2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第11讲线段的相等与和、差、倍带讲解

第11讲线段的相等与和、差、倍（核心考点讲与练）

聚焦考点

线段的性质：两点之间线段最短

线段公理

两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最

短.简单说成：两点之间，线段最短.

二.两点间的距离

（1）两点间的距离

连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.

（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意

强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形.线段

的长度才是两点的距离.可以说画线段，但不能说画距离.

三.比较线段的长短

（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较

法.就结果而言有三种结果：AB>CD.AB=CD,AB<CD.

（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点.

（3）线段的和、差、倍、分及计算

做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等

于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于己知线段.

如图，AC=BC,C为48中点，AC=工48,AB=2AC,D为C8中点，则C£>=OB=^CB=^AB,

224

AB=4CD,这就是线段的和、差、倍、分.CD*B

Ju名师点睛

线段的性质：两点之间线段最短（共3小题）

1.（2022•石家庄模拟）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线,

由上到下依次记为路线/I、/2、/3、14,如图所示，则从家到书店的最短路线是（）

C./3D.U

【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案.

【解答】解：二•两点之间线段最短，

从家到书店的最短路线是/2,

故选：B.

【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键.

2.（2021秋•霸州市期末）如图，下列说法不正确的是（)

直线机，〃相交于点PB.直线m不经过点Q

C.PA+PB<QA+QBD.直线m上共有三个点

【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可.

【解答】解：4、直线印与直线”相交于点P,本选项说法正确，不符合题意;

B、直线机不经过点。本选项说法正确，不符合题意;

C、在△AB。中，AB<QA+QB,

：.PA+PB<QA+QB,本选项说法正确，不符合题意;

。、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第

三边是解题的关键.

3.（2021秋•两江新区期末）下列说法中正确的个数有（)

①两点之间的所有连线中，线段最短;

②倒数等于它本身的数是-1、0、I;

③不能作射线OA的延长线;

④若同=囱,则a=b；

⑤方程（〃?-3）2+4=0是关于*的一元一次方程，则机=±3.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义进行判断即可.

【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意;

②倒数等于它本身的数是-1、1,不符合题意;

③不能做射线OA的延长线，只能做射线的反向延长线，符合题意；④若|“|=|加则。=±江

不符合题意;

⑤方程（"L3）2+4=0是关于工的一元一次方程，则"?=-3,不符合题意,

正确的个数有2个.

故选：A.

【点评】木题考查了线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握

各定义是解题的关键.

二.两点间的距离（共6小题）

4.（2021秋•沂水县期末）已知射线。P,在射线0P上截取OC=10cm,在射线C。上截取CO=6c，”,

如果点4、点8分别是线段OC、CD的中点，那么线段48的长等于2cm.

【分析】根据OC、CO和中点A、B求出4c和BC,利用AB=AC-BC即可.

【解答】解：如图所示，

0DABCP'：OC=\Ocm,CD=6cm,

点A、点8分别是线段OC、C£）的中点，

：.AC=5,BC=3,

.,.AB=4C-8C=

2.故答案为：2.

【点评】本题考查线段的和差计算，能准确画出对应的图形是解题的关键.

5.（2021秋•和平县期末）在直线上取A、8两点，使AB=10cm,再在线段AB上取一点C,使

AC=2cm,P、Q分别是AB、AC的中点，则PQ=4cm.

【分析】画出大致示意图进行解题即可

【解答】解：

如图，

'：AB=10cm,P为4B的中点

.\AP=PB=5cm

AC=2cmf

：.CP=3cm

・・・Q为AC的中点

QC=AQ=\cm

：.PQ=QC+CP=\+3=4cm

故答案为：4

--•~,---.

B

MAQCP【点评】此题主要考查两点间的距离（线段长度）计

算，此类题目，通常利用图形结合进行解题.

6.（2019秋•阳谷县期中）已知在数轴上的点A、B、C分别代表-23-1.5、2.1这三个数，原

T

点为O.

（1）分别求线段。4、BC的长度;

（2）求BC的中点。对应的数；

（3）求点B关于点C的对称点E对应的数.

