2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（含答案解析）

专题01勾股定理与等腰(边)结合的压轴题

1.(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1,在R/ZkABC中，ZACB=90°,

NBAC=30。，那么8c和A8有怎样的数量关系？试证明你的结论”

图1图2图3

老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答

小明:AB=2BC.

证明：把zMSC沿着AC翻折，得到AADC.

/ACD=/AC8=90。，

...NBC£)=NAC£)+NACB=90o+90o=180。，即：点B、C、。在一条直线上.(请在下面补全小华后

面的证明过程)

(2)【变式拓展】如图2,在"BC中，把(1)中条件"/4CB=90。”改为“/AC8=135。”,保持“/B4C=30。”

不变，则^

(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.

如图3,点。是ZVIBC内一点，AD=AC,ZBAD=ZCAD=20°,ZADB+ZACB=2\0°,探求AD、DB、

8c三者之间的数量关系，并说明理由.

2.如图①，在长方形A8CQ中，己知AB=10,AD=6,动点P从点。出发，以每秒2个单位的速

度沿线段OC向终点C运动，运动时间为，秒，连接AP,把AAOP沿着AP翻折得到△AEP.

备用图2备用图1

(1)如图②，射线PE恰好经过点B,试求此时r的值.

(2)当射线PE与边AB交于点。时，是否存在这样的，的值，使得QE=QB?若存在，请求出所

有符合题意的，的值；若不存在，请说明理由.

3.背景资料：在已知■所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个

问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马

点如图1,当^■三个内角均小于120。时，费马点P在^■内部，当

■时，则取得最小值•

⑴如图2,等边^■内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求■的度

数，为了解决本题，我们可以将^■绕顶点4旋转到■处，此时■这样就可

以利用旋转变换，将三条线段■、■、■转化到一个三角形中，从而求出;

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作

等边三角形并连接等边三角形的顶点与^■的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同

学们探索以下问题.

(2)如图3,三个内角均小于120°,在^■外侧作等边三角形连接■，求证：■

过^■的费马点.

(3)如图4,在■中，■，点尸为■的费马点，连接■、

■、■，求的值.

(4)如图5,在正方形^■中，点E为内部任意一点，连接■、■、■，且边长■■；求

■的最小值.

4.如图1,AABC中，CDLAB于D,且AO：BD：CD=2：3：4,

(I)试说明AABC是等腰三角形；

(2)已知S^ABC=\60cm2,如图2,动点M从点A出发以每秒2CTH的速度沿线段AB向点B运动，

同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停

止.设点M运动的时间为f(秒)，①若AOMN的边与AC平行，求？的值；

②若点E是边3c的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出f

的值；若不能，请说明理由.

5.如图，在^■中，若动点P从点C开始，按・

的路径运动，且速度为每秒■，设出发的时间为f秒.

(1)出发2秒后，求^^的周长；

(2)问，为何值时，■为以C为顶点的等腰三角形；

(3)另有一点。，从点C开始，按■的路径运动，且速度为秒■，若尸，Q两点同

时出发，当P,。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当r为何值时，直线尸。把^■的周

长分成相等的两部分.

6.如图1,AABC中，C£)J_A8于。，且BO：CD：AD=1：3：4.

(1)试说明△A8C是等腰三角形；

(2)已知SAABC=30cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段54向点A运动,

同时动点N从点4出发以相同速度沿线段4c向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停

止.设点M运动的时间为f(秒)，

①若AOMN的边与2c平行，求f的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出f

的值；若不能，请说明理由.

7.【问题发现】

(1)如图1,AABC和AAOE均为等边三角形，点8,D,E在同一直线上，连接CE,容易发现:

①N8EC的度数为—；②线段B。、CE之间的数量关系为—；

【类比探究】

(2)如图2,AABC和AADE均为等腰直角三角形，N8AC=/D4E=90。，点8,D,E在同一直

线上，连接CE,试判断/BEC的度数及线段BE、CE、OE之间的数列关系，并说明理由；

【问题解决】

(3)如图3,/AOB=NACB=90。，04=3,0B=6,AC=BC,则0C2的值为

B

图1图2图3

8.如图，在^■中，I^H，■，点户从点A出发，以每秒2个单位长度的

速度沿折线■运动.设点P的运动时间为/秒

(1)求4c的长及斜边AB上的高.

