2022版高中数学理人教A版一轮复习课时作业：五十九 圆锥曲线中的最值问题

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课时作业梯级练

五十九圆锥曲线中的最值问题

【基础落实练】（30分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

X2

1.已知双曲线C：舁-4y2=l（a>0）的右顶点到其一条渐近线的距离

a

等于坐，抛物线E：y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛

物线E上的动点M到直线/i：4x—3y+6=0和力：x=-l距离之和的

最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2

【解析】选B.由双曲线方程之一4y2=1（a>0）可得双曲线的右顶点为

a

(a,0),

1

渐近线方程为y=±-x,即x±2ay=0.

za"

因为双曲线的右顶点到渐近线的距离等于乎，

所以肃看=乎，解得T，

42

所以双曲线的方程为工一X-4y2=1,所以双曲线的右焦点为（1,0）.又

抛物线E:y?=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，所以p=2,所以

抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为F（1,0）.如图,

设点M到直线4的距离为|MA|,到直线3的距离为|MB|,因为|MB|=

|MF|,

所以|MA|+|MB|=|MA|+|MF|,

结合图形可得当AM,F三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,

><：+6[2

且最小值为点F到直线1的距离d=-7£>=2.

+（-3）

2.已知％,F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点.若制

的最大值为3,则椭圆C的离心率为（）

11^2

A.§B.2C.2D.2

【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a

IppIa+c1

—c,又।p,1的最大值为3,所以=3，所以e=,.

3.过抛物线x2=y的焦点F作两条互相垂直的弦AC,BD,则四边形

ABCD面积的最小值为（）

A.3B.2C.1D.

【解析】选B.由题意可知，直线AC和BD的斜率都存在且不为0,设

1

直线AC的斜率为k,则直线BD的斜率为一厂，

K

(ni

焦点F的坐标为|0,或，则直线AC的方程为y=kx+-,联立

f.1

jy=kx+74,得x,—kx--1=0,

lx2=y,

1

则xi+x2=k,XiX2=--,

22

4XIX

所以|AC|=^/l+k(xi+x2)—2

=^/l+k2^Jk2+1=k2+l,

111

2

同理可得|BD|=j+1,所以S旧边形ABCD=5|AC|•|BD|=-(k+

KZZ

即k2=1时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最小值为2.

4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,A,B是C上两

动点，且NAFB=a(a为常数)，线段AB中点为M,过点M作/的垂线,

垂足为N,若揣p的最小值为1,则a=()

JIJIJIJI

A.B.vC.VD.v

OHOZ

【解析】选C.如图，过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别

是Q,P.

设|AF|=a,|BF|=b,

由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.

在梯形ABPQ中,

2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

在aAFR中，由余弦定理得|AB『=a2+b2—2abcosa.

|AB|2a2+b2—2abcosa

所以而F=(a+b)2

4

4(a2+b2—2abcosa)2ab(1+cosa)

1--------Z-------------Z------------------------------

a2+b2+2aba+b+2ab

2(1+cosa)

1

=4ab

/尹2

2(1+cosa)

1

24=2—2cosa,

2^--+2

ba

ab

当且仅当即a=b时等号成立•

因为Ti赢iT的最小值为1，所以2—2cosa=1,

|MN|

1n

解得cosa=-,所以a=—.

X2V2

5.已知双曲线C：孕-p=l(a>0,b>0)的一条准线与抛物线y2=

aD

、a"+4…

4x的准线重合，当油2+,取得最小值时、双曲线C的离心率为()

A.4B.事C.2D.啦

【解析】选D.抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

X2V2a3

双曲线C：1—~2=1(a>0,b>0)的准线方程为x=±—,所以一=

cc

a"+4C2+444

1,即a2=c,所以=----=c+-24,当且仅当c=~=2

y/a+bccc

时等号成立.所以，=c=2,解得a=y[2,

所以双曲线的离心率为e=2=啦'

6.设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一

点，M是线段PF上的点，且|PM|=3|MF|,则直线0M的斜率的最大

值是()

3C./D.喙

A.3B.-

n

【解析】选D.由题意可知点F今0,p>0,

/2\

设P*,y0(y0>0),由|PM|=3|MF|

12P)

2

pyV。

可得PF—►=4MF—►,贝IMF—►=0

(88p'可

2

3Py0yo

所以点M[8十8p'4J

争时等号成立.

7.过抛物线y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于

A,B和C,D两点，则|AB|+|CD|的最小值为()

A.16B.12C.8D.4

【解析】选A.因为抛物线的焦点为F(1,0),

所以设直线AB的方程为y=k(x-1),

设A(x1，yi),B(X2,y2),

y=k(x—1),

由'

.y2=4x

消去y并化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

△=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,

,,2k2+4,4

则Xi+x2=—记—=2+南，Xi•x2=1.