【分析】（1）根据两点间的距离即可得到结论;

(2)根据线段中点的定义即可得到结论；

(3)根据中心对称的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)OA=|-2--01=2-^；BC=|2.1-(-1.5)|=3.6；

44

(2)8c中点£>对应的数为75+2.1=0.3；

2

(3)点B关于点C的对称点E对应的数2.1+[2.1-(-1.5)]=5.7.

【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键.

7.(2021春•浦东新区期末)如图，己知点C在线段AB上，AC=6,点。是线段A8的中点，点E是

线段8c的中点.求。E的长.

请把下面的解题过程补充完整：

解：因为点。是线段AB的中点，

所以。AB；

2

因为点E是线段BC的中点，

所以BC；

2

因为£>E=OB-BE,

所以。匹=工AB--1BC=2AC；

2------2------2------

因为AC=6,

所以。E=3.

；前W【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论.

【解答】解：因为点。是线段A8的中点，

所以

2

因为点E是线段8c的中点，所以BE=-IfiC；

因为OE=O8-BE,

所以DE=IAB--k«C=Lc；

999

因为AC=6,

所以£>E=3.

故答案为：AB,BC,AB,BC,AC,3.

【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是

解本题的关键.

8.(2021春•杨浦区期末)己知点C是线段AB的中点，点。是线段AB上一点，且C£)=LBD，若人。

3

=4,求AB长度.

【分析】设CD=x,则BO=3x,根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进

行计算可得结论.

【解答】解：：点C是线段48的中点，

：.AC=BC,

:点。是线段48上一点,且C£>=/BD，

二设C£>=x,则8£>=3x,

AD=4x+x—5x^.AD—3x-x-x—x,

*/AD=4,

5x=4或x=4,

刍或4,

5

5

【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键.

9.（2021秋•南丹县期末）如图，点C是线段AB的中点，点O是线段CB上一点，DB=」3C,若线

§

段AC=6,则C£）=4.

-c~~D—【分析】根据中点的定义可求线段BC=AC=6,再根据。8=工

3

BC可求。8,再根据线段的和差关系即可求解.

【解答】解：：点C是线段4B的中点，；.8C=4C=6,

'：DB=^BC,

3

：.DB=2,

:.CD=BC-DB=6-2=

4.故答案为：4.

【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思

想的运用.

三.比较线段的长短（共4小题）

10.（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点。是CB的中点，那么下列结论中

错误的是（）

.■icD_3k.AC=CBB.BC=2CDC.AD=2CDD.CD=

XAB

4

【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案.

【解答】解；：点C是线段A8的中点，

.\AC=CB=^-AB,

2

故A正确；

:点。是CB的中点，

：.BC=2CD=2DB,

故B正确；

VCB=X1B,BC=2CD

2

:.CD=1AB,

4

故。正确；

二只有C错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义.

11.（2020秋•丹阳市期末）点A、B、C在直线/上，AB=4cm,BC=6cm,点E是4B中点，点F是

BC的中点，EF=5所或1cm.

【分析】因为A、B、。三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，

①根据中点定义先求出BE、BF的长，BE+BF=EF：

②根据中点定义先求出BE、B尸的长，BF-BE=EF.

【解答】解：如图，；AB=4cm,BC=6cm,点E是A8中点，点尸是BC的中点，...BE=

2

2cm,BF=^-BC=3cm,

2

①点8在A、C之间时，EF=BE+BF=2+3=5cm；

②点A在B、C之间时，EF=BF-BE=3,-2=\cm.

的长等于5cm或

\cm.故答案为：5cwi或

\cm.

1i।।।

AEBFC

图1

11・1・

CAFEB

图2【点评】本题利用线段中点定义，需要分两种情况讨论.

12.（2021春•浦东新区月考）如图，已知8、C在线段AO上.

（1）图中共有6条线段；

（2）若AB=CD.

①比较线段的大小：AC=（填：“>"、"=”或“V”）；

②若BD=4AB,BC=Ucm,求4。的长.

111I

.4BCD.【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；

（2）①根据等式的性质即可得到答案；

②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AO的长；

【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC.BD、AD,共6条，

故答案为：6.

（2）①•.SB=C£>,

：.AH+BC^CD+BC,

即AC=BD,

故答案为：=.