(2)当点尸在CB上时，

①CP的长为(用含t的代数式表示).

②若点P在^■的角平分线上，则t的值为.

(3)在整个运动过程中，直接写出^■是等腰三角形时/的值.

。*FD排府，位亡。仲好话在八8m出1"处.收J卜如网L

【理解应用】(2)如图2,若试说明：■:

【拓展延伸】(3)如图3,若■，点G为AC的中点，且^点尸是A。上的一个动

点，连接PG、PC.求的最小值.

10.如图，在■中，动点尸从点B出发沿射线8c

(2)当^■为等腰三角形时，求，的值.

11.如图，长方形A8CO中，I^H，E为CD边上一点、,

(1)求AE的长;

(2)点尸从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点4运动，连接PE.设点尸运

动的时间为f秒.

①当f为何值时，■是等腰三角形;

②当/=时，

12.如图I,AABC中，CD_LAB于D,且BD：AD：CD=2：3：4；

(1)试说明aABC是等腰三角形；

2

(2)己知SAABC=40cm,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同

时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设

点M运动的时间为t(秒).

①若4DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，AMDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；

若不能，请说明理由.

cc

13.新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形

为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”.

(1)如图1,四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若NBA£>=120。，ZBCD=150°,则N

ABC=°；

(2)如图2,四边形ABC。中，AB=AD,ZA=60°,ZD=150°,试说明四边形ABC。

是“等腰四边形”；

(3)若在“等腰四边形"ABC。中，AB=BC=CD,4BC=90。，且8。为“界线”，请你画出满足条件

的图形，并直接写出Z4OC的度数.

14.探究一：如图1,已知AB=BD,ABVBC,ZC=90°,E和尸分别是BD和CD上的动点，且

BE=DF,4ABE与ABDF全等吗?若全等，请说明理由.

探究二：如图2,一只蚂蚁从一个长为6,宽为5,高为3的长方形顶点A从表面爬行到另一个

顶点B,请问爬行的最短距离的平方的值是.

探究三：如图3,等边三角形AOC中，边长为4,高为4尸，AE=CD,求(BD+CE)2的最小值.

15.在长方形ABC。中，A8=C£>=10,BC=A£>=8.

(1)P为BC上一点，将AABP沿直线AP翻折至AAEP的位置(点8落在点E处).

①如图1,当点E落在边CO上时，直接写出此时OE=.

②如图2,PE与CD相交于点F,AE与8相交于点G,且FC=FE,求BP的长.

(2)如图3,已知点。为射线切上的一个动点，将ABC。沿CQ翻折，点8恰好落在直线。。上

的点用处，求8。的长.

16.如图，在R/A4BC中，NC=90。，AB=10cm,AC=6cm,动点尸从点8出发，沿射线BC以4cm/s

的速度运动，设运动时间为f秒.

(1)当U时，AP平分AABC的面积.

(2)当AABP为等腰三角形时，求f的值.

(3)若点。是边上一点，且QPL8C,垂足为P,请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q,

使得QA=QP.

(4)若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值.

答案与解析

1.⑴【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1,在中，NACB=90。,

ZBAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”

图1图2图3

老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答

小明：AB=2BC.

证明：把AABC沿着AC翻折，得到△ADC.

二ZACD=ZACB=90°,

：.ZBCD=ZACD+ZACB=90°+90°=\S0°,即：点8、C、£＞在一条直线上.(请在下面补全小华后

面的证明过程)

(2)【变式拓展】如图2,在“8c中，把(1)中条件“NAC8=90。”改为“NAC8=135。”,保持“N2AC=30。”

不变，则^

(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.

如图3,点D是AABC内一点，AD=AC,ZBAD=ZCAD=20°,ZADB+ZACB=210°,探求A。、DB、

BC三者之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)2

理由见解析

【分析】(1)根据翻折的性质得出点8、C、。共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；

(2)把A4BC沿着AC翻折，得到A/LDC,根据翻折的性质得出A48D为等边三角形，由题意确定

ZBCD=90°,运用勾股定理即可得出结论；

(3)把AABO延48边翻折得到△?1日?,连接EC,由翻折及各角之间的关系得出AAEC为等

边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论.

(1)

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到ZVI。。.

