2022-2023学年九年级数学专家点拨-函数与方程

费g2◎北隼大隼然数学，卢

状元必读专家点拨

状元必读［明确离点且注重难总］

一、考点突破

二次函数是初中代数的重要内容之一，是历届中考试题的重要考点，尤其是二次函数的

性质、二次函数与一元二次方程的关系，在试题中经常出现，题型既有选择、填空题，也有

中档难度的解答题，有时还与几何部分的知识结合，作为综合题、探究题出现，难度较大。

主要考查：

(1)二次函数与X轴交点的横坐标和相应一元二次方程的根的关系；

(2)二次函数的图象与x轴交点的个数和相应一元二次方程的根的判别式的关系；

(3)二次函数与相应一元二次不等式的关系。

二、重难点提示

重点：理解二次函数与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的根；理解二次函数的

图象与x轴交点的个数和相应一元二次方程的根的个数之间的关系；利用二次函数的图象求

相应一元二次方程的近似解；利用二次函数的图象求62+灰+。＞0、法+。＜0的

解集。

难点：二次函数与相应一元二次方程的关系。

白^专家点拨［特离级行家倾力打宣】

一、知识脉络图

二、知识点拨

1.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y=ax2+bx+c(aWO),当y=0时得到一元二次方程at?+bx+c-Q(a

70),那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的

图象与x轴交点的情况决定一元二次方程的根的情况。

判别式△>0△=0△<0

111!l1y

二次函数y=ax2+bx+c

3〉0)与五轴的交点

/\

xf\017^2X\J.[/

0X

T.0Xl=xX

2

1iy

y’

rXE

二次函数yax2+bx+c00

(a<0)与x轴的交点710飞、

/1\/

/

一元二次方程有两个不相等

芮实数根无实数根

♦+bx+c=O的实数根

b

2-b±-J2b2-Aac/.必■w

(占<X。a

2.二次函数与一元二次不等式的关系

一元二次不等式⑪2+笈+。>0(或依2+法+0<0)的解集，即二次函数

y=ax2+bx+c(aW0)使其函数值y>0(或y<0)的自变量x的取值范围，通过观

察二次函数的图象，可以看出自变量x的取值在一定的范围内时对应的函数值y的取值范

围。反之，当函数值y的取值在某一范围内时可以找出自变量x对应的取值范围。

判别式△>0△=0△<0

yl

1y

21

二次函数y=ax+bx+c

(a＞0)与x轴的交点

xko

1产2X\\

V

J-0

一元二次方程有两个不相等

的实数根

axz+dx+c=0的实数根

mrb无实数根

-bt“2-Aac

Wo2a/f・-w

(X]<x2)

