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最

小值为()

A.24^/13B.24A/15C.D.12Vl

【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即2和C点重合，点。平移至T,连接

AT,即A8+CD最小，进一步求得结果.

解：如图，

作OLLPQ于L过点A作PQ的垂线，过点。作PQ的平行线，它们交于点心延长

DF至T,使。T=BC=12,连接AT,

AT交MN于B',作8'C//BC,交P。于C',则当BC在B'C时，AB+CQ最小,

最小值为AT的长，

可得AK=AE・sin60°=除皿=2依，DL=冬DF=4内，与BC=6百,

；.AR=2愿+6代+4我=12代，

；A£>=24而

，sin/A£)/?=jR

AD2

：.ZADR=30°,

'：ZPFD9=60°,

：.ZADT=90),,_______________

22=

-'-AT=VAD+DTV(2473)2+122=12岳，

故c.

【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是

作辅助线，将B和C两地变为“一个点”.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共计18分)

11.计算：VZ=2.

【分析】如果一个正数x的平方等于“，那么x是。的算术平方根，由此即可求解.

解：V22=4,

.•.y=2.

故2

【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单.

12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动.6名选

手投中篮圈的个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据的众数是3.

【分析】根据众数的概念求解即可.

解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数是3,

故3.

【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

13.若实数人匕分别满足/-4a+3=0,庐-48+3=0,且“Wb,则工+工的值为_匡_.

ab3

【分析】由实数“、〃分另4满足/-4。+3=0,序-43+3=0,且知“、6可看作方

程7-4尤+3=0的两个不相等的实数根，据此可得“+6=4,必=3,将其代入到原式=三也

ab

即可得出答案.

解：：实数。、人分别满足。2-4。+3=0,必一奶+3=0,且

•,.«>b可看作方程7-4x+3=0的两个不相等的实数根，

则a+b—4,ab—3,

则原式=三也=9，

ab3

故生

3

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出4、b可看作

方程7-4x+3=0的两个不相等的实数根及韦达定理.

14.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的

中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“白巾”

位于点（-1,-2）,“焉”位于点（2,-2）,那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（-

3,1）.

楚河汉界

1

【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案.

解：根据平面内点的平移规律可得，

把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，

（-1-2,-2+3）»

即（-3,1）.

故（-3,1）.

【点评】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得

出答案.

15.如图，已知直线y=2x与双曲线），=区（A为大于零的常数，且x>0）交于点A,若OA

=娓,则k的值为2.

【分析】由点A在直线y=2%上，且。4=病，可求得A点坐标为（1,2）把已知点

的坐标代入解析式可得，k=2.

解：设A（x,y）,

丁点A在直线），=2%上，且。4=泥，

，A点坐标为（1,2）,

•・•点A在双曲线y=K（x>0）上，

x

故2.

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例

函数的图象与性质，是数形结合题.

16.如图，在边长为6的等边AABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，A。与8E相交

于点P,若BD=CE=2,则△”产的周长为_丝旦生巨一

【分析】根据SAS证△ABO丝△BCE,得出乙”8=120°,在CB上取一点F使CF=

CE=2,贝ljBF=8C-C尸=4,证AAPRSABFE,根据比例关系设BP=X,则4P=2X,

作BH1AD延长线于H,利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长.

解：；△ABC是等边三角形，

：.AB=BC,NA8O=/C=60°,

在△A3。和△8CE中，

'AB=BC

<ZABD=ZC

BD=CE

:./XABDqABCE(SAS),

：.ZBAD=ZCBE,

：.NAPE=ZABP+ZBAD^NABP+NCBE=/ABD=60°,

：.ZAPB=\20°,

在CB上取一点F使CF=CE=2,则BF=BC-CF=4,

AZC=60°,

...△CEF是等边三角形，

AZBF£=120°,

^iZAPB=ZBFE,

：./\APB^/\BFE,

••--A-P二--B-F—-——4—-No，

BPEF2

设BP=x,贝ijAP=2x,

作BHYAD延长线于H,

：.ZPBH=30°,_

:.PH=&,BH=^k.v,

22

：.AH=AP+PH=2X+2L=^X,

22

在RtZ\4BH中，AH2+BH2=AB2,

即昌）2+（2^）2=62,

22

解得了=包巨或-量工（舍去），

77

...”=12>/7,

77

△A8P的周长为AB+AP+8P=6+-12MZ_+jl?ZL=6+,7.=42+18枚,

7777

故42+18校.

