2022-2023学年内蒙古阿左旗高级中学高三年第二学期期中数学试题试卷

2022-2023学年内蒙古阿左旗高级中学高三年第二学期期中数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x[T<x<2},A^^{X|X2-X-6<0},则A/cN=

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x\-2<x<2]D.{x|2<x<3)

2.已知复数z满足(l—)z=4i,则|z|=()

A.272B.2C.4D.3

x+y<2

3.已知变量X,)‘满足不等式组x-yWl,则2x-y的最小值为()

x>0

A.-4B.-2C.0D.4

4.a为正实数，i为虚数单位，-=2,则a=()

I

A.2B.73C.V2D.1

5.如图示，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,KPA=PB=AB=y/2,PC=5

则PC与面Q46所成角的正弦值等于()

昱D,也

V3

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()

B.4

D.5

7.设/(x)=4,点0(0,0),A(0,l),4(〃,"〃))，neN*

设ZAOA,,=6n对一切〃eN*都有不等式

竺6卡任义+理三+……+理当<『一2,一2成立，则正整数/的最小值为（）

I22232n2

A.3B.4C.5D.6

8.在三棱锥。一ABC中，AB=BC=5,AC=6,尸在底面ABC内的射影。位于直线AC上，且AD=2C£>,P£>=4.

设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球Q的球面上，则球。的半径为（）

.V689„V689„5726n5726

A.--------B・--------C・--------D.--------

8686

9.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,32）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）

内的概率为（）

（附：若随机变量。服从正态分布N（〃,b2）,则p（〃—b<g<4+cr）=68.26%,

P（"-2b<4+2cr）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

（12

1n0.—+x+y/的展开式中X->2的系数是（）

lx

A.160B.240C.280D.320

11.设函数/（x）=ln（x-l）的定义域为。，命题人Vxe。，/（x）Wx的否定是（）

A.VXGD,/（x）>xB.3x0eZ）,/（餐）W/

C.\fx^D,f[x}>xD.3x0eD,/（%）>为

12.P是正四面体ABC。的面ABC内一动点，E为棱AO中点，记。P与平面8CE成角为定值凡若点P的轨迹

为一段抛物线，贝!Jtan(9=()

A.0B.C.—D.272

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若sin(c4—)=—,ocG(0,71),则cosa—.

63

2—工〉01।

14.已知函数/(x)={'-则/(怆?+.f(1g5)+/(1g2)+/(1g5)的值为—

15.函数/(x)=71og03(4x-3)的定义域是.

16.已知多项式(x+2)'"(x+l)"=%+4工+。2/+，+a,"+"x"""满足/=4,q=16,则/〃+〃=

%+%+出++q”+”=•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X=Id-----1

17.(12分)已知曲线。的极坐标方程为夕=4cos6,直线/的参数方程为42"为参数).

1

y=—t

[2

(1)求曲线。的直角坐标方程与直线/的普通方程；

(2)已知点M(l,0),直线/与曲线C交于A、8两点，求—|M®I.

18.(12分)已知数列｛斯｝的各项均为正，S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和，酸2+2即=4S〃+L

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)设儿=争，求数列｛瓦｝的前〃项和.

InY

19.(12分)已知函数/(尤)=xe*,g(x)=——.

x

(1)求函数/(x)的极值；

(2)当x>0时,求证：/(x)>g(x).

20.(12分)已知函数〃x)=eT+e*+ac,aeR.

(1)讨论的单调性；

⑵若/(x)存在两个极值点为，x2,证明：“xj二/"(/)<(&-2巾*一炉)

21.(12分)如图，在平面直角坐标系直力中，以x轴正半轴为始边的锐角a的终边与单位圆。交于点A,且点A的纵坐

(2)若以x轴正半轴为始边的钝角0的终边与单位圆。交于点B,且点8的横坐标为-且，求a+£的值.

5

22.（10分）已知数列{2},{4}满足4=3,。=1,。“+1-2%=22一%,%+|-勺=%-2+1.