②：80=448,AB=CD,

：.BC=3AB,

'：BC=\2,

，A8=4,

：.AD=AB+BD

=4+4X4

=20（cm）,

【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分

及计算方法.13.（2010秋•瑞金市期末）如图，P是定长线段43上一•点，C、。两点分别从P、

B出发以1c机/s、2cm/s的速度沿直线A8向左运动（C在线段AP上，。在线段BP上）

（1）若C、。运动到任一时刻时，总有PO=2AC,请说明尸点在线段AB上的位置；

ACPDB（2）在（1）的条件下，。是直线AB上一点，且AQ-BQ=

PQ,求EQ的值.

AB

APB（3）在（1）的条件下，若C、。运动5秒后，恰好有CD总AB，此时

C点停止运动，。点继续运动（。点在线段PB上），M、N分别是C。、PO的中点，下列结论：

①PM-PN的值不变；②胆的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结

一AB

论并求值.

1111I

ACPD3【分析】（1）根据C、。的运动速度知8D=2PC,再由已

知条件PD=2AC求得P8=2AP,所以点P在线段48上距离A的工处；

3

（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=P。求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ,从而求得PQ

与A8的关系;

(3)当点C停止运动时，有CD总A3从而求得CM与A8的数量关系；然后求得以AB表示的

PM与pw的值，fjiry,M=PN-PI=-prAB-

【解答】解：(1)根据C、。的运动速度知：BD=2PC

；PD=2AC,

：.BD+PD=2(PC+AC),即

二点户在线段48上的1处；

3

(2)如图：

I_____I__________I一一I

.4PQ,：AQ-BQ=PQ,

；.AQ=PQ+8Q；

5LAQ^AP+PQ,

.".AP=BQ,

当点2在AB的延长线上时

AQ'-AP^=PQ'

所以AQ'-BQ'=PQ=AB

所以世=1；

AB

(3)②崇的值不变.

理由：当CD=」XB时，点C停止运动，此时CP=5,43=30

2

①如图，当M,N在点尸的同侧时

；C~"Jb_5%MN=PN-PM=%D-(PD-MD)=MD-工£>=&£>

222

-%D=I(CD-PD)=!■(?2=•§■

2222

②如图，当M,N在点尸的异侧时

I----1L-L-U-------------------------1

ACM?wz)BMN=PM+PN=MD-PD+』D=MD-%D=kD-工

2222

PD=-L(CD-PD)=1JCP=^-

222

£

•NN-_2_-_L

AB3012

当点C停止运动，。点继续运动时，MN的值不变，所以，蚂=3

AB12

【点评】本题考查了比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，

在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、

倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.

四.线段的和差(共4小题)

14.(2020秋•柳南区校级期末)如图，已知线段AC=7cm,AD^Icm,C为线段08的中点，则线

段AB=12cm.

A―DCJ【分析】根据线段的和差和，线段中点的定义，即可得到结论.

【解答】解：：4C=7c>w,AD^2cm,

为线段08的中点:，

:.BC=CD=5cm,：.AB=AC+BC=l+5=\2(cm),

答：线段A8=12cvn,

故答案为：12.

【点评】本题主要考查了线段的和差，线段的中点的定义，掌握中点的定义是解本题的关键.

15.(2020秋•虎林市期末)如图，C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AB

=16,CB=6.线段MN的长.

A•-------------------•---•-------•-------•B

"CN【分析】根据已知条件M是的中点，N是CB

的中点，可得MB和BN的长度，根据MN=MB-8M代入计算即可得出答案.

【解答】解：因为M是AB的中点，N是CB的中点，若AB=16,CB=6,

所以M8=£AB=±X16=8,8N=£BC£X6=3，

所以MN=MB-BN=8-3=5.

【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练应用两点间的距离的计算方法进行求解是解决本题

的关键.

16.(2020秋•九龙坡区校级期末)如图，点。是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB=3

4

BC.

(1)若BC=8,求。C的长；

(2)若DE=6,求AC的长.

G^［分析］(1)根据线段之间的和差关系及线

段中点的性质求解即可；

(2)结合图形易得AC=AB+BC=&C+BC=4C,再根据线段中点的性质推出QC=D4=上

442

AC=LX-LBC=4C,EC=BE=ABC,进而根据线段之间的和差关系求解即可.