J/ACD=NAC8=90。，

/.ZBC/>ZACD+ZACB=90o+90°=180°,即：点、B、C、。共线,

：.AB=ADf

・・・ZBAC=30°,

・•・NA8G60。，

•♦•△ABO为等边三角形，

：.AB=BD=2BC；

(2)

如图所示，把AABC沿着AC翻折，得至UA4OC,

由翻折得：AD=AB,

ZCAD=ZCAB=30°,BC=CD,

：.ZBAD=60°f

：.\ABD为等边三角形，

:.AB=BD,

・.•ZACB=ZACD=135°,

：.NBCD=90。,

理由：把△A8Q延A3边翻折得到△AE3,连接£7),EC,

VZBAD=ZCAD=20°,

・•・NE48=20。，

・・・NE4c=60。，

VZACB+ZADB=210°,/AEB=/ADB,

：.ZACB=ZAEB=210°,

：.ZEBC=360°-210°-60°=90°,

u

：AD=ACfAE=AD,

：.AE=AC,

：./\AEC为等边三角形，

:.EC=AE=AD,

在心△E8C中，

•：BC=BD,EC=AD,

【点睛】题目主要考查三角形翻折的性质，勾股定理解三角形，三角形内角和定理及等边三角形的

判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键.

2.如图①，在长方形A8CO中，已知AB=10,A£>=6,动点尸从点。出发，以每秒2个单位的

速度沿线段。。向终点C运动，运动时间为，秒，连接AP,把AA。尸沿着AP翻折得到

B

备用图2备用图1

（1）如图②，射线PE恰好经过点8,试求此时，的值.

（2）当射线PE与边A8交于点。时，是否存在这样的■的值，使得QE=QB?若存在，请求出所

有符合题意的f的值：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，■或■■

【分析】（1）先证明乙以=/玄8,得A8=P8=10,根据勾股定理得PC=8,由P£>=2=2f,

可得结论；

（2）分两种情况：点E在矩形的内部时，先求解再过点P作于”，过点。作

在矩形的外部，可得AB=2r,从而可得答案.

【详解】解：（1）如图I,■长方形

,ZDPA^ZPAB,

由轴对称得：ZDPA=ZEFA,

・•・ZEPA=ZPABf

：.BP=AB=\O,

在mAPCB中，由勾股定理得：|

：.PD=2=2t,

(2)存在，分两种情况：当点E在矩形ABC。内部时，如图,

'/QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-23

而QE=QB,由（1）同理可得：PQ=AQf

：.QB=AQ-2h'：AQ+BQ=AB=\O,

：.AQ+AQ-2t=10,・・・AQ=5+t.

如图，过点P作尸于，，过点。作QGLCD于G,

:・PH=QG=AD=6,

G

D

HQB

经检验，符合题意,

当点E在矩形ABC。的外部时，如图,

同理：

"：QE=QB,：.BQ=2t-AQ,

：.AB-AQ=2t-AQ,：.AB=2t,

,（此时P与C重合）,

综上，存在这样的f值，使得QE=QB,f的值为■杪或5秒.

【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的

判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题.

3.背景资料：在已知所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个

问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马

点如图1,当^■三个内角均小于120。时，费马点P在^■内部，当

⑴如图2,等边^■内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求^■的度

数，为了解决本题，我们可以将^■绕顶点A旋转到处，此时样就可

以利用旋转变换，将三条线段■、■、■转化到一个三角形中，从而求出

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作

等边三角形并连接等边三角形的顶点与■■的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同

学们探索以下问题.

(2)如图3,■三个内角均小于120。，在^■外侧作等边三角形连接■，求证：■

过■的费马点.

(3)如图4,在■中，■，点P为^■的费马点，连接■、

■、■，求■的值.

(4)如图5,在正方形中，点E为内部任意一点，连接■、■、■，且边长■■：求

■的最小值.