2k?+44

所以|AB|=xi+x?+p=―记一+2=南+4.

1

由于AB_LCD,所以直线CD的斜率为一厂,

K

1

所以直线CD的方程为y=-j(x-1),

K

设C(X3,y3),D(X4,y4),可求得X3+x4=2+4k?,

22

所以|CD|=x3+x4+p=24-4k4-2=4+4k.

4

所以|AB|+|CD|=7+4+4+41^28+2•4k2=16,

K

当且仅当*=4k2=>k=±1时等号成立,

所以|AB|+|CD|的最小值为16.

二、填空题（每小题5分，共15分）

8.设ei，e2分别为具有公共焦点Fi与F2的椭圆和双曲线的离心率，P

>=

为两曲线的一个公共点，且满足PFi--*-PF2—0,则4e：+e；的最

小值为.

【解析】设椭圆的半长轴长为④，双曲线的半实轴长为a20>a2）,它

们的半焦距为C,

P为两曲线的一个公共点，

不妨设|PFj>|PF2|,

所以|PFJ+|PF21=2a,,|PF1|-|PF2|=2a2,

所以IPFiI=a1+a2,IPF21=a1—a2,

又PR-1・PF2-►=0,所以PFJPF2,|PF』2+

2222

|PF2|=(2C),所以(ai+a2)+(a,—a2)

=(2c)2,即2c2=a；+a；,

a；a；11

所以2=-2-+-T,即2+2=2,

cce2

1

所以4e；+e；=~(4e；+e；)~+~

L卜1Q2?

1(e；4e；11(偏~~922

=554--+-^—5+2A-•—7-=5，当且仅当e?=2e)

215e2J2\Jeie2J2

3

=2时等号成立，

o

所以4e；+e；的最小值为/.

9

答案：2

【加练备选•拔高】

已知直线/:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,点P在椭圆

丫2。

—+y2=l上运动,则APAB面积的最大值为

2

［解析】因为Z:x+y=3与X轴，y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),

因此IAB1=3证,

又点P在椭圆9+y2=1上运动,

所以可设P(V2cos0,sin9),

所以点P到直线/的距离为

y/2cosd+sin0~3y/3sin(6+(p)-3

d二w

V2

(其中tan。=\[?),

“、11-3(3+A/3)

所以Szj>AB=,|AB|dW2

答案：勺12

9.已知抛物线C：y=x2,点P(0,2),A,B是抛物线上两个动点，点

P到直线AB的距离为1.则|AB|的最小值为.

【解析】设直线AB的方程为y=kx+m,

贝勺二!=，所以k?+1=(m—2尸.

y=kx+m,

由2仔x—kx—m=0,

y=x,

所以Xi+x2=k,XiX2=—m,所以|AB「=(1+k?)[(Xi+x2)2—4x1X2]=(1

+k2)(k2+4m)

=(m-2)2(m2+3).

记f(m)=(m—2)2(m?+3),所以千'(m)=2(m—2)(2m2—2m+3),又k?

+1=(m—2)2"

所以mW1或m23,

当(―8,1]时，f7(m)VO,f(m)单调递减,

当m£[3,+8)时，f7(m)>0,f(m)单调递增,

又因为f(1)=4,f(3)=12,

所以f(m)*n=f(1)=4,所以|AB%n=2.

答案：2

10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线/的距离为2,若点P在

抛物线上，且点P到/的距离为d,Q在圆x2+(y-3)2=l上，则p=

,|PQ|+d的最小值为.

【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线/的距离为2,所

以p=2,F(1,0),准线/:x=-1,由抛物线的定义可知点P到/的

距离d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|,

设圆x?+(y-3)2=1的圆心为C,则C(0,3),圆的半径为1,|PQ|+

|PF|^|CF|-1=A/12+32-1=赤-1,

当且仅当C,P,Q,F共线时等号成立,

所以|PQ|+d的最小值为赤-1.

答案：2诉一1

【素养提升练】(25分钟35分)

1.已知双曲线C：X了一V事=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1，

1

F2，实轴长为6,渐近线方程为y=±§x,动点M在双曲线左支上，点

N为圆E：x2+（y+V6产=1上一点，贝lJ|MN|+|MF2|的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

【解析】选B.由题意可得2a=6,即a=3,

[b]

渐近线方程为y=±-x,即有一=-,

oao

2

即b=1,可得双曲线方程为/-y2=1,

焦点为E（一四，0）,F2（VW,0）,

由双曲线的定义可得IMF2I=2a+|ME|

=6+|MF/，

22

由圆E:x+（y+V6）=1可得E（0,一[Z）,半径r=1,|MN|+|MF2|

=6+|MN|+|MFj,

连接EE,交双曲线于M,交圆于N,

可得|MN|十|MF』取得最小值，且将1|=y6+10=4,则iMNl+lMFzl

的最小值为6+4—1=9.

