2022-2023学年高一年级上册-数学期末模拟试卷及答案解析

2022-2023学年第一学期期末考试卷

高一数学

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分15。分，考试时间

120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1.如图，AA'B'C是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'=O'A=2O'3'，则

以下说法正确的是（）

A.△ABC是钝角三角形

B.ZVIBC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.ZSABC是等腰直角三角形

D.ZSABC是等边三角形

2.已知直线/i：2x+（a+5）y-8=0,/2：（a+3）x+4y+3a—5=0平行，则实数a的值为（）

-13

A.-1或-7B.-7C.-1D.——

3

3.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（）

A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.正方体

4.已知三条直线a,b,c满足：a与，平行，a与c异面，则〃与c（）

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

5.在三棱锥A-BCD中，若AOLBC,ADLBD,那么必有（)

A.平面AOC_L平面BC£>B.平面ABCJ_平面BCD

C.平面4BD_L平面ADCD.平面ABD_L平面ABC

6.在正方体A8CD—A由CQi中，E,尸分别是AB,A£>的中点，则异面直线8c与所

所成角的大小为（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.过点A（2,1）,8（〃i,3）的直线的倾斜角a的范围是45°<a<135°,则实数〃?的取

值范围是（）

A.0<m<2B.0<w<4

C.2<m<4D.0<m<2或2<根<4

8.已知/，机是两条不同的直线，a,[3是两个不同的平面，且/〃a,机_1_[3,则下列命题

中不正确的是（）

A.若（1〃0,则，〃J_aB.若a〃。，则/_!_，/

C.若/L”，则/〃BD.若机〃a,则a_L0

9.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+初=0将平面划分成6个部分，则后可能的取值情况

是（）

A.只有唯一值B.有两个不同的值

C.有三个不同的值D.无穷多个值

10.已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图

所示，则该几何体的表面积和体积为（）

A.7+—,B.7+s/3,5

3

C.3+73,-D.1+5/3,5

3

11.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直

三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形,

且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖嚅（四个面均为直角三角形的四面体）.在

如图所示的堑堵ABC-A/Ci中，已知AB=3,BC=4,AC=5,

若阳马G-ABBiA的外接球的表面积等于50兀,则鳖牖Ci-ABC

的所有棱中，最长的棱的棱长为（）

A.5B.dC.5&

D.8c,

12.在等腰直角三角形A8C中，AB=AC=4,点P是边AB边上异于\

AB的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图），

若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）

84

A.2B.1C.-D.-

33

第】【卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.已知圆锥的表面积为3兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为.

14.已知直线/i的方程为3x+4y—7=0,直线4的方程为6x+8y+l=0,则直线1\与/2

的距离为________

15.如图，在四面体A-BCQ中，已知棱AC的长为血，其余各棱长都为1,则

二面角A-CD-B的平面角的余弦值为.

16.已知直线八：ax—2y—2a—4,I2：2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时，直线八，b与两坐

标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数“=.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（本小题满分10分）

根据所给条件求直线的方程:

（1）直线过点（一3,4）,且在两坐标轴上的截距之和为12；

（2）直线过点（5,10）,且到原点的距离为5.

18.（本小题满分12分）

在一个如图所示的直角梯形A8CZ）内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下

底边的中点，将所得平面图形绕直线OE旋转一圈，求所得几何体的表

面积和体积.

19.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABC。-45GA中，底面ABCD是边长为2

的正方形，E,尸分别为线段的中点.

⑴求证：）〃平面ABG。"

（2）四棱柱A3CZ）-A]B|GR的外接球的表面积为16乃，求异面直线防与所成的角

的大小.

20.(本小题满分12分)

在aABC中，BC边上的高所在直线的方程为x—2y+l=0,NBAC的角平分线所在

的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCO中，平面48CD,底面ABCD、

为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：BD1PC；..

(2)在棱PB上是否存在点F,使得CF〃平面PAE^i若存在描

述尸的位置并证明，若不存在，说明理由.

22.(本小题满分12分)

如图，在正三棱柱ABC-4BiG(侧棱垂直于底面，且底面是正三

角形)中，AC=CG=6,M是棱CC的中点.

(1)求证：平面A8|M_L平面ABBIAI；

(2)求AM与平面ASM所成角的正弦值.

答案解析

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1.如图，△4EC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O，C=O7V=2Ob,则以下

说法正确的是（）

A.△ABC是钝角三角形

B.ZVIBC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.Z\ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等边三角形

答案C

2.已知直线小lv+(a+5)y—8=0,/2：(4+3)x+4y+3a—5=0平行，则实数a的值为()

A.-1或-7B.-7C.-1D.一5

答案B

3.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（)

A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.正方体

答案B

4.已知三条直线a,b,c满足：a与6平行，a与c异面，则匕与c（）

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

答案C

5.在三棱锥A-BCD中，若AO_LBC,AD1BD,那么必有（）

A.平面AQC_L平面8CDB.平面A8CJ_平面88

C.平面ABO_L平面AOCD.平面ABZ)_L平面A8C

答案A

6.在正方体ABC。-中，E,5分别是AB,A。的中点，则异面直线SC与所

所成角的大小为（）.