【答案】(1)150。；

(2)见详解；

⑶■:

【分析】(1)根据旋转性质得出丝得出/8AP=/C4P,ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,

Bp=cp，=4,根据AABC为等边三角形，得出N8AC=60。，可证△4PP'为等边三角形，PP'=AP=3,Z

/产尸=60°,根据勾股定理逆定理,得出APF'C是直角三角形，Z

PP'C=90°,可求NAP'C=ZAPP+ZPPC=6(T+90o=150°即可;

(2)将“P8逆时针旋转60。，得到△/8P,连结尸P,根据AP=AP',PB=PB',

AB=AB',根据N以P=N8/8，=60。，户和A/B9均为等边三角形，得出PP=AP,根据

根据两点之间线段最短得出点C,点P,点/，点方四点共线时，

点P在C8'上即可；

(3)将△APB逆时针旋转60。，得到尸61连结881PP',得出AAPB经AAPB',可证△”户产和

△”夕均为等边三角形，得出PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,根据

可得点C,点P,点P,点方四点共线时，=CT,利用30。直角三角形性质得出

AB=2AC=2,根据勾股定理■，可求8*=48=2,根据NW=N48C+

(4)将"CE逆时针旋转60。得到连结EE',BB',过点8作B'F_LAB,交AB延长线于F,

得出△BCE四△CE61BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可i正AECE，与△8C次均为等边三角形，得出EE'=EC,

BB'=BC,NB'BC=60°,得出点C,点E,点少，点夕四点共线时,

=AB',根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2,N4BC=90°,

可求/尸88'=180°-/4BC-/C88'=180°-90°-60°=30°,根据30°直角三角形性质得出BF=

,勾股定理8G,可求4尸=48+8尸=2+^^再根据勾

股定理AB,=即可.

⑴

解:连结尸产,

匕

:.NBAP=NCAP',ZAPB=ZAP'C,AP^AP'=3,BP=CP'=4,

•.•△ABC为等边三角形,

，N84C=60°

,ZPAP'=ZPAC+ACAP'=ZPAC+ZBAP=60°,

.•.△/PP为等边三角形，

PP'=A尸=3,N4P，P=60。,

在△P'PC中，PC=5,

.../\PP'C是直角三角形，ZPP'C=W°,

...ZAP'C=ZAPP+ZPPC^60°+90°=150°,

,ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案为150°；

(2)

证明：将逆时针旋转60。，得到△NBP,连结尸P,

,?/\APB乡4ABP,

：.AP^AP',PB=PB',AB=4B',

VZR4P'=ZBAB'=6O0,

；.A4PP，和MBB，均为等边三角形,

：.PP'=AP,

二点C,点P,点P,点夕四点共线时，■，kCB',

:.点P在C9上，

(3)

解：将A4P8逆时针旋转60。，得到ZUP歹，连结8斤，PP',

：.△”8%/尸'8',

：.AP'=AP,AB'=AB,

・/R4P三NB4B'=60。，

・・・△4PP和"BB，均为等边三角形,

:・PP'=AP,BB三AB,/ABB'=6&,

:.BB三AB=2,

,/ZCBBr=Z.ABC+ZABBr=30o4-60o=90°,

(4)

解：将△8CE逆时针旋转60。得到△CE"连结E?,BB1过点8作8户L43,交A8延长线于F,

MBCEQACEE,

:・BE=BE,CE=CE\CB=CBl

■:/ECE』/BCB，=60。,

・・・与△8C"均为等边三角形，

f

•♦.EE'=EC,BB'=BC,ZBBC=60°t

.♦.点C,点石，点？，点*四点共线时，产AB,,

・・•四边形A8C。为正方形，

：.AB=BC=2fZABC=90°f

，ZFBBf=180°-ZABC-ZCBB三180o-90°-60o=30°,

BTA.AF.

：.AF=AB+BF=2+^,

■加小=43.

【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两

点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30。直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形

判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°

直角三角形性质是解题关键.

4.如图1,AABC中，CQ_LAB于。，且A。：BD-.CQ=2：3：4,

(1)试说明AABC是等腰三角形：

(2)已知S^ABC=160cm2,如图2,动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，

同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停

止.设点M运动的时间为/(秒)，①若△QMN的边与AC平行，求，的值；

②若点E是边5c的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出f

的值；若不能，请说明理由.

【答案】(1)证明见详解；(2)①若△OWN的边与AC平行时，r值为5或6.②存在，理由：符

合要求的，值为■或9或10.

【分析】(1)设A£)=2x,BD=3x,CD=4x,则A8=5x,由勾股定理求出BC,即可得出结论；

(2)由AABC的面积求出BD、AD.CD、BC；①当MN"4c时，AM=NC；当4c时，AD=NC；

得出方程，解方程即可；

②根据题意得出当点M在上，即4co时，AMOE为等腰三角形，有3种可能：当M£)=ME=2t-8,

过点E作炉垂直48于尸，求出£7三FM=2“4；当DE=DM,则2f-8=10,当ED=EM,则

点用运动到点8,分别得出方程，解方程即可.