(1)求数列&},也}的通项公式;

(2)分别求数列{4},{勿}的前〃项和S.，J

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,C

【解析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】

由题意得，M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},贝!]

Mr>N-[x\-2<x<21.故选C.

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2、A

【解析】

由复数除法求出Z,再由模的定义计算出模.

【详解】

4/4/(1+/)=-2+2i,|z|=2亚

l-z-(l-z)(l+z)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题.

3、B

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

x+y<2

解：由变量x,y满足不等式组卜-,画出相应图形如下:

x>0

可知点A(l,l),3(0,2),

2x-y在8处有最小值，最小值为-2.

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.

4、B

【解析】

Ia+'|=2/.\Ja2+1=2a=±Ga>0,.'.a=G,选B.

5、A

【解析】

首先找出PC与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系

求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知AHC是等腰直角三角形且NAC8=90°,"BP是等边三角形，

[76

设A3中点为。，连接P。，CO,可知pOnK,CO=旺,

22

同时易知ABLPO,ABLCO,

所以AB_L面POC,故NPOC即为PC与面B钻所成角,

有3/尸。。="9^=迪

2POCO3

故sinZ.POC-Vl-cosZPOC=-.

3

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

6、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-CRE放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为A-CRE,体积

^A-CL^E=%方体AG-VB&E—A/\F~^E-ABC-~^E-AL\F

12121

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

-------------------0c

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

7、A

【解析】

先求得变其=」_=]_一_L,再求得左边的范围，只需『一2»一221，利用单调性解得t的范围.

YT〃+〃nn+1

【详解】

.sin2^,_1_11

由题意知sinQ=»•----..——-------------

n"nn+1

2

.sin之仇sin^2sin2asin也1111111

..---------!-4----------匕4----------i++=1---1------1———+...+——=1-——,随n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

<1-——<1,

2n+1

Ar-2f-2>l，即*一2/—120,又f(t)=/-2r—l在t21上单增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

二正整数/的最小值为3.

【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

8,A

【解析】

设AC的中点为O先求出AABC外接圆的半径，设QM=a,利用平面ABC,得QM，在AMBQ及

^DMQ中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【详解】

设AC的中点为O,因为A3=BC,所以AABC外接圆的圆心M在80上.设此圆的半径为r.

25

因为B0=4,所以(4一ry+32=/，解得厂=一.

8

因为。。=0。-8=3-2=1,所以DM=J12+(4_»2=空3.

设QM=。，易知平面45C,则QM〃PO.

因为QP=QB,所以«PD-a）2+DM?=\Ja2+r2>

即（4—。）2+膏="+_^,解得。=1.所以球Q的半径H=Q3=J777=/^.

故选：A

【点睛】

本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题

9、B

【解析】

试题分析：由题意P(—3<J<3)=68.26%,尸(-6<J<6)=95.44%,.・.P(3<^<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选B.

考点：正态分布

10、C

【解析】

首先把》看作为一个整体，进而利用二项展开式求得V的系数，再求(g+x)的展开式中犷1的系数，二者相乘

即可求解.

【详解】

由二项展开式的通项公式可得(工+x+y］的第r+1项为+尸，令厂=1,则+/,

1尤11％J-lx1

又Q+X)的第厂+1为却X'=G--7,令r=3,贝！］仁=35,所以厂,的系数是35x8=28().

故选:C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

11、D

【解析】

根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】

因为夕：Vxe£>,是全称命题，

所以其否定是特称命题，即/（与）〉与.

故选：D

【点睛】

本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

12、B

【解析】

设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设P的坐标，求出向量op,

7T

求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围0,-,结合。为定值，得出sin。为定值，且P的轨迹为一段抛物线，

所以求出坐标的关系，进而求出正切值.

