2019年人教版九年级数学下册28.1-第3课时-特殊角的三角函数值

2019年人教版九年级数学下册28.1第3课时特殊角的三角函数值

28．1锐角三角函数

第3课时特殊角的三角函数

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)

3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算

计算：

(1)2cos60°•sin30°－6sin45°•sin60°；

(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.

解析：将特殊角的三角函数值代入求解．

解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；

(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.

方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型二】已知三角函数值求角的取值范围

若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()

A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°

C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°

解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

【类型三】根据三角函数值求角度

若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()

A．20°B．30°C．40°D．50°

解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．

解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝BCAB，即BCBC＋4＝33，解得BC＝2(3＋1)．

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】判断三角形的形状

已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，试判断△ABC的形状．

解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，∴tanA＝1，sinB＝32，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】构造三角函数模型解决问题

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．

解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BCCD＝323－3＝2＋3.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

三、板书设计

1．特殊角的三角函数值：

30°45°60°

sinα12

22

32

cosα32

22

12

tanα33

13

2.