2482

【解答】解：(1)：8C=8,

22

，AB=38C=±)<8=6,

44

，AC=48+BC=6+8=14,

:点。是线段4c的中点，

.,.OC=DA=LC=^X14=7；

22

(2)\'AB^21iC,，AC=AB+8C=■^BC+BC=&C,

444

:点力是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，

DC=DA=X1C=—X1-BC=^-BC,EC=BE=』C,

22482

：.DE=DC-EC=Z-BC-1BC=^-BC=6,

828

解得BC=16,

...AC=Zx16=28.

4

【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出。C=

DA=1AC=^X1BC=1BC,EC=BE=-IBC,并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找

22482

各线段之间的和差关系.

17.(2021秋•汝阳县期末)已知在数轴上，点。为原点，点A对应的数为9,点8对应的数为b,点

C在点B右侧.线段BC的长度为2个单位，线段BC在数轴上移动.

(1)如图在(1)中图8c位置情况下，当线段BC在。、A两点之间移动到某一位置时，恰好满

足线段4c=08,求此时b的值；

(2)当线段BC在数轴上沿射线A。方向移动的过程中，若存在AC-OB=!48,求此时满足条

2

件的人的值.

?PC4r

0b【分析】(1)由题意可知B点表示的数比点E

应的数少2,进一步用b表示出AC、08之间的距离，联立方程求得b的数值即可；

(2)分别用8表示出AC、OB、AB,进一步利用AC-08=LB建立方程求得答案即可.

2

【解答】解：(1)由题意得：

9-32)=b,

解得：6=3.5.

答：线段4c=。8,此时匕的值是3.5.

(2)由题意得：

①9-(什2)-b=—(9-6),

2

解得：％=且

3

②9-(6+2)+6=—(9-/?),

2

1R

解得：b=-5,答：若4。-08=会8,满足条件的b值是■^或-5.

【点评】本题考查了线段的和差，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的

长度是解题的关键.

能力提升

M分层提分

题组T基础过关练

一.选择题(共7小题)

1.(2019春•虹口区期末)己知线段A8,反向延长AB到C,使AC=1AB,AC=2cm,则BC等于

3

()

A.4cmB.6cmC.ScmD.10cm

【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论.

【解答】解：如图，

I■I

CA3AC=2cm,

3

.\AB=6cmf

：.BC=AC+AB=2+6=SCem),

故选：c.

【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是画出图形.

2.(2019春•松江区期末)如图，己知点C是线段A8的中点，点。是CB的中点，那么下列结论中

错误的是()

AC03A.AC=CBB.BC=2CDC.AD=2CDD.CD=

加

【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案.

【解答】解：•••点C是线段48的中点，

，AC=CB=LB,

2

故A正确；

:点。是C8的中点，

：.BC=2CD=2DB,故8正确；

,：CB=X\B,BC=2CD

2

:.CD=1AB,

4

故。正确；

二只有c错误：

故选：C.

【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义.

3.（2020秋•罗湖区校级期末）已知点4、B、C都是直线/上的点，^AB=5cm,BC=3cm,那么

点A与点C之间的距离是（）

A.8cmB.2cmC.8cvn或2cvnD.4cm

【分析】由于点A、8、C都是直线/上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC=AB+BC,

代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC=AB-BC,再代入已知数据即可求出结

果.

【解答】解：：点4、B、C都是直线/上的点，

.••有两种情况：

①如图，当8在4c之间时，AC=AB+BC,

而A8=5cm,BC=3cm,

.,.AC=AB+BC=Scm；

②如图，当C在AB之间时，

此时AC=AB-BC,

而A8=5c〃i,BC=3cm,

••A（J=AB~BC==2cm.

点A与点C之间的距离是8或

2cm.故选：C.

ACB

•••

•4BC【点评】在

未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性,

在今后解决类似的问题时，要防止漏解.

4.（2017秋•洪ft区期末）已知线段48,在AB的延长线上取一点C,使AC=2BC,在A8的反向

延长线上取一点。，使0A=2AB,那么线段AC是线段08的（）倍.A.2B.岂C.工

322

D.A

3

【分析】熟悉线段的概念和定义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系.