2.已知直线/i：4x—3y+6=0和直线/2：x=-l,抛物线y?=4x上一

动点P到直线/i和直线12的距离之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.ED.T7

OA.0

【解析】选A.直线，2：x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的定

义知，P到/2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转

化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得P到点F(1,0)和直线人的距

离之和最小，最小值为F(1,0)到直线h:4x-3y+6=0的距离，即

如图，已知抛物线J的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3,

6),圆C2：x2+y2-6x+8=0,过圆心C2的直线/与抛物线和圆分别交

于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为.

【解析】由题意，抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=i2x,设焦点

为F(3,0),圆的标准方程为(x—3)2+y2=i,所以圆心为(3,0),与

抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,

“a1121

所以有两+两=P=§'

又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4

(11A

=3(|PF|+3|QF|)向+向+4

=3(4+WT+TQFT]+4^16+673.

当且仅当|PF|=[5]QF|时取等号.

答案：16+6水

X2V2

4.已知椭圆C：p+京=l(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积

为2yli,且椭圆C经过点(1,平].

⑴求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示，点M为直线x=2上的一个动点,

过椭圆C的右焦点F的直线I垂直于0M,且与椭圆C交于A,B两点,

与0M交于点N,设四边形AMBO和AONP的面积分别为Si，S2,求

SR2的最大值.

【解析】(1)因为“，当在椭圆C上，所以*+泉=1,又因为椭

圆四个顶点组成的四边形的面积为2皿,所以,X2aX2b=2四,ab

2

解得a?=2,b2=1,所以椭圆C的方程为，+y2=1.

⑵由⑴可知F(1,0),设M(2,t),A(X1,y0,B(x2,y2),则当t左。

,t

时，OM：y=-x,

2

所以kAB=--,

2

直线AB的方程为丫=一三(x-1),

即2x+ty—2=0(tWO),

、

I(v—,—2(/x—1)

由Jt'得(8+t2)x2—16x+8—2t2=0,则△=(-16)2

[x2+2y2-2=0,

16g_2t2

—4(8+t?)(8—2t,)=8(t"+4t2)>0,Xi+x2=^p^,XlX2=8+t2'

所以|AB|=[l+k*•]些

1,42-72•^/t2(t2+4)2^/2(t2+4)

=V+？X8+t2=8+t2-

又0M=qt2+4,所以S|=1OM•AB

_1rrrz2m3+4)yf?(t2+4)-\/?+4

2

一・8+t2-8+t

2,、

y=-r(x-1),

t4

t得XN=?+4'

y=1x,

“142

所以S2=,义1*百彳=P+4'

(¥+4)7^+422啦"+4

所以S1S2

8+t2P+48+t2

2啦-〈乎，当t=0时，直线/:x=1,AB=A/2,Si=；

户+许

X/X2=/,Sz=；X1X1=1,S$2=*,所以当t=0时，

(S1S2)max="^~•

22

5.(10分)已知椭圆C:[+9=l(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且

a12b2

AM的斜率为士

2

(1)求C的方程；

⑵点N为C上一动点,求4AMN的面积的最大值..

【解析】(1)由题意，点A的坐标为A(-a,0),

3-01

所以kAM=-解得a=4,

2+Q2

因为点M(2,3)在椭圆C上,

所以2+：1,解得b?=12,

a2bz

所以椭圆C的方程为匕zi=i.

1612

1

⑵由题意,直线AM的方程为y-3=-(x-2),即x-2y+4=0,

2

因为点N在椭圆C上，

所以设N(4cos9,2V3Sin0),9e[0,2n),

设点N到直线AM的距离为d,

\4cosO-4y/3sinO+4\_475

所以d=IV3sin0-cos0

J仔+(-2)25

一1|二中・|2s讥

因为IAM|=J(-4-2)2+(0.3)2=3晶,

所以SAAMN=||AM|-d=|X3V5X^-|2sin(0-^-1|=6・J2sizi(0-21

因为0£[0,2n),所以2sin(吧T

所以12s讥(e-)1H。,3],

所以当2sin^0---1—3,(SAAMN)max—6X3—18.

【加练备选•拔高】

22

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Cj+4=1（a>b>0）的离心率

为?,左、右焦点分别为F„F2,以F,为圆心以3为半径

的圆与以Fz为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.（1）求椭

圆C的方程.

⑵设椭圆E：言+力=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y

=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求隘■的值；（ii）求△ABQ面积的最大值.

【解析】（1）因为两圆的公共点在椭圆C上，所以2a=3+1=4,a=2.

又因为椭圆C的离心率为e=—,

a2

所以c=[5,b2=a2—c2=1.

2

即椭圆C的方程为，+y2=1.

22

(2)(i)由⑴知，椭圆E：77+'-1.

104

设P（x。，y。）是椭圆C上任意一点,则X：+4y：=4.直线OP:y=­x