2022年浙江省中考数学复习训练-模型八　将军饮马模型

数学模型八将军饮马模型模型1：两定点与定直线上一动点【数学建模】如图，直线l和l的同侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小．作定点B关于直线l的对称点B′，连结AB′，交直线于点P，最小值为AB′.【模型应用】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为(A)A．2eq\r(3)B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(6)2．一次函数y＝kx＋b的图象与x，y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4).(1)求该函数的表达式；(2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．【解析】(1)由题意得：0＝2k＋b，4＝b，∴y＝－2x＋4.(2)作点C关于y轴的对称点C′，连结C′D，交y轴于点P，则C′D＝C′P＋PD＝PC＋PD，C′D就是PC＋PD的最小值，连结CD，则CD＝2，CC′＝2.在直角△C′CD中，根据勾股定理，得C′D＝2eq\r(2)，设C′D的表达式为y＝k1x＋b1，由C′(－1，0)，D(1，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋b1＝0，,k1＋b1＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,b1＝1，))∴y＝x＋1.当x＝0时，y＝1，则P(0，1).模型2：一定点与两直线上两动点(1)【数学建模】如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B.使△PAB的周长最小．作点P关于OM的对称点P1，作点P关于ON的对称点P2，连结P1P2，与OM交于点A，与ON交于点B，此△ABP周长最短．【模型应用】1．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为__8__．2．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP为eq\r(3)，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是__3__．3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【解析】作点C关于NM的对称点K，连结DK交MN于点P，连结PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.由题意：CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝eq\f(5,2)，EG＝eq\f(5,2)eq\r(5)，DH＝eq\f(DE·DG,EG)＝eq\r(5)，∴EH＝2DH＝2eq\r(5)，∴HM＝eq\f(DH·EH,DE)＝2，∴DM＝CN＝NK＝eq\r(DH2－HM2)＝1，在Rt△DCK中，DK＝eq\r(CD2＋CK2)＝eq\r(102＋22)＝2eq\r(26)，∴△PCD的周长的最小值为10＋2eq\r(26).模型3：一定点与两直线上两动点(2)【数学建模】点P为定点，在OA，OB上分别取M，N使得PM＋MN最小．此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P′，将折线段PM＋MN转化为P′M＋MN，即过点P′作OB的垂线分别交OA，OB于点M，N，得PM＋MN的最小值(点到直线的连线中，垂线段最短).【模型应用】1．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE＝2，求EM＋EC的最小值．【解析】∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连结BE，交AD于点M，则此时ME＋MC最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH＝AH－AE＝3－2＝1，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).在直角△BHE中，BE＝eq\r(BH2＋EH2)＝eq\r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq\r(7).2．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连结A′C，B′C，求A′C＋B′C的最小值．【解析】如图，过C点作BD的平行线l，以l为对称轴作B点的对称点B1，连结AB1交直线l于点C1.根据平移和对称可知A′C＋B′C＝AC1＋BC1，当A，B1，C1三点共线时AC1＋BC1取最小值，即AB1，又AB＝BB1＝1，∠ABC＝60°，所以AB1＝eq\r(3).3．如图，在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值．【解析】作AB关于AC的对称线段AB′，过点B′作B′N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B′N＝MB′＋MN＝MB＋MN.B′N的长就是MB＋MN的最小值，则∠B′AN＝2∠BAC＝60°，AB′＝AB＝2，∠ANB′＝90°，∠B′＝30°.∴AN＝1，在直角△AB′N中，根据勾股定理B′N＝eq\r(3).模型4：将军过桥模型【数学建模】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M，N重合，此时A点落在A′位置．问题化为求A′N＋NB的最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．【模型应用】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(6，4)，E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，求点P的坐标．【解析】考虑PQ，AE为定值，故只要AP＋QE最小即可，如图，将AP平移至A′Q，考虑A′Q＋QE的最小值．平移AP到A′Q，作点A′关于x轴的对称点A″，连结A″E，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得P点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，0)).2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AC为对角线，E、F分别为边AB，CD上的动