【解答】解：根据题意：4c=2BC,得：AB=BC,又D4=248,贝又AC

=2BC=2AB.则AC是线段DB的2倍.

3

故选：A.

【点评】能用同一条线段表示两条线段，从而找到它们的关系.

5.（2015春•浦东新区校级月考）下列说法错误的有（）

（1）两点之间，直线最短；

（2）延长线段AB到C,使得BC=24C；

（3）画射线4B=2厘米；

（4）在射线AC上截取线段BC=2厘米.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据两点间的距离，即可解答.

【解答】解：（1）应为两点之间，线段最短，故错误；

（2）应为延长线段A3到C,使得AC=2BC,故错误；

（3）应为画线段A8=2厘米，故错误；

（4）在射线AC上截取线段BC=2厘米，正确；

错误的有3个，故选：C.

【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟记两点间的距离.

6.（2021秋•江油市期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）

A.两点之间，射线最短B.两点确定一条直线

C.两点之间，直线最短D.两点之间，线段最短

【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案.

【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理

是两点之间线段最短，

故选：D.

【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短.

7.（2021秋•八公ft区期末）已知线段4B=60,点C为线段AB的中点，点。为射线CB上的一点，

点E为线段BD的中点，且线段砌=5,则线段的长为（）

A.20B.30C.40D.20或40

【分析】根据中点的定义求出BC,BD,再由C£»=BC-8。或CO=BC+B。，可得出答案.

【解答】解：：AB=60,C是AB的中点，；.8C=18=30,

2

又为8。的中点，EB=5,

；.BO=2EB=10,

:.CD=CB-BD=30-10=20,

或CD=C8+8C=30+10=40.

故选：D.

【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思

想的运用.

二.填空题（共13小题）

8.（2021秋•太康县期末）如图，AC=\2cm,AB=5cm,点。是BC的中点，那么C£>=—cm.

~2~

ABD—C【分析】首先根据线段的和差求出8c的长，再利用线段的中点可得

CD.

【解答】解：\-AC=\2cmfAB=5cmf

：.BC=AC-AB=7cmf

•・,点。是的中点，

：.CD=18C=

2.|2

故答案为：工

【点评】本题考查线段的和差，掌握线段中点的定义是解题关键.

9.（2021春•杨浦区期末）若线段AB=6CVH,反向延长48到C,使BC=4AC.则AC=2cm.

【分析】先设出4c的长度，然后列出关于AC长度的方程，求出AC即可.

【解答】解：设4C的长为x,

贝ij：x+6=4x,

解得x=2,

AC的长度为2cm,

故答案为2.

【点评】本题主要考查线段的知识，我们清楚的知道什么是延长，什么是反向延长，还有理解

线段的和与差的含义.

10.（2019春•黄浦区期末）延长线段48到C,使BC=^AB=2cm,则AC=6cm.

2-------

【分析】根据8c与AB的关系，可得3C的长，根据线段的和差，可得答案.

【解答】解：由BC=LB,若AB=4OW,由线段的和差，得

2

AC—AB+BC—2+4=6cm；

故答案为：6.

【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段8c与AB的关系得出BC的长是解题关键，又利用

了线段的和差.

11.（2021春•宝ft区期末）如图，点C、点。是线段4B上的两个点，且AO=CB,如果A8=5c7n,

CD=\cm,那么8。的长等于2cm.

HCDB

•-----------•-----•------------•【分析】根据45=CB,得出AC=BQ,再根据AB=5cm,

C£）=l。*求出80.

【解答】解：

：.AD-CD=CB-CD,

即4C=8Q,

"."AB—5cm,CD=\cm,

:.BD=

2cm.故答案

为：2.

【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键.

12.（2020春•浦东新区期末）如图，C、。两点是线段A8的三等分点，点M、N分别是线段AC、

B。的中点，则MN=2AB.

-3-

・・・・・•

ACDNB【分析】由已知可求得MC+ON的长度，再根据MN=

MC+CQ+DN不难求解.

