吉林省吉林市2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学 试卷

★保密·启用前★保密·启用前★数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知全集，，，则A． B． C． D．2．若复数，则的虚部是A． B． C． D．3．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则A．B．C．D．5．在等比数列中，，，则A． B． C． D．6．已知函数的定义域均为，，且，则A． B． C． D．7．在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，若（其中），当取最大值时，A． B． C． D．8．已知函数在区间上有且仅有个极大值点，则正实数的取值范围为A． B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，且的反函数为，则A．，且且定义域是 B．若，则C．函数与的图象关于直线对称 D．函数与的图象的交点个数可能为10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各个，从中不放回的依次取出个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则A． B．与互斥C．与相互独立 D．与互为对立11．等差数列与的前项和分别是与，且，则A． B．C．的最大值是 D．最小值是ABCDEGHIJF12．中华人民共和国国旗是五星红旗．国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比．如图，正五角星中，，记ABCDEGHIJFA． B． C．在上的投影向量为 D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分．13．已知，则的最小值为.14．已知，则.15．吉林市一中学有男生人，女生人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为分钟和分钟，方差分别为和.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为分钟，方差为．16．已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量．（Ⅰ）若且，求；（Ⅱ）若函数，求的单调递增区间．18．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若对，恒成立，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，.（Ⅰ）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求；（Ⅱ）令，求数列的前项和，并证明．20．（本小题满分12分）近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：Ⅰ级品Ⅱ级品若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（Ⅰ）求型芯片Ⅰ级品该项指标的第百分位数；（Ⅱ）当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于型手机的概率；（Ⅲ）已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于型手机、型手机各万部的生产：方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失元；方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要万元；请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．21．（本小题满分12分）已知的三个角的对边分别为，，．（Ⅰ）求角；ABCEDP（Ⅱ）若，在的边和上分别取点