ax24-ix4-c>0(a>0)X<XX>X2全体实数

ltx—2a

z

ax+ix+c<0(a>0)jq<x<x2无解集无解集

状元典上过【超空例题剖析激话解题思维】

能力提升类

3

例1在直角坐标系中，抛物线丁=%2+如——加2(/〃＞0)与x轴交于4,B两点。若

4

112

A,B两点到原点的距离分别为04,OB,且满足---------=-,求m的值。

OBOA3

3

一点通：设方程/+/nx-二加2=0的两根分别为X]、X,,且须＜X2，由一元二次方

I12

程的根与系数的关系及，〃的取值范围判断出不＜0,々＞0,再由右-下=彳求出

I]2

OA=\xl\=-xi,OB=X2,再把。4=|xJ=—%，。8=%代入一一一五=§即可求出相

的值。

解：设方程炉.+/研—13,2=o的两根分别为毛、/，且西＜9,

3,

则有x,+x2=-m<0,xtx2-——m~<0,

112

所以玉＜0,x,＞0,由---------=-,可知0A＞08,又加＞0,

-OBOA3

所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是。4=|5|=—玉，OB=x?,

.112x,+x,2

所CC以H一+一=一，n即ri」——,

%x23xtx23

-m2

故

解得加=2。

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及一元二次方程的根与系数的关系，根据已知

条件求出。4=%|=—玉，08=/是解答此题的关键。

例2已知一元二次方程7f—（左+I3）x—左+2=0的两实数根不、x2,满足

1<x2<2,求实数Z的取值范围。

一点通:此题单从方程的知识考虑是很难找到解决办法的，如果把方程与函数联系起来,

将数转化为形，问题就能迎刃而解。

解：令旷=7/一（&+13）%-4+2,则由已知条件可知|,此抛物线与x轴有两个交点

（王,0）,（々,0）。0<$<1,1<々<2,并且开口向上，根据这些特点，画出其大致图象

（如图所示），由图象可得

当x=0时,y>0,

<当x=1时，y<0,

当x=2时，y>0,

-k+2>0,

即<7-k-13-k+2<0,

28-2k-26-k+2>0,

4

解这个不等式组得-2<Z<—

3

点评：本题用到了建模的思想，即建立二次函数模型，用函数的知识解决方程问题有时

会更简单，同时本题还运用了数形结合的思想方法，把变化的数用“形”清楚地显示出来,

列出不等式组是解题关键。

综合运用类

例3设上是任意实数，讨论关于x的方程Ji—1=x+Z的解的个数。

一点通：如果直接去绝对值分类讨论，会非常复杂，故可以考虑借助于函数图象利用数

形结合方法进行讨论。

解：由方程的解可以看出是函数^=,2一1］和函数y=x+左的交点的横

坐标，作出函数y=,2—］的图象，如图所示。

当y=x+A处于4与4之间时，有四个交点，此时女的值为1＜%＜：；

当y=x+A处于4的上方(4处)或4与乙(,3处)之间时，有两个交点，此时人的值

为一1＜%＜1或左＞*；

4

当丁=兀+左处于4时,，有一个交点，此时%的值为％=—1；

当y=%+女处于乙的下方时(4处)，无交点，此时攵的值为左＜—1；

故其解的个数如下：

当左＜—1时，原方程无实数解；当人=—1时，原方程有一个实数解；当一1(左＜1或

人＞9时，原方程有两个实数解；当&=2、k=i时，原方程有三个实数解；当1＜%＜9

444

时，原方程有四个实数解。

点评：数形结合使问题变得更直观，便于找到分类的依据和符合要求的女值。

例4设机，〃为正整数，且二次函数y=/+(3—相/)x—3帆/的图象与x轴的

两个交点间的距离为4,二次函数丁=一？+(2/—〃)x+2m的图象与x轴的两个交点间的

距离为办。如果4Nd?对一切实数"亘成立，求加，〃的值。

一点通：先分别求出一元二次方程/+(3—皿)x—3加=0和方程一/+(2^-/7)x+

2加=0的根，再根据两点间的距离公式表示出①、力的值，再根据42必即可得到关于血,

n的不等式，求出m,〃的值即可。

解：:一元二次方程/+(3—mt)工一3〃"=0可化为Cx—int)(x+3)=0,

**•此方程的两根分别为mt和-3,

d\=\mt+3\；

「一元二次方程一如十(2f—〃)工+2〃，=0可化为(x—2/)(x+n)=0,

・,・此方程的两根分别为2/和一〃，

.\d2=\2t+n\o

■di*2,即|皿+31212f+川，

222

A|n?r+3||2/+/?|,(/n—4)1+(6/n—4H)t+9—n2^0①

由加工2题意知，n?—4W0,且①式对一切实数f恒成立，

m2-4>0]机>2[/n>2

(6m-4/?)2-4(/M2-4)(9-/?2)<0[4(??m-6)~<0[/wn-6=0

m=3[m=6

或〈。

n-2[/?=1

点评：本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，先求出两函数与x轴的交点,

再根据题意得到关于〃、机的不等式是解答此题的关键。

思维拓展类

例5已知/+力2=1,对于满足条件x+y=l,盯NO的一切实数对(x,y),不等

^ay2-xy+bx2>0①恒成立。当乘积4匕取最小值时，求力,〃的值。

一点通：首先利用条件x+y=1可将不等式①转化为关于变量x的一元二次不等式，

再利用二次函数的知识来进行分析和求解。

解：由x+y=l,孙NO可知OWxWl,0<y<1o在①式中，令x=0,y=l,

得a20；令x=l,y=0得。20。

将y=l—x代入①式，得

a(l—x)—-%(1—x)+bx~20,

即(1+a+人)％2-(2a+1)龙+a20。②

易知1+。+/?>0,0<—^^—<1,故二次函数歹=(1+。+匕)--(2。+1)%+。

2(1+a+Z?)