【解答】解：•••点C、。是线段AB的三等分点，

.\AC=CD=BD=1AB,

3

M和N分别是AC和8。的中点，

.•.MC=LC=LB,DN=LD=&B,

2626

：.MN=MC+DN+CD=1AB+X\B+X\B=

6363

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键.

13.（2019秋•崇明区期末）己知线段AB=8c机，点C在线段AB上，B.AC2=BC-AB,那么线段AC

的长_4>/5-4cm.

【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段A8的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案.

【解答】解：,.•4C2=BUAB,

...点C是线段48的黄金分割点，AOBC,

；.AC=15TAB=15TX8=（4巡-4）cm,

22

故答案为：4A/5~4.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为亚二1是解题的关键.

14.（2020春•嘉定区期末）如图，点C、£＞是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、

BO的中点，那么MN：AB的值等于2.

-3-

」"CD.VB【分析】由已知可求得MC+ZW的长度，再根据MN=

MC+CD+DN不难求解.

【解答】解：•••点C、。是线段4B的三等分点，

.,.AC=CO=8Q=-k4B,

3

M和N分别是AC和8。的中点，

：.MC=—AC=X\B,DN=±BD=工AB,

2626

：.MN=MC+DN+CD=1AB+1AB+1AB=^AB,

ft363

:.MN：AB=2,

3

故答案为：2.

3

【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键.

15.（2019秋•东阳市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，8c=2A3,点。是线段AC的中点，

AB=4,则长度是2.

I[■I

-4BDC【分析】先根据AB=4,BC=2AB求出BC的长，故可得出AC的长，

再根据。是AC的中点求出A。的长度，由30=4。-AB即可得出结论.

【解答】解：；4B=4,8c=2AB,

；.8C=8.

：.AC=AB+BC=\2.

•。是4c的中点，.•.AD=1c=6.

2

：.BD=AD-AB=6-4=

2.故答案为：2.

【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.

16.（2010秋•闵行区期末）已知点P在线段4B上，AP=4PB,那么PB：4B=1：5.

【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到4、8、P三点之间的位置关系，再根据正确

画出的图形解题.

【解答】解：如图

ApB

\'AP=4PB,那么P8：AB=PB：（AP+PB）=PB：5PB,二那么P8：4B=1：5.故答案为1：

5.

【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严

密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.

17.（2010春•黄浦区校级期末）如图，历是AC的中点，N是BC的中点，则坐=

MN-

♦♦♦・・

2_..-I.VC\B

【分析】根据M是AC的中点，求MC,N是BC的中点，求CM由MN=MC+CN求MN与A8的关

系，再求比值.

【解答】解：是AC的中点，N是BC的中点，

：.MC=^AC,CN=Ace,

22

MN=MC+CN=1AC+^-CB^

922

.-.AB=2,

MN

故答案为：2.

【点评】本题考查了比较线段的长短.关键是由中点求MC与AC,CN与CB的大小关系.

18.（2021秋•大同期末）如图，点C,力在线段4B上，且AC=CD=O8,点E是线段AB的中点.若

AO=8,则CE的长为2.

IIIII

•dCEDB【分析】根据线段中点的定义，可得4C=CD=

。8=4,代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE=AE-AC.

【解答】解：点E是线段AB的中点，

：.AD^AC+CD=8.AC=C£>=£>8=4,

：.AB=\2,AE=—AB=6,

2

则CE=4E-AC=6-4=

2.故答案为：2.

【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确

识图是解题的关键.

19.（2021秋•滨城区期末）如图，点4、B在直线/上，点C是直线/外一点，可知CA+CB>4B,其

依据是两点之间，线段最短.

C

/AB【分析】依据线段的性质，即可得出结论.

【解答】解：，点A、8在直线/上，点C是直线/外一点，可知C4+CB>43,其依据是：两点之间，

线段最短.

故答案为：两点之间，线段最短.

【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线

段等，这些所有的线中，线段最短.

20.（2021春•虹口区校级期末）已知直线上有一点C,AC=2AB,如果AB=3c/n,则BC=3cm

或.

