2022年浙江省中考数学复习训练-模型一　函数建模

数学模型一函数建模模型1：一次函数模型【数学建模】现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，需要根据经验分析、近似计算和修正，尝试用一次函数刻画实际问题中的数量关系．【模型应用】1.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．如表是测得的指距与身高的一组数据：指距d(cm)20212223身高h(cm)160169178187根据表格内容解决下面这个实际问题：姚明的身高是226cm，可预测他的指距约为(D)A．26.8cmB．26.9cmC．27.5cmD．27.3cm2．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.(1)当速度为50km/h，100km/h时，该汽车的耗油量分别为________L/km，________L/km；(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【解析】(1)0.130.14(2)设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.∵y＝kx＋b的图象过点(30，0.15)与(60，0.12).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k＋b＝0.15，,60k＋b＝0.12.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.001，,b＝0.18.))∴线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－0.001x＋0.18.(3)根据题意，得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝0.12＋0.002(x－90)＝0.002x－0.06.由图象可知，B是折线ABC的最低点．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－0.001x＋0.18，,y＝0.002x－0.06，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝0.1.))∴速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km.3．将如图所示的长方体石块(a＞b＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为vcm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水槽内的水深hcm与注水时间ts的函数关系如图4至图6所示，根据图象完成下列问题：(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连结起来；(2)求图5中直线CD的函数关系式；(3)求圆柱形水槽的底面积S.【解析】(1)题图1与题图4相对应，题图2与题图6相对应，题图3与题图5相对应，连线略．(2)由题意可知C点的坐标为(45，9)，D点的坐标为(53，10)，设直线CD的函数关系式为h＝kt＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝45k＋b，,10＝53k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,8)，,b＝\f(27,8)．))∴直线CD的函数关系式为h＝eq\f(1,8)t＋eq\f(27,8)；(3)由题图4，5和6可知水槽的高为10cm；由题图2和题图6可知石块的长a＝10cm；由题图3和题图5可知石块的宽b＝9cm；由题图1和题图4可知石块的高c＝6cm.∴石块的体积为abc＝540cm3，根据题图4和题图6可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(53v＝10S－540，,21v＝6S－540，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v＝20，,S＝160.))∴S＝160cm2.答：圆柱形水槽的底面积S为160cm2.模型2：二次函数模型【数学建模】分析数量关系，写出函数关系式，或是描点画出大致函数图象，尝试用二次函数刻画实际问题中的数量关系．【模型应用】1．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示：(1)试求出y与x之间的一个函数关系式；(2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能是多少千克？【解析】(1)根据图象可知，它近似地成一条直线，故可设y＝kx＋b(k≠0)，把(40，32)，(39，34)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝32，,39k＋b＝34，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝112.))∴y与x的关系式为y＝－2x＋112.(2)①设每天获得的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－20)y＝(x－20)(－2x＋112)＝－2x2＋152x－2240＝－2(x－38)2＋648.∵－2＜0，∴当x＝38时，W有最大值．即每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润．②由y＝－2x＋112可知y随x的增大而减小．又∵当x＝30时，y＝52，∴当x≥30时，y≤52.∴y的最大值为52.52×(30－5)＝1300(千克).答：每月一次进货最多只能是1300千克．2．(2020·荆门)荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(2,5)x＋4,（0＜x≤20），,－\f(1,5)x＋12,（20＜x≤30），)))销售量y(千克)与x之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【解析】(1)当0<x≤20时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝80，,20k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝80，))∴y＝－2x＋80(0<x≤20)；当20<x≤30时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx＋n，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20m＋n＝40，,30m＋n＝80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－40，))∴y＝4x－40(20<x≤30).综上所述，y与x之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋80（0＜x≤20），,4x－40（20＜x≤30）；))(2)设当月第x天的销售额为W元，则W＝y·p，①0＜x≤20时，W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋80))＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－15))eq\s\up12(2)＋500；当x＝15时，W最大＝500(在0＜x≤20区间，最大值为500)；②20＜x≤30时，W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)x＋12))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－40))＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－35))eq\s\up12(2)＋500，在20＜x≤30内，W随x增大而增大，∴当x＝30时，W最大＝480(在20＜x≤30区间，最大值为480).∵500＞480，∴第15天，农产品的销售额最大，最大销售额是500元．答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．模型3：反比例函数模型【数学建模】实际问题中存在两个变量和一个常量，且两个变量的乘积恰好等于常量时，则可建立反比例函数模型解决问题．【模型应用】1．码头工人以每天30吨的速度从一艘船上卸载货物，把轮船卸载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？【解析】(1)设该轮船上的货物总量为k吨，由题意可知：k＝30×8＝240.所以v与t的函数关系式为v＝eq\f(240,t)；(2)当t＝5时，v＝eq\f(240,t)＝eq\f(240,5)＝48.所以，如果全部货物恰好在5天卸完则平均每天卸货48吨，若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．2．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的试验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡．改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．试验数据记录如下：x(cm)…1015202530…y(N)…3020151210…(1)把表中(x，y)的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连结这些点并观察所得的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？【解析】(1)画图略，由图象猜测y与x之间为反比例函数关系，设函数关系式为