【详解】(1)证明：设4£>=2x,BD=3x,CD=4x,

则48=AD+8D=2x+345x,

：.AB=BC,

.•.△A8C是等腰三角形；

(2)解：由(1)知，AB=5x,CQ=4x,

5A/l/?C=1x5.xx4.r=160cm2,而x>0,

**.x=4cm,

则BD=12cm,AD=8cm,CD=16cm,AB=BC=20cm.

由运动知，AM=2tf8223

①当A/N01C时，AM=NC,

即2t=202,

解得r=5；

当。N"4c时'AD=CN,

.*.8=20-2/,

解得：t=6；

...若AOMN的边与AC平行时，f值为5或6.

②存在，理由：

1、当点M在AD上，即0勺<4时，4MDE为钝角三角形，但DM<DE<ME,不存在等腰三角形;

II、当44时，点M运动到点Q,不能构成三角形

111、当点M在DB匕即4<冬10时，为等腰三角形，有3种可能.

:点E是边BC的中点，

.•.DE=1BC=IO

当M/>ME=2t-8,

如图，过点E作EF垂直AB于F,

BFDA

・・・E为8C中点,

:.ED=EB,

：.EF=

VAAf=2/,z4F=AD+DF=8+6=14,

AFM=2/-14

在RSEFM中，(2人8)2-(2r-14)2=82,

当DE=DM,则2f-8:10,

1=9；

当ED=EM,则点M运动到点B,

贝i」2f-8=12,

・g0；

综上所述，符合要求的，值为或9或10.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式,

勾股定理，解本题的关键是分情况讨论.

5.如图，在^■中，若动点p从点c开始，按

的路径运动，且速度为每秒■,设出发的时间为「秒.

备用图

(1)出发2秒后，求^^的周长；

(2)问，为何值时，■为以C为顶点的等腰三角形;

(3)另有一点Q,从点C开始，按的路径运动，且速度为秒■，若尸，。两点同

时出发，当P,。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当，为何值时，直线PQ把^■的

周长分成相等的两部分.

【答案】(1)7+(cm)

(2〃为3、,5.4,时,为以C为项，的笔疑■■Z

(3)f为2或6秒

【分析】(1)根据速度为每秒1cm,求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理

求得PB的长，最后即可求得周长.

(2)因为AB与CB已知，由勾股定理得4c=4cvn,要让ABC尸为等腰三角形，有两种情况，点P

在AC边上或者点P在48边上，只要保证PC=8C就可以.

(3)分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，J/liJPC=t,BQ=2t-3,z+2r-3=6；当户点在A8

上，。在AC上，则4C=r-4,AQ=2f-8,f-4+2r-8=6.

(1)

解：如图1,由/C=90°,AB=5cm,BC=3cm,

A

P

CB

图1

，AC=4,动点尸从点C开始，按CTA-8TC的路径运动，且速度为每秒1cm,

・・・出发2秒后，则CP=2,

VZC=90°,

:・PB=(cm),

...△48P的周长为：4P+P8+48=2+5+■=?+■(cm).

(2)

①如图2,若P在边AC上时，8C=CP=3cm,

此时用的时间为3s,4BCP为等腰三角形;

②若P在43边上时，CP=BC^3cm,过C作斜边AB的高，贝U8=2.4cm,

在R/MCQ中，

所以BP=2PD=3.6cm,

所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm,

则用的时间为5.4s,ABCP为等腰三角形：

综上所述，当f为3s,5.4s时，ABCP为等腰三角形

⑶

如图6,当P点在AC上，。在AB上，则PC=f,BQ=2t-3,

•••直线产。把AABC的周长分成相等的两部分,

.•.什2广3=3,

*••/=2；

如图7,当P点在A8上，。在AC上，则AP=7-4,AQ=2r-8,

A

CQB

图7

,/直线PQ把AABC的周长分成相等的两部分，

f—4+2f—8=6,

；•t=6,

二当f为2或6秒时，直线PQ把AABC的周长分成相等的两部分.

【点睛】此题考查了，勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能

分类讨论是解题的关犍.

（1）试说明AA8C是等腰三角形；

（2）已知SA4BC=30cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段8A向点A运动,

同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停

止.设点M运动的时■间为f（秒），

①若的边与BC平行，求f的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出f

的值；若不能，请说明理由.