7

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

21

17.（8分）先化简，再求值：2其中4=3.

a+1a+1

【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将〃的值代入化简后的式子计算即

可.

21

解：-^―--1-

a+1a+1

一a2_]1

a+1

=（a+1）（a-1）

a+1

=a-1,

当a=3时，原式=3-1=2.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式

分解的方法.

18.（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有

我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按

成绩划分为A、B、C、。四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

（1）表中」=20,C等级对应的圆心角度数为108°；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为

A等级的学生共有多少人？

（3）若4等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为乃，乃，从其中随机

抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到为，及的概率.

等级成绩x/分人数

A90WxW10015

B80WxV90a

c70«8018

Dx<707

【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为A等级的学生所占比例即可；

（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到Ti,T2的结果有2种，再由概

率公式求解即可.

解：（1）抽取的学生人数为：15+型二=60（人），

360

."=60-15-18-7=20,C等级对应的圆心角度数为：360°义卫=108°,

60

故20,108°；

（2）600xJ^.=150（人），

60

答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；

（3）画树状图如下：

与

T3TJT3T2

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1,T2的结果有2种，

•••恰好抽到71，T2的概率为

63

【点评】此题考查的是树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件：解

题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.也考查了统计表和扇形统计图.

19.（8分）如图，在矩形A8C。中，对角线AC、BO相交于点O,且/CQF=NBQC、Z

DCF=ZACD.

（1）求证：DF=CFx

（2）若/CQF=60°,DF=6,求矩形ABC。的面积.

A

F

【分析】(1)元矩形的性质得。。=0。，得NACO=N3OC再证NCDF=NQCR即

可得出结论；

(2)证△CDF是等边三角形，得CD=DF=6,再证△OCQ是等边三角形，WOC=OD

=6,则50=200=12,然后由勾股定理得3。=6点，即可解决问题.

(1)证明：・・•四边形A8C。是矩形，

・・・OC=XAC,OD=1-BD,AC=BD,

22

：.OC=ODf

:./ACD=/BDC,

*.•4CDF=/BDC,/DCF=NACO,

:./CDF=NDCF,

：.DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

'：ZCDF=60°,

•••△CQF是等边三角形，

:・CD=DF=6,

u：ZCDF=ZBDC=60Q,OC=OD,

△OCD是等边三角形，

OC=00=6,

：.BD=2OD=12t

•.•四边形ABC。是矩形，

AZBCD=90°,________

；•BC=VBD2-CD2=V122-62=6^3，

.".SABCD—BC'CD=6V3X6=36A/3•

【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、

勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.

20.(8分)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日

完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞

机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡C尸上的。处看见飞机A的仰角为30°.若

斜坡CF的坡比=1：3,铅垂高度0G=30米(点E、G、C、8在同一水平线上).求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；

(2)此时飞机的高度4艮(结果保留根号)

【分析】(1)根据斜坡CF的坡比=1：3,可得GC=3DG=90米，然后在RtZ\DGC中,

利用勾股定理进行计算即可解答；

(2)过点。作。忆148,垂足为H,则。G=B〃=30米，DH=BG,设BC=x米，在

为△ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而求出A4,。”的长，然后在

n△AD”中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.

解：（I）：斜坡CF的坡比=1：3,0G=30米，

•---D-G_-1,

GC3

：.GC=3DG=90（米），__________________

在Rt^OGC中，DC-VDG2-K；C2V302+902=3°V10（米），

两位市民甲、乙之间的距离CD为30戊i米；

（2）过点。作DHVAB,垂足为H,

贝ljOG=B，=30米，DH=BG,

设BC=x米，

在RtZ^ABC中，ZACB=45°,

；.AB=BC,tan45°=x（米），

：.AH=AB-BH^（x-30）米，

在RtZiAOH中，ZADH=30°,

.\tan300=幽=丑2_=近，

DHx+903

；.x=60+30«,

经检验：x=6（h/E+90是原方程的根，

；.A8=（60百+90）米，_

.•.此时飞机的高度AB为（60百+90）米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

21.（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去

体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y

（km）与他所用的时间x（/应〃）的关系如图所示：

（1）小明家离体育场的距离为2.5km,小明跑步的平均速度为_L_kmhnin；

6

（2）当15<xW45时，请直接写出y关于x的函数表达式；

（3）当小明离家2h〃时，求他离开家所用的时间.

