2022版高中数学理人教A版一轮复习课时作业：五十五 椭圆

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课时作业梯级练

五十五椭圆

基础落实练—«（30分钟60分）

一'选择题（每小题5分，共25分）

1.过椭圆4x2+y2=l的一个焦点Fi的直线与椭圆交于A,B两点，则

A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的^ABF?的周长为（）

42B.4C.8D.2啦

y2X2

【解析】选8.因为椭圆方程可以变形为彳+-=1,所以椭圆长轴长

4

2a=2,所以aABF2的周长为4a=4.

2.在aABC中，A（-4,0）,B（4,0）,AABC的周长是18,则顶点C

的轨迹方程是（）

x2y2y2x2

425+§=1（叱。）B.元+§=l（yW0）

x2y2y2x2

c.五十不=MyW0）D.五+不=l（yW0）

【解析】选A由|AC|+|BC|=18—8=10>8知，顶点C的轨迹是以A,

B为焦点的椭圆（A,B,C不共线）.

x2y2

设其方程为工=l（a>b>0）,则a=5,c=4,从而b=3.由A,B,

a+RD

C不共线知yWO.故顶点C的轨迹方程是言+今=l（yWO）.

3.椭圆ax2+by2=l(a>0,b>0)与直线y=l-x交于A,B两点，过

原点与线段AB中点的直线的斜率为号,则。的值为（

)

2.a

壁蟠2^3

a30-3227

【解析】选8.设A%,yj,B%,丫2），

22

ax+by=l,,—匹

由题意知：＜^>(a+b)x2—2bx+b—1=0,x1+x2—a+b・

[y=l-x

b

设线段AB中点为C,则xc=a+b.

ba

将改=不代入y=l—x得到北二不.

a+ba\[3b2r-

==

因为koc=—2'故]3百■

a+b

【秒杀绝招】

1

,,,A/3baa乖”力2

因为（一I）.2=_,=_g，所以E=2~'所以5=-------

a小

4.设椭圆C的左、右焦点为F„F2,过点Fi的直线与椭圆C交于点P,Q,

若△PFE是以PB为底的等腰三角形，且|PFJ=2|QB|,则椭圆C的离心

3

率为（）

【解析】选C.根据题意，作图如图所示,

由|PF21=2c,得|PF』二2a-2c,|QF』二=|PQ|,|QF2|=—,

222

由cosNF2PQ-COSNF2PF1,

222

|PF2『+|PQ|2-医Q|2|PF2|+|PF1|.|F1F2|

即--------------=---------------,

2|PF2||P(?|2\PF2\\PFX\

整理得7c2-12ac+5a2=o,则(5a-7c)(a-c)=0,得e=-.

7

5.(2019•全国I卷)已知椭圆C的焦点为B(-1,0),F?(1,0),过F2的直

线与C交于A,B两点.若交F2|=2|F2BUAB|=|BFI|,则C的方程为

()

A.E+y2=iB.E+匕1

232

2222

C.L+JD.L+UI

4354

【解析】选B.如图，由已知可设得3臼,则MBI=2n,旧FJ=|AB|=3n,

由椭圆的定义有2a=旧居|+|B6|=4n,所以片|=2a-|ABl=2n.在4

4n2+9九2.9九21

AEB中，由余弦定理推论得cosNEAB=----------------

2-2n-3n3

在△AFE中，由余弦定理得4n2+4n2-2•2n•2n•工4,解得n=—.

32

所以2a=4n=28，所以a=V3,所以b2=a-c2=3-1=2,

22

所以所求椭圆方程为L+匚1,故选B.

32

二、填空题（每小题5分，共15分）

22

6.设点FbF2分别是椭圆上+二=1的左、右焦点，点P为椭圆上一点，点M

2516

是F,P的中点,0M=3,则点P到椭圆左焦点的距离为.

【解析】由题意知0M二-PFz=3,

2

所以PF2=6,所以PFF2X5-6=4.

答案:4

x2y2

7.（2019•全国III卷）设Fi，F2为椭圆C：豆+为=1的两个焦点，M

为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为

【解析】已知椭圆C:泰+会

=1可知，a=6,c=4,由M为C上一

点且在第一象限，故等腰△MFFZ中，MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1

=4,

相_22V15

s/nZFiFM=

284，

yM=MF2s/nZF1F2M=^/15，

x2y2

代入C：宏+卞=1可付XM=3.

30ZU

故M的坐标为(3,\[15).

答案：(3,A/15)

22

8.点P是椭圆L+匕=1上一点,Fi,F2是椭圆的两个焦点，且△PFFz的内切

2516

圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为.

11

【解析】PF^PFFW,FF2=6,SAPRB=3(PF|+PF2+FF2)-1=8=-F,F2-yp^yp,

所以y=-.

P3

答案二

3

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知椭圆的长轴长为10,两焦点Fi，F2的坐标分别为(3,0)和(一3,

0).

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积.

【解析】⑴设椭圆的标准方程为$=l(a>b>0),

2a=10,

依题意得

c=3,

因此a=5,b=4,

x2y2

所以椭圆的标准方程为宝+77=1.

2516

(2)易知|yp|=4,又c=3,

11

所以SZkF1PF2=5|yP|X2C=2X4X6=12.

10.已知焦点在x轴上的椭圆源+*=1的离心率e=2,F,A分别

是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，

⑴求|PF|的取值范围.