的图象(抛物线)的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。

由题设，知不等式②对于满足条件0<%<1的一切实数x恒成立，所以它的判别式

1

△=(2a+l)92-4(l+a+力)•〃4()，即

4

a2+b2=1,

由方程组，1③

ab=—,

I4

消去。，得16。4-1机/2+1=0,

由［、］22—5/3T22+y/~3

所以。=------或。=-------O

44

又

V6—V2V6+V2

所以a=-------或Q=-------o

44

于是方程组③的解为

fV6-V2V6+V2

a=----------,(a=----------

4-p.4

<或<

〃屈+啦,屈—V2

b=----------ib------------

4I4

所以满足条件的。力的值有两组，分别为4=遥—四，b=G6和

44

A/6+V2V6—V2

a=--------，b=---------。

44

点评：首先确定出0为后面的分析做铺垫，利用二次函数的知识得到关系

式a。21是求解的关键。

4

状元造记【万潮招及叼总结】

1.二次函数y=ax2+"+c（awo）的图象与％轴的交点有三种情况：（1）当

4ac>0时有两个交点；（2）当。2-4ac=0时有一个交点；（3）当。2-4ac<0时没

有交点。

2.当二次函数y=a/+6x+c（aH0）的图象与％轴有交点时，交点的横坐标就是当

y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c^O的根。

3.一元二次方程的图象解法体现了数形结合的思想方法，我们从中可以发现二次函数与

一元二次方程之间的必然联系，一元二次方程是二次函数的特殊情况（即y=0时的情况）,

一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，另一方面，也可以借助一元二

次方程的根来判断图象的位置，这样使所画的抛物线比较准确。下面提供三种方法求一元二

次方程的近似解：

（1）直接作函数丁=。/+4c+c的图象，则图象与*轴交点的横坐标就是方程

ax2+bx+c=O的根。

（2）先将方程变为G?+法=一c,再分别作抛物线丁=〃工2和直线y=-c,则

两图象交点的横坐标就是方程+以+c=0的根。

（3）先将方程变为如？=—方―。，再分别作抛物线y=a/和直线y=—法—c,则

两图象交点的横坐标就是方程以2+法+。=0的根。

4.利用函数性质来解决生活中出现的实际问题，要注意自变量的取值范围和实际意义。

高频疑点【网员用Q问题透视】

问题：抛物线y=f—4x—5与x轴交于点A、8,点P在抛物线上，若钻的面

积为27,则满足条件的点P有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

一点通：由y=0,可求得A,3两点的坐标，也就求得了A3之间的距离，根据△Q48

的面积为27,可得点P的纵坐标的绝对值，代入函数解析式可得点P的个数。

解：•.•抛物线y=f-4x-5与x轴交于点A、B.

0=X?—4x—5,

.♦%=-1,%2=5,

AB=5—（—1）=6,

•.•△Q钻的面积为27,

.•.点P的纵坐标的绝对值为2X27+6=9,

①当纵坐标为9时，

X2-4x—5=9,

2

X-4X-14=0,

A>0,

二在抛物线上有2个点;

②当纵坐标为—9时，

4x-5=-9,

X2-4X+4=0

△=0,

在抛物线上有1个点；

,满足条件的点P有3个，故选C。

错因分析：本题易出错的地方是，没有正确地理解9是点P的纵坐标的绝对值，从而

忘记讨论纵坐标是-9这种情况。

状元试题【其成黄练，功壬状元】

(答题时间：50分钟)

1.已知抛物线y=--8-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式机2—〃z+2010的

值为()

A.2008B.2009C.2010D.2011

2.已知抛物线y=ox?+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-l,与x轴的一个交点为

(x,,0),且0<玉<1,下列结论：①9a-3/7+c>0；®b<a；®3a+c>0；其中正

确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

3.已知二次函数y=—/+2(m—1»+2加—加之的图象关于y轴对称，则此图象的顶点

A和图象与x轴的两个交点B,C构成的AABC的面积是()

13

A.-B.1C.-D.2

22

4.二次函数y=a/+ox+c的图象永远在x轴上方的条件是()

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b~-4ac<0

C.a<0,/?2-4«c>0D.a<O,b~-4ac<0

*5.设关于x的方程ax?+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实根当，/，且

x,<1<x2,那么a的取值范围是。

*6.方程W(x—1)—%=()有三个不相等的实根，则女的取值范围是。

7.已知点A(1,0)、B(2,0),若二次函数y=r+(q-3)x+3的图象与线段AB

只有一个交点，则a的取值范围是。

*8.〃？和“为何整数时，方程2/一2/收+〃=0的两根xt,x2满足

1<%,<2,2<x2<3?

