专题13全等三角形七大常考模型

专题13全等三角形七大常考模型★知识点1：倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】典例分析【例1】（2023春·七年级课时练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．【详解】解：延长至点，使得，在和中，，，，中，，，．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．【例2】（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（

）A．1 B．2 C．5 D．8【答案】C【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，即可得到的取值范围．【详解】解：如图，延长至点，使，连接，∵是边上的中线，∴，又∵，∴，∴∴，∴，即：，∴，故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系．解题的关键是：倍长中线法，证明三角形全等．【即学即练】1．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)为什么？写出推理过程；(2)求出的取值范围；(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．【详解】（1）解：∵是中线，∴，延长到，使，且，∴．（2）解：由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴．（3）证明：如图，延长至，使，连接，∵是的中线，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（2023·全国·八年级假期作业）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°∠AOB∠COD=360°90°90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．★知识点2：旋转模型【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】典例分析【例1】（2020·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（

）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案．【详解】解：如图，连接A′BA′B．∵∠A=45°，∠B'=105°，∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C，∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=，∴∠A′CB=60°−30°=30°，∴∠A′CB′=∠A′CB，在△A′B′C和△A′BC中,∴△A′B′C≌△A′BC，∴A′B′=A′B=，故选A．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．【例2】（2019·全国·八年级专题练习）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（

）对．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案；【详解】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC．CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD．BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF．故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法．即学即练1．（2022秋·八年级课时练习）如图，，，，（1）求的度数；（2）若，求证：．【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E=37°再计算∠DAE=∠DAB∠EAB即可，（2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可．【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°，∴∠EAB=∠E=37°，∵∠DAB=65°，∴∠DAE=∠DAB∠EAB=65º37º=28°，（2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°，∴∠DAE=∠B，在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC．【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．【答案】（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．【详解】解：（1）相等，证明图②如下∵∴∴在△DCA和△ECB中∴△DCA≌△ECB∴；（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N∵∴∴在△DCA和△ECB中∴△DCA≌△ECB∴CM=CN∵CM⊥AD，CN⊥BE∴平分【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．★知识点3：三垂直全等模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。【常见模型】典例分析【例1】（2021春·七年级课时练习）如图，△ABC是一个什么三角形？（

）请说明理由．A．等腰三角形；B．等边三角形C．直角三角形；D．等腰直角三角形【答案】D【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案．【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°，在和中：∴，∴∠ABE=∠BCD，AB=BC，又∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABE+∠CBD=90°，∴为等腰直角三角形，故答案为：D．【例2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+S△BDC+S△ADE，可得出m+n=5．【详解】解：作EF⊥AC，垂足为F∴∠EFD=∴∠BDC+∠DBC=90°∵三角形是等腰直角三角形，∴∠EDB=90°，∴∠EDF+∠BDC=90°，∴∠EDF=∠DBC在△DBC和△EDF中∴△DBC≌△EDF（AAS）∴CD=EF=m,∵AC=3,∴AD=ACCD=3m∵S△BDE+S△BDC+S△ADE∴=化简得：，∵n是的斜边，m是直角边∴nm＞0∴故答案选：B【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．即学即练1．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．【分析】（1）根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．【详解】（1）证明：由题意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由题意得：，∵，∴，∴，答：两堵木墙之间的距离为．【点睛】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．如图②∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．DE＝AD﹣BE，如图③∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．★知识点4一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.典例分析【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根据题意证明即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．即学即练1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．(1)当时，_______，_______，_______；点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当时，，理由见解析；(3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出的度数，即可求出的度数，再利用三角形的外角性质即可求出的度数，根据点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当时等腰三角形，只存在或两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，，∴点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当时，，理由：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形，理由：∵，，∴，∴当时等腰三角形，只存在或两种情况，当时，∴，∵，∴，∴；当时，∴，∴，综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）已知，在中，，三点都在直线m上，且．(1)如图①，若，则与的数量关系为___________，与的数量关系为___________；(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；(3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2），由（1）同理可得，∴，∴；（3）存在，当时，∴，∴，此时；当时，∴∴，，综上：或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．★知识点5截长补短法【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。【模型图示】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE补短：将短线段延长，证与长线段相等。典例分析【例1】．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如图，在上截取连接证明利用全等三角形的性质证明求解再证明从而可得答案．【详解】解：如图，在上截取连接平分故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．即学即练1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在五边形中，，平分，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．【详解】（1）解：在上截取，连接．∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解题的关键．2．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，∴，∵E是边的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∵正方形外角的平分线为，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵点，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，由（1）得，∴，∴，∴，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，延长至点，使得，连接，由正方形基本性质得：，，∴，∴，，由（1）知，，且，∴，∴，∴，即：，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．★知识点6手拉手模型【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）典例分析【例1】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①

②连接，则平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明①；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明④．【详解】解：①∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正确；②如图所示，作于点，于点，则，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正确；③如图所示，作于点，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正确；④如图所示，在上取点，使得，∵，平分，∴，，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．即学即练1.（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：．【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）或或【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（2）如图2，同理可得：；（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论；【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接．在与中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图2，延长到G，使，连接．∵，∴，在与中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（3）图2中，成立，图3中，，理由如下：在上截取，使，连接．∵，∴．在与中，，∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴，∵，∴．图4中，，理由如下：在上截取，使，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；综上所述，线段之间的数量关系为：或或，故答案为：或或．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．2．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）．理由见解析．【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴，∴，∵，∴；故答案为：．（2）结论：．理由：在上截取，连接，∵，，∴，在与中，，∴，∴，，则，∴∵，，∴，在与中，，∴，∴，即，即，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．★知识点7半角全等模型【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.典例分析【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确无法判断BE＝CD，故①错误，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例2】（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．即学即练1.（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；（2）由“”可证，得，可求的度数；（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如图4，当点D在的延长线上时，，证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．综上，或．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．【详解】（1）证明：、是等边三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）证明：如图，作于点于点，，，，，，，，平分．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．1．（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【答案】(1)，证明见解析；(2)，，．【分析】（1）利用条件证明，再结合线段的和差可得出结论；（2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系；【详解】（1）证明：如图2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．如图1时，，如图2时，，如图3时，，（证明同理）【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．2．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：；(2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．【答案】(1)(2)(3)①，理由见解析；②【分析】（1）由全等得到边长关系即可．（2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．【详解】（1）由等腰直角得，，又，又，，（2）过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，，又得，，，，（3）①又，，②与①中同理可得分别取，中点，连接．，,又又在与中，【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．4．（2023春·上海·七年级专题练习）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；拓展应用：（3）首先根据