⑵求而•港的最大值和最小值.

【解析】⑴由题意知a=2,

c1

因为e=—=彳，所以c=l,

a2

所以b2=a2—C2=3,

x2y2

所以椭圆方程为了十:=1.

所以左焦点F(-l,0).设P点坐标为(xo，y0).

则一2Wx°W2.

PF2

II=A/(XO+1)+YO=(Xo+iy+3｝言'=^y+2x0+4

|x0+4I

=2，

因为2〈Xo+4W6,

|x+4|

所以」02£口，3］，

所以|PF|的取值范围为[1,3].

(2)因为F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-Xo,-y0),PA=(2-x0,-y0),

所以m.PA=%2_Xo-2+y2

三*x0+今（x「2）；

当x0=2时，正・还取得最小值0,

当Xo=-2时，PF•市取得最大值4.

素养提升练一«（20分钟35分）

x2V2、

1.已知椭圆C：/+p=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离

心率为叩，过F2的直线I交C于A,B两点.若^AFiB的周长为4小，

则椭圆C的方程为（）

222

xyx2

A.—+~=1B.-+y=1

x2y2x2y2

c一+—=iD—+—=1

128124

【解析】选A由题意及椭圆的定义知4a=4市,

,rccA/3

则a=^3,又］=痘=3，

所以c=l,所以b?=2,

x2y2

所以椭圆c的方程为§+2=1.

X2y2

2.已知Fi，F2分别是椭圆C：1+p=l（a>b>0）的左、右焦点，若

椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点Fz，则椭圆C

离心率的取值范围是（）

C.俘,1)D.(o,I

【解析】选c.如图所示，

因为线段PF］的中垂线经过F2，

所以|PF2|=|FIF2|=2C,

即椭圆上存在一点P使得|PF2|=2C.

所以a—cW2cWa+c.

“cl

所以e=—G1.

a13J

3.(5分)已知椭圆C:-+y2=l的右焦点为F,点P在椭圆C上,0是坐标

4

原点，若IOPI=IOFI,则△OPF的面积是.

2

［解析】由椭圆C的方程LY+y2=1,

4

可得：c2=a2-b2=4-1=3,F(V3,0),

如图所示，设P(x,y),

因为P在椭圆C上，并且|OP|=|OF|,

x2

所以点p的坐标满足=i,

x2+y2=3

消去x得y2--,

3

所以|y|=q,

所以aOPF的面积S」|OF||y|」X百叉是士

2232

答案N

2

X2

4.设0为坐标原点，动点M在椭圆C：-2+y2=l(a>l,a£R)上，

d

过。的直线交椭圆C于A,8两点，F为椭圆C的左焦点.

⑴若△08的面积的最大值为1,求a的值；

1

(2)若直线ZVM,M8的斜率乘积等于一§,求椭圆C的离心率.

【解析】⑴S3AB=5|。「卜|以一几1w|OF|=/匚1=1,所以。=啦.

(2)由题意可设A(xo，"),8(一X。，一")，M(x,y),

2

xXQ2

则/+v=L『+/o=L

x2(

221—2-~12"

,,y-/oy+y°y~y0a(aJ

k/VM•kMB—•-22=22=

x—x0x+x0x—x0x—Xo

4(X-；)

x2-Xo_

_1___1

-7a=-73，

所以。2=3,所以a=4,

所以c=^a2~b2=啦,

所以椭圆的离心率e=~=^3

5.已知椭圆M：5+p=l(a>b>0)的离心率为坐，焦距为2啦.

斜率为k的直线/与椭圆M有两个不同的交点4B.

⑴求椭圆例的方程；⑵若k=l,求MB|的最大值.

<a2=b2+c2,

【解析】(1)由题意得<合乎，

、2c=2啦，

解得。=小，b=l.

所以椭圆A4的方程为§+y=1.

(2)设直线/的方程为y=x+m,4(xi，%)，8%,y2)-

[y=x+m,

得4x2+6mx+3m2—3=0,

3m3m2—3

所以Xi+X2=一7-，XiX2=4-

2-2

所以1=\l(x2—Xi)+(y2Vi)

=、2(X2—X1)2=、2[(X1+X2)2—4X1X2〕

当m=0,即直线/过原点时，|48|最大，最大值为加.

【加练备选•拔高】

顺次连接椭圆C:-X+卷V=l(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长

cib

为小且面积为2小的菱形.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点Q(0,-2)的直线/与椭圆C交于A,B两点,koA•k0B=-l,其中0为

坐标原点,求|AB|.

【解析】⑴由题可知2ab=2g,/+/=3,

且a>b>0,解得。=啦，b=l.

X2

所以椭圆C的方程为I+y2=l.

⑵设4X1，yj8(X2,力)，当直线/斜率不存在时，明显不符合题意,

V2

故设/的方程为y=kx—2,将其代入方程5+/=1

整理得(l+2k2)x2—8kx+6=0.

3

由4=64k2—24(2k2+l)>0,解得k?〉？，

“8k6

所以Xi+X2=不卫而，XIX2=1_|_2^2•

k2x1X2—2k（X1+X2）+4

YW2

k°A*koB==-1,解得k?=5.

X1X2—x/2

4VH

所以I=^/l+P7（X1+X2）2—4X62=