中学数学 图形操作研究问题（含答案）

专题九：图形操作研究问题研究【题型导引】题型一：坐标系中的平移、对称、旋转和位似图形的操作与变换是指对图形或实物(纸片、三角板等)的变换与操作，如剪、拼、摆、折、移、画等，让学生在具体情境中抽象图形的位置关系并最终解决实际问题的一类数学问题．题型二：图形操作与研究次类型主要结合图形操作进行简单的变换，进一步结合实际探究进行变换问题，往往和折叠、旋转等结合起来进行考查。【典例解析】类型一：坐标系中的平移、对称、旋转和位似例题1：如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,4)，B(－5,2)，C(－2,1)．(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．【解析】解：(1)根据关于y轴对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数的特点，得出A1(3,4)，B1(5,2)，C1(2,1)，△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1如图：(2)根据绕原点O逆时针旋转90°的点的坐标特点：横坐标为原纵坐标的相反数，纵坐标为原横坐标的值，可知，△A2B2C2各顶点的坐标分别为A2(－4，－3)，B2(－2，－5)，C2(－1，－2)，如图：(3)如图，(2)中线段OA扫过的图形面积是扇形AOA2的面积，即阴影部分的面积，∵A(－3,4)，∴AO＝eq\r(32＋42)＝5，旋转角∠AOA2＝90°，则扇形AOA2的面积为eq\f(90π×52,360)＝eq\f(25π,4).类型二：图形操作与研究例题2：实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．【解析】(1)猜想：∠MBN＝30°.理由：如图1中，连接AN，∵直线EF是AB的垂直平分线，∴NA＝NB，由折叠可知，BN＝AB，∴AB＝BN＝AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠NBM＝∠ABM＝eq\f(1,2)∠ABN＝30°；(2)结论：MN＝eq\f(1,2)BM.折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP.理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝eq\f(1,2)∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°，∴∠BOP＝∠MOP＝90°，∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO＝BO＝eq\f(1,2)BM，∴MN＝eq\f(1,2)BM.技法归纳：本类型考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由翻折变换添加辅助线，属于中考常考题型．解决此类问题的一般方法：①找折痕(对称轴)；②转移，表达；③勾股定理．【变式训练】1.（2018吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：（2）观察图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称．（3）周长＝＝8π．2.如图，将正方形沿图中虚线(其中x＜y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)．(1)画出拼成的矩形的简图；(2)求eq\f(x,y)的值．【解析】：(1)如图；(说明：其它正确拼法可相应赋分．)(2)由拼图前后的面积相等得：[(x＋y)＋y]y＝(x＋y)2，因为y≠0，整理得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2＋eq\f(x,y)－1＝0，解得eq\f(x,y)＝eq\f(\r(5)－1,2)或eq\f(－1－\r(5),2).3.（2019▪广西池河▪8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC．4.（2019•江苏泰州•8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2＋CD2，∴x2＝42＋（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．5.(2018·黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(1,1)，C(3,1)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，求点A所经过的路径长(结果保留π)．【解析】：(1)如图△A1B1C1，即为所求；(2)如图△A2B2C2，即为所求；(3)r＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17)，A经过的路径长为eq\f(1,4)×2×π×eq\r(17)＝eq\f(\r(17),2)π.6.（2018黑龙江龙东）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积＝＝﹣＝2π．7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A(6,3)，B(0,5)．(1)画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；(3)猜想：∠OAB的度数为多少？并说明理由．【解析】：(1)如图所示，△OA1B1即为所求；(2)如图所示△OA2B2即为所求；(3)∠OAB＝45°，理由：∵A1(－3,6)，A(6,3)，∴OA＝OA1＝3eq\r(5)，又∵∠AOA1＝90°，∴△A1AO为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°.8.（2019•湖北孝感•8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是CD＝CE；（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．【解答】解：（1）CD＝CE，由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠CEB＋∠3＝∠2＋∠CDE＝90°，∴∠CEB＝∠CDE，∴CD＝CE，故答案为：CD＝CE；（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，在△BCD和△BFD中，∵，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴CD＝DF，设CD＝DF＝x，在Rt△ACB中，AB＝13，∴sin∠DAF＝＝，即＝，解得x＝，∵BC＝BF＝5，∴tan∠DBF＝＝×＝．9.（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【解答】（1）证明：∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）解：设菱形ACDB的边长为x，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，△EAB∽△FCE则：，即，解得：x＝4，过A点作AH⊥CD于H点，∵在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴，∴四边形ACDB的面积为：．10.（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB＋CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM＋MN的最小值．【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．（2）①延长DE交AB的延长线于F．∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB＋CD＝AB＋BF，∴CD