【详解】

由题意设四面体ABC。的棱长为2,设。为8c的中点，

以。为坐标原点，以Q4为x轴，以08为了轴，过。垂直于面A8C的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

D

则可得OB=OC=1,OA=—x2=439取。4的三等分点G、尸如图，

2

则OG=LQA=走，AG=OF^-OA=—,DG=yjAD2-AG2=—,i

^F=-DG=—，

3333323

仙八2312人⑹

所以B(O,1,O)、C(0,-1,0)、A(0,0,0)D—,0,----、E----,0,——

3333

\7\7

由题意设P(x,y,0),DP=

A3O和一A8都是等边三角形，E为AO的中点，.•.BELAZ),CE1AD,

BECE=E,平面BCE,

TT

因为OP与平面BCE所成角为定值e,则Oe0,y

由题意可得

sin0=cos<AD,DP>

1+可++3

3X2+3/-2V3X+93x2+3y2-2y/3x+9

因为P的轨迹为一段抛物线且tan。为定值，则sin6也为定值,

...—~^-x-_L--2,可得3y2=8百x,此时sin。=立，贝11cos。=tan8==2^1.

3y2-2yJ3x3%2933cos。2

故选：B.

【点睛】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

it276+1

lu>-------

6

【解析】

因为a£(0,乃),所以2+?£6'?)，又3。(。+5=一:<0,所以2+?£(兀?)，则8s(0+6)=-J-(MA=一3^，

66663666V33

印、I九、*z冗、花•/冗\・兀/2&、百/1、12遥+1

所以cosa-cosr[z(tz+-)--]=cos(a+—)cos—+sin(cr+—)sin—=(———)x—+(--)x—=-------——.

14、4

【解析】

根据1g；，1g(，1g2,1g5的正负值，代入对应的函数解析式求解即可•

【详解】

解：/(Ig1)+/dg^)+/(lg2)+/(lg5)

S电$lg5lg2lg2,g5

=2~15+2^+2-21g2+2-2=2+2+2-2+2-2=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.

【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.

【详解】

解：由题意得，

x<\

log0.5(4x-3)>0

4x-3>0'解得3，

X>一

4

3

所以「以

故答案为:

【点睛】

此题考查函数定义域的求法，属于基础题.

16、572

【解析】

,多项式(x+2)(x+1)=4+"满足/=4,%=16

.•.令x=0,得2"'xl"=4=4,则m=2

A(%+2丫”(x+1)”=(x2+4x+4)(x+l)n

•••该多项式的一次项系数为4C：T+4。>丁1=]6

:.n=3

:.m+n=5

令x=1,得(1+2)2x(1+1)3=/+q+/+…+。加+”=72

故答案为5,72

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)(x-2)+/=4.y=^x-^(2)百

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

(2)设A,8两点对应的参数分别为哈”,将直线/的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

(1)对于曲线C的极坐标方程为。=4cos6,可得"=4pcos。，

%—0cose

又由《,',可得f+y2=4x,即(X—2『+丁=4,

y=psin8v7

所以曲线C的普通方程为(x-2)2+丁=4.

X=1H----1r-

由直线/的参数方程为2a为参数)，消去参数可得上=】"，即

1x-13

直线/的方程为.丫=#(;1一1),即丁=¥^-弓

x=i+-!—t

(2)设A8两点对应的参数分别为tt,将直线1的参数方程2。为参数)代入曲线C：f+V一以=0

]f21

y=-t

2

(巧Yi、

中，可得1++-*-4\+—t=0.

I2J4I2J

化简得：产一打一3=0,则

所以||M4|一|M3||=||W—MII=，+4=G・

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了

推理与运算能力，属于基础题.

,、，、n+2

18、(1)a„=2/i+l；(2)2---------.

3”

【解析】

(1)根据题意求出首项，再由(。“+，+2即+])-(«„2+2</„)=4«„+1,求得该数列为等差数列即可求得通项公式；

(2)利用错位相减法进行数列求和.