*9.为使方程,2一2岛+"=美x+b有四个不同的实数根，求人的取值范围。

*10.设〃是实数，二次函数y=—-2px—〃的图象与x轴有两个不同的交点A(x”0)、

B(X2,0)o

(1)求证：2pX]+x；+3p>0；

(2)若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|,求〃的最大值。

**11.对a>。>c>0,有抛物线y=x2~(a+b+c)x+(ab+bc+ac),,

(1)若抛物线与x轴有交点，求证：以a,b,c为边不能构成一个三角形;

(2)若抛物线与x轴的一个交点的横坐标为须)，求证：b+c<x0<a；

(3)当方程有实根6,9时，求正整数a,仇c的值。

小率体理性格，细节决定命运,

f等试题答案

1.D解析：因为点(加,0)是抛物线y=/—x—l上的点。所以代入此函数关系式得

m2—m-1=0,即一〃2=1,所以〃/一加+2010=2011。故应选择D。

2.C解析：因为—2=-1,所以。=2”。因为a>0,所以6>“，由已知条件可大

2a

致画出二次函数的图象，由图象可知当x=-3时，y>0,即9a—3b+c>0,所以

9a-3x2a+c>0,即3a+c>0,故①，③正确，②错误，故应选择C。

3.B解析：由此函数的图象关于y轴对称，所以m―1=0,即〃2=1,所以该二次函数

解析式为了=一一+1。令y=0,则一，+1=0,即V—1=0,所以*=±1。所以BC

—1—(—1)—2,即SA/18c=gx2x1=1。故应选择B。

4.B解析：由二次函数y=a%2+ox+c的图象永远在％轴的上方，则有且

b2-4ac<0,即函数图象开口向上，且不会与x轴相交，故应选择B。

22

5.——<a<0解析：awO,记y=/+(l+—)x+9,则它的图象是开口向上的抛

11a

22

物线，因为芭<1<%2，故当x=l时，y<0,即1+(1H—)+9<0,解得----<<0o

a11

6.-；<k<0解析：原方程变形为W(x—1)=%。

—[x2-x,x>0,

令必=忖(工一1)=19

<0.

,2=k。

11

如图，其图象分别为G、Co函数y=x92—x(九20)的顶点坐标为(一,——)。由图象

224

知，当一!<%<0时，直线C2与曲线Cl相交，有三个不同的交点。

7.—1〈。〈一2或者〃=3-2百解析：分两种情况：

2

(1)因为二次函数y=x2+(“—3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，且A(l,0)、

B(2,0),则卜+(a-3)xl+3]x(22+(a—3)x2+3]40,解得-iWaW-；。

由俨+(。-3)xl+3=0,得a=—1,此时，/=1,乙=3符合题意；

,13

由2~+(a—3)x2+3=0,得。=—，此时，x,=2,x=—,不符合题意。

222

所以—1«Q<--o

2

2

(2)令x+(Q—3)x+3=0,由判别式△=(),得Q二3±2，§\

当。=3+2后时，%,=x2=-V3,不符合题意；

当。=3-2^/3时，x}=x2=V3,符合题意。

综上，。的取值范围是—lWa<—,或者〃=3-2仃。

2

8.解：设y=27-2mr+〃，二次函数y=2/-2/nx+〃的两根匹，与满足条件

1<<2,2<x2<3,必须同时满足：

<A=4m2-8〃>0,①

/(I)=2-2m+/!>0,②

/(2)=8-4m+H<0,③

1/(3)=18—6m+>0,④

②一③，得一6+2机20,所以加之3；

③一④，得一10+2加<0,所以〃z<5。

所以34/nv5,即〃2=3或4。

把m=3分别代入②③④，得〃二4。

把机=4分别代入②③④，得〃=7或8。

再把各组机,拉值代入①。

当根=4,〃=8时，A=0,故舍去。

772=3111=4

所以所求相，〃的值是1，或<'

〃=4n=l.

9.解：方程,2-2瓜+l|=g+b的实根就是函数y=——2岳+:与

y=*x+匕的图象的交点横坐标。现作函数y=|x2-2岳+，与y=5尤+方的图象,

如图，这里6取不同的值，直线/也就不同，但这些直线是互相平行的。

从图中可以看出/介于4和乙之间时，这条直线才与函数y=产—2®+的图象有4

卜2—2岛+1|=+%+〃有4个不同的实数根，4过点P,可求出6的表

个交点，即方程

....1V3-V213-76

达式