【答案】(1)见解析：(2)①若AOMN的边与BC平行时，f的值为5或8；②能，符合要求的f

值为7或10或

【分析】(1)设BD=x,AD=4x,CD=4x,则AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出结论；

(2)①当MN〃BC时，当£W〃BC时，根据等腰三角形的性质得出方程，解方程即可；

②若△“£>£为等腰三角形，有3种可能：如果Z)E=OM；如果EO=EM；如果MD=ME=f-2；分别得

出方程，解方程即可.

【详解】(1)设BD=x,AD=4x,CD=3x(x>0),

在RAACO,,JAC^CI^+AD2,

.\AC2=(3X)2+(4x)2,

•*»AC=5Xf

9

：AB=BD+AD=5xf

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形；

(2)S4A8C=，x5xx3x=30czn2,而x>0,

".x=2cm,

则BZ)=2c/n,AD=Scm,CD=6cm,AC=\0cm.

①当MN//BC时,AM=AN,即10-t=t,

.1=5,

当£>N〃8c时，AD=AN,有f=8,

故若4DMN的边与BC平行时，/的值为5或8.

②当点M在8。上，即时，△")£：为钝角三角形，但£>A#OE,

当r=2时，点M运动到点Q,不构成三角形，

当点M在。4上，即2<江10时，△例DE为等腰三角形，有3种可能.

如果。£=。仞，则r-2=5,

.1=7；

如果ED=EM,则点M运动到点4,

.*.r=10；

如果2,如图，过点E作于R

c

"：DE=AE,EFLAD,

：.AF=DF=4,

在Rt^AEF中，•/EF2=AE2-AF2,

,:BM=t,BF=6,

：.MF=t-6,

在RtAEMF中，EF2+MF2=EM2,

A32+(r-6)2=(r-2)2,

综上所述，符合要求的，值为7或10或..

【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方

程等知识，熟练掌握分类讨论思想和方程的思想方法是解题的关键.

7.【问题发现】

(1)如图1,AABC和AAOE均为等边三角形，点8,D,E在同一直线上，连接CE,容易发现:

①NBEC的度数为_；②线段80、CE之间的数量关系为_；

【类比探究】

(2)如图2,AABC和AAOE均为等腰直角三角形，NBAC=ND4E=90。，点8,D,E在同一直

线上，连接CE,试判断/8EC的度数及线段BE、CE、OE之间的数列关系，并说明理由；

【问题解决】

(3)如图3,NAOB=N4CB=90。，OA=3,OB=6,AC=BC,则。C?的值为.

B

【答案】(1)60°,BD=CE；(2)NBEC=90°,BE=CE+DE,理由见解析；(3)|

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到A8=AC,AD^AE,/8AC=NOAE=60°,得到

CAE,证明△84。好△C4E,根据全等三角形的性质证明结论：

(2)由“SAS'可证△A3。丝△ACE,可得BD=CE,ZAEC=ZADB=\35°,即可求解：

(3)由“A4S'可证△ACFgACBE,可得BE=CF,AF=CE,可求。尸=CF=]由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)•••△A8C和△ADE为等边三角形，

：.AB=AC,AD^AE,Nft4C=N£)AE=60°,

二ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NB4£)=NCAE,

在△54。和ACAE中，

.•.△BAD丝△C4E(SAS),

BD^CE；NAEC=NADB=180°-NA£)E=120°,

，ZBEC^ZAEC-ZAED^120°-60°=60°,

故答案为：60°,BD=CE：

(2)NBEC=90。,BE=CE+DE,

理由如下：*/N84C=ND4E=90。，

.'.AB=AC,AD=AE,ABAC-ADAC=ADAE-ADAC,

即NBAD=/C4E,

在AABO和AACE中，

A(SAS),

:・BD=CE,ZA£C=ZADB=135°,

・,.ZBEC=ZAEC-ZAED=135°-45°=90°,

,:BE=BD+DE,

:・BE=CE+DE：

(3)如图，过点。作CF,AO交4。延长线于凡过点3作3ELCF于£,

,/ZACB=90°=ZE=ZAFC,

：.NBCE+/ACF=9U0=NBCE+NCBE,

工NACF=/CBE,

XVAC=BC,/AFC=NE,

：.AACF^ACBE(AAS),

:.BE二CF,AF=CE,

VOA=3,08=6,

:・EC+CF=B0=6,0A=AF-0F=CE-BE=CE-CF=3,

/./.C■.C7-■O/\

故答案为:

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌

握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

8.如图，在■中，■，点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的

速度沿折线运动.设点P的运动时间为t秒

(1)求AC的长及斜边A8上的高.