【详解】

(1)Va„2+2a„=4S„+l,

**•ai2+2ai—4S1+1,即aj—2q—3=0,

解得：ai=l或ai=-l(舍)，

2

又<Zn+l+2an+l—4Sn+l+l>

(a„+i2+2a„+i)-(a„2+2a,,)=4a„+i,

整理得:(<in+i-a»)(a»+i+an)=2(a„+i+a«),

又•••数列｛为｝的各项均为正，

dn+l-dn=2t

二数列｛a“｝是首项为1、公差为2的等差数列，

二数列｛a”｝的通项公式。"=1+2(n-1)=2n+l；

,、^,、-一a„2〃+1

(2)由(1)可知瓦=—^=--—,

33

记数列｛瓦｝的前"项和为T",贝！|

111

T„=l»—+5»—++(2n+l)x•—,

3323"

111,、1,、1

—T„=l»—r+5»—r*...+(2/1-1),-----h(2/1+1)•-----,

332333"3n+l

错位相减得：—T„=l+2(f•+—)-(2/i+DT

332333"3n+1

_42"+4

-33,,+l

3z42〃+4、n+2

Tn——(-------；-)=2---------

233n+13〃

【点睛】

此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计

算.

19、(1)f(x)的极小值为/(-1)=一,，无极大值.(2)见解析.

e

【解析】

(1)对/(x)=xe，求导，确定函数单调性，得到函数极值.

InY

(2)构造函数b(尢)=/一mx(x>0),证明尸(x)>0恒成立，得到

x

Inx2Inx-

ex>—z-=>xe>---,得证.

xx

【详解】

(1)由题意知，f\x)=xex+ex=(x+l)ex,

令f(x)>0,得%>-1,令/'(x)<0,得尤<T.

则/(X)在(7,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

所以/(X)的极小值为/(-1)=一工，无极大值.

e

Inx

(2)当工乂)时，要证/(%)>g(x),即证6、>丁.

X

令F(x)=d-Inx(x>0),则F(x)=2x--(x>0),

x

令尸'(x)>0,得%>交，令尸'(幻<0,得0<工<交，

22

则口。)在(o,当上单调递减，在(*，+8上单调递增,

g1V2

所以当x>0时，F(x)>F半=--ln^->0,

I2722

InY

所以V>inx,即丁<1.因为x>0时，">e°=L

x

所以当x>0时，ex>=>xe2>—,

XX

所以当xX)时，不等式f(x)>g(x)成立.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数^(^^^/—^^。，(^是解题的关键.

20、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

⑴求得/(X)的导函数/'(X)，对。分成。<2,。>2两种情况，讨论“X)的单调性.

(2)由(1)判断出。的取值范围，根据韦达定理求得外,小的关系式，利用差比较法，计算

/(王)—/(々)一("2乂9—e*)=a(ef—e”+2xJ,通过构造函数g(f)=e'-e'+2《f>0),利用导数证得

g(t)<0,由此证得a(ef_炉+2%)<0,进而证得不等式/(玉)_/(々)<(即2)(8—e&)成立.

【详解】

八、(e『ae'+l

⑴f\x)-x-Qx+a---------------------,

当aS2时，r(x)<0,此时/(x)在R上单调递减；

当a>2时，由/'(同=0解得工=皿伫¥^或x=m生咚H，:•尸e,是增函数，.•.此时〃x)在

1a-yja~-4a+>]a'-4品、田、*=*>a-^ct'-4a+\/a~-4

-oo,In--------------|和In---------------,+oo单调递减，在hi--------------,ln--------------单调递增.

、)\)\>

(2)由(1)知。>2.e*'七*=1，玉+々=0,玉=一々，

不妨设x1〉尤2，・">0，/(X)二/'(x2)_(a_2)(e*i_e*)

)一

=(e^—9+3(e1-e*+ax2)-(a-2)(e''-e^)=«(e^-e"+2^),

☆g(r)=eT-e，+2r(r>0),

g'«)=—e--占+2=一卜+!)+2«-2yje'~+2=0,

g⑺在(0,+”)上是减函数,g⑺<g(0)=0,

xX|内)即/V|2

/.a{eT'-e+2<0,(x1)-/(x2)<(a-2)(e-e').

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归

与转化的数学思想方法，属于中档题.

21、(1)—好(2)«+/?=—

54

【解析】

(1)依题意，任意角的三角函数的定义可知,sina=典，进而求出cosa=之叵.

1010

在利用余弦的和差公式即可求出cos(a-T).

(2