【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5〃?，小明跑步的平均速

度为：路程+时间；

（2）是分段函数，利用待定系数法可求；

（3）小明离家2女机时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在

离家2km,利用路程+速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得.

解：（1）小明家离体育场的距离为2.5h〃，小明跑步的平均速度为

156

故2.5,A；

6

(2)如图，B(30,2.5),C(45,1.5),

.♦.BC的解析式为：>=-工+4.5

15

<2.5(15<x<30)

・••当15WxW45时，y关于x的函数表达式为：y=,1^~x+4.5(30<x445)

lb

(3)当y=2时，-」^x+4.5=2,

15

.•人r=—75—1

2

2J=12,

6

...当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或上耳〃％.

2

【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他

所用的时间单位是min.

22.(10分)如图，△ABC内接于。。，P是。。的直径AB延长线上一点，ZPCB=ZOAC,

过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.

(1)试判断PC与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=4,tanA=』，求△OCQ的面积.

【分析】(1)由圆周角定理得出NACB=90°,进而得出NOAC+/O8C=90°,由等腰

三角形的性质得出N。8c=N0C8,结合已知得出NPCB+NOCB=90°,得出0cLpC,

即可得出PC是。。的切线；

(2)由tanA=工，得出更1=工，由△PCBsA1%C,得出进而求

2AC2PCPAAC2

出PB=2,附=8,0C=3,由平行线分线段成比例定理得出里迪，进而求出CD=6,

CDOB

即可求出△oco的面积.

解：（I）PC是OO的切线，理由如下：

是。。的直径，

AZACB=90°,

...NOAC+NOBC=90°,

;OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

■:NPCB=NOAC,

：.ZPCB+ZOCB=W°,

AZPCO=90°,BPOCA.PC,

：OC是半径，

.••PC是O。的切线；

（2）在RtZXACB中，taii4=此，

AC

VtanA=A,

2

•-•BC_1,

AC2

VZPCB=ZOAC,NP=/P,

:ZCBsXP'C,

・PB=PC=BC=2,

**PCPAAC_2，

•・・PC=4,

:.PB=2,必=8,

：.AB=PA-PB=S-2=6,

：.OC=OB=OA=3,

,:BC〃OD,

・PCPBpn42

CDOBCD3

:.CD=6,

■:0cLeD,

••SAOCD卷•OC・CD=*X3X6=9.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判

定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角

形面积的计算公式是解决问题的关键.

23.（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究），=以2（«>0）型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点尸（0,A）的距离MF,始终等于

4a

它到定直线/：），=-°的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点尸为图象的焦

4a

点，定直线/为图象的准线，y=-」一叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中

4a

点，FH=2OF=-L.

2a

例如：抛物线丫=12,其焦点坐标为尸（0,1）,准线方程为/：>•=-1.其中

222

MN,FH=2OH=1.

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：（0,1）,

8

_工

一■§■一.

【技能训练】

(2)如图2所示，已知抛物线丫==上一点P到准线/的距离为6,求点P的坐标；

8

【能力提升】

(3)如图3所示，已知过抛物线丫=加(«>0)的焦点厂的直线依次交抛物线及准线/

于点4、B、C.若BC=28凡AF=4,求a的值；

【拓展升华】

(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:

点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段

CB的比例中项，即满足：AC=BC=V5zl.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数,

ABAC22

把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线的焦点F(0,1),准线/与y轴交于点”(0,-I),E为

线段”尸的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当需=&时，请直接写出

(2)可求出点尸的纵坐标，从而确定P点的横坐标；

(3)作AGJJ于G,作8KJJ于K,由BK〃FH〃AG得ACBKsACFH，/\CBKs丛

CAG,从而题匹，巫注，进一步求得结果；

FHCFAGAC

2

(4)设点”(〃?，1m2),根据圆L=2列出方程，求得加的值，进一步求得结果.

4MF2

解：(1)