(2)当点尸在CB上时，

①CP的长为(用含t的代数式表示).

②若点P在^■的角平分线上，则t的值为.

(3)在整个运动过程中，直接写出^■是等腰三角形时r的值.

【答案】(1).;(2)①②■⑶t的值为05或4.75或5或5.3.

【分析】(1)直接利用勾股定理即可求得AC的长，再利用等面积法即可求得斜边AB上的高；

(2)①CP的长度等于运动的路程减去AC的长度，②过点■作・DJ_AB,证明RtzkAC■乡RSAD

■得出AD=AC=4,分别表示各线段，在RtABD■利用勾股定理即可求得I的值；

(3)由图可知，当ABCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC

上时，此时4BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AB上时，又分三种情况：BC=BP；PC=BC；

PC=PB,分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案.

【详解】解：(1)

二在■中，

...AC的长为4.

设斜边48上的高为近

(2)已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动,

①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP=2t,

：AC=4,

.*.CP=2t-AC=2t-4.

故答案为:2t-4.

②当点■在NBAC的角平分线上时，过点■作・D，AB,如图:

■平分/BAC,・C_LAC,HD±AB,

.,..D=.C=2t-4,

VBC=3,

，B・=3-(2t-4)=7-2t,

在RtAAC■和RSAD■中，

.♦.RtZkAC.经Rt/kAD.(HL),

:.AD=AC=4»

又・.,AB=5,

・・・BD=1,

在RSBD■中，由勾股定理得:

解得:

故答案为:

(3)由图可知，当ABCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上,

①当点P在线段AC上时，此时ABCP是等腰直角三角形,

此时CP=BC=3,

；.AP=AC-CP=4-3=1,

.,•t=0.5；

②当点P在线段AB上时，若BC=BP,

则点P运动的长度为：

AC+BC+BP=4+3+3=10,

A2t=10,

t=5；

若PC=BC,如图2,过点C作CHLAB于点H,则BP=2BH,

在2\ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,ACM,

・・・AB・CH=AOBC,

A5CH=4x3,

在RSBCH中，由勾股定理得:

ABP=3.6,

・•.点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6,

A2t=10.6,

t=5.3；

若POPB,如图3所示，过点P作PQJ_BC于点Q,

.\ZACB=ZPQB=90°,

・・・PQ〃AC,

，PQ为△ABC的中位线,

・•・PQ=0.5xAC=0.5x4=2,

在RSBPQ中，由勾股定理得:

点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5,

；.2t=9.5,

，t=4.75.

综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3.

【点睛】本题考查勾股定理，HL定理，等腰三角形的性质和判定.掌握等面积法和分类讨论思想

是解题关键.

9.将沿A。折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处.展开如图1.

图2

【操作观察】（1）图1中,

【理解应用】（2）如图2,若试说明：

【拓展延伸】（3）如图3,若■■■，点G为4c的中点，且，.点。是上的一个动

【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75

【分析】（1）①由于翻折，故4E=4C,所以②由于翻折，故4。平分/BAC,故点

。到AC的距离等于点。到AB的距离，即AACO边AC上的高等于AABO边A8上的高.再由三角

形面积公式可知,，从而得到（2）由于翻折，知NA目X/C,又因为

等量代换得从而BE=DE,整理代换即可；（3）根据“将军饮马''模型知，PG+PE的最

小值为EG.再根据AE=2AG,N8AC=60。，可推断出是含60。角的直角三角形，从而得到

EG的长，得解.

【详解】解：（1）①•.•翻折

：.AE=AC

：.BE=AB-AE=AB-AC=S-6=2

：.BE=2；

②:翻折,

・・・A£）平分N8AC,

・・・点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACO边AC上的高等于△ABD边AB上的高

.••由三角形面积公式可知,

（2）・・,翻折

・・・/\ACD^/\AED

：.AE=AC,/AED=/C,DE=CD

又ZAED=ZB+ZBDE

：.ZB=ZBDE

：.BE=DE

X*：AB=AE+