【分析】已知直线AB上有一点C,AC=2AB,有两种可能，一种是C在与B在^的两侧，此时8C

=AB+AC,由于AC=2AB,因此，BC=3AB,AB=3cm,据此可求出BC；一种是C在与B在A的同

侧，此时BC=AC-AB,由于AC=2AB,因此，8c=4B,AB=3cm,据此可求出BC.

【解答】解：如图，有两种情况：

CAB

ABCC在与B在A的两侧时，BC=AB+AC,由于4=2AB,因此，

BC=3AB,AB=3cm,

因此BC=3A3=3X3=9（cm）.

C在与8在4的同侧，MBC=AC-AB,由于A=2A8,因此，BC=A8,AB=3cm,

因此8c=48=3（cm）.

故答案为：9cm或3cvn.

【点评】本题考查了线段的计算，注意，分类讨论是解题的关键.三.解答题（共3小题）

21.（2020秋♦丘北县期末）如图，已知点C在线段A8上，且AC：CB=2：5,AB=28,若点D是

线段AC的中点，求线段的长.

A—D―CB【分析】根据按比例分配，可得8c的长，根据线段中点

的性质，可得C£>的长，最后BO=CO+BC解答即可.

【解答】解：设AC=2x,BC=5x,

则2x+5x=28,

解得：x=4,

；.AC=8,BC=20,

:点。是AC的中点，

"0=4,

，BD=CD+BC=4+20=24.

【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，一元一次方程的应用，利用按比例分配得出

BC和CD的长是解题关键.

22.（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点O是线段48上一点，且8=工若

3

AD=4,求A3长度.

【分析】设CO=x,则8O=3x,根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进

行计算可得结论.

【解答】解：•.•点C是线段48的中点，

：.AC^BC,

:点。是线段4B上一点，且C£>=

3

・,•设。。=），则30=3达

，4Q=4i+x=5x或A£）=3x-x-x=xf

VAD=4,

5x=4或x=4,

；.X=2或4,

5

."8=32或16.

5

【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键.

23.（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段人力上.

（1）图中共有6条线段:（2）若AB=CD.

①比较线段的大小：AC=BD（填：“>"、"=”或“<”）；

②若BO=4AB,BC=\2cm,求AQ的长.

IIII

ABC0【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；

（2）①根据等式的性质即可得到答案；

②依据线段的和差关系进行计算，即可得出A。的长；

【解答】解：（1）图中有线段：48、BC、CD、AC、BD、AD,共6条，

故答案为：6.

（2）①•.•AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=B£）,

故答案为：—.

a

@：BD=4ABfAB=CD,

：.BC=3ABf

'：BC=121

・・・A8=4,

：.AD=AB+BD

=4+4X4

=20（cm）,

【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分

及计算方法.

题组B能力提升练

填空题（共8小题）

1.（2021春•虹口区校级期末）线段AB被点M分成了1：2两段，同时又被点N分成了3：2两段，

MN=4cm,则线段48的长为15或60cm.

【分析】根据题意M的位置是有两种可能性的，N的位置也有两种可能性，因此需要分4种情况

每种情况具体分析才能得出最后的结果.

【解答】解：①4W：BM=1：2,AN；BN=3：2时（图1）,

AMNB

图1设4M=x,则BW=2x,

，AB=3x,,:AN：BN=3：2,

2g

KhI=AN-AN^7-x=4cin,

.*.X=5C/H,

・・A8=15c777.

②AM：BM=1；2,AN：BN=2：3时（图2）,

!tn力

图2设4M=x,则3历=2x,

：.AB=3xf

■:AN：BN=2：3,

；•AN咯AB咯亡

bb

•■•KN=AN-AN^x=4cm'x=20c/M1

/,AB=3x=60cm.

③AM：8M=2：1,AN；BN=2：3时（图3）,

I111

ANTlB

图；'设AM=2r,则8M=x,则4B=3x,

BN=2：3,

AN^ABJX，

bb

KN=AM-AN4x=4cnr

/.x=5c//b*»AB=\5cfn.

④AM：BM=2：I,AN：BN=3：2时（图4）,

AiftiB

图』设AM=2r,则8M=x,

：.AB=3x,

BN=3：2,

,•AN=T-AB^7TAKN=AU-AN=7-x=4cm,

.'.x—20cm,.".AB=60cm,

综上，AB=