A.3O0B.450C.60°D.90°

答案C

7.过点A（2,1）,BCm,3）的直线的倾斜角a的范围是（工，旦［L）,则实数机的取

值范围是（）

A.0<m<2B.0<w<4

C.2<m<4D.0<2或2c机<4

答案B

8.已知/,m是两条不同的直线，a,p是两个不同的平面，且/〃a,机，0,则下列命题

中不正确的是（)

A.若a//0,则wi±aB.若a〃B，则/J_zn

C.若/L",则/〃BD.若m〃a,则€1_1[3

答案c

9.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+@=0将平面划分成6个部分，则后可能的取值情况

是（）

A.只有唯一值B.有两个不同的值

C.有三个不同的值D.无穷多个值

答案C

10.已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图

所示，则该几何体的表面积和体积为（）was

A.7-+V3，§B.7+\/3，5C.3+>/3，§D.V3+1,5

33

答案A

11.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直

三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形,

且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖脯（四个面均为直

角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵ABC-4囱G中，已知

AB=3,BC=4,AC=5,若阳马Ci-AB54的外接球的表面积等

于50兀，则鳖腌C,-ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（）

A.5B-V41c.5V2D.8

答案C

12.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB

的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点尸（如图），若

光线QR经过△A8C的重心，则4P等于（）

A.2B.1c.aD.A

33

答案D

第I【卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.已知圆锥的表面积为3兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为2.

答案2.

14.已知直线1\的方程为3x+4y—7=0,直线b的方程为6x+8y+l=0,则直线/,与h

的距离为.

3

答案-

2

15.如图，在四面体4一88中，已知棱AC的长为血，其余各棱长都人

为1,则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为.

4一~^o

答案—

3

22

16.已知直线/i：ax~2y=2a—4,fe：2x+ay=2a+4t当0<o<2时，直线/i，，2与两坐

标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数。=.

答案2

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

18.(本小题满分10分)

根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；

(2)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.

解(1)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为^+高匚=1,

ci12一。

又直线过点(一3,4),

—34

从而-^+7^--=1,解得。=一4或。=9.

故所求直线方程为4x—y+16=0或x+3y—9=0.

(2)当斜率不存在时，所求直线方程为1一5=0满足题意;

当斜率存在时，设其为k,

则所求直线方程为y—10=k(x—5),

即kx-y+lQ~5k=0.

由点线距离公式，得解得％=土

K-I-1

故所求直线方程为3x-4y+25=0.

综上知，所求直线方程为%—5=0或3x—4y+25=0.

22.(本小题满分12分)

在一个如图所示的直角梯形A8CQ内挖去一个扇形，E恰好是梯形的

下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表

面积和体积.

【解答】解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后,

所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体;

则该组合体的表面积为

S圾☆体=S网域网+Ssiittffli+5半球

=冗x3x3兀x3x3+/x4兀x32

=(9&+36)re；

组合体的体积为

V组合体=V圆维+V圆柱-V半球

=_lx7tx32x3+7tx32x3-Ax.^x7tx33

323

23.(本小题满分12分)

如图，在直四棱柱ABC。-中，底面ABC。是边长为2的正方形，E,尸分别为

线段QR,8。的中点.

⑴求证：EF〃平面ABClDl；

(2)四棱柱ABCD-A^C^的外接球的表面积为16万，

求异面直线EF与BC所成的角的大小.

证明：⑴连接明，在公卬8中，分别为线段皿,8。的中点，“为中位

EF//QB,而£>18u面ABCQi,EE.面

/.EF//平面ABCQI

(2)由(1)知麻〃。田，故即为异面直线石厂与BC所成的角

四棱柱ABCD—44GR的外接球的表面积为16万，

四棱柱ABCO-44GQ的外接球的半径火=2,

-7«2+4+4=2

设A4]=a则2，解得a=20,

在直四棱柱ABCD_4中，..BC1平面C£)RG,CD](Z平面CD。。],

.BC1CD,在RTADCC中BC=2,CDt=273,•/D.CLBC

tanZDlBC=^=V3,.\ZD1BC=60°

...异面直线EE与BC所成的角为60°...........12分

24.（本小题满分12分）

在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+l=0,ABAC的角平分线所在

的直线方程为y=0.若点B的坐标为（1,2）,求点A和点C的坐标.

工-2y+l=0,x=—1,

解：由方程组得

尸0,J=0,

所以点A的坐标为（一1,0）.

所以直线A8的斜率MB=1，又x轴是N84C的角平分线,

所以以c=—l

则AC边所在直线的方程为y=—(x+1).①

又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,

故直线BC的斜率依c=-2,

所以BC边所在的直线方程为

y-2=-2(x-l).②

x=5,

由①②得

'=一6,

即点C的坐标为(5,-6).

25.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，网_L平面ABCD,底面ABC。为菱

形，E为C。的中点.

(1)求证：BDLPC；

(2)在棱PB上是否存在点E使得CF〃平面B4E?若存在,

求出PF的位置，若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)证明：以，平面ABCD,出理平面A8CZ),

所以又底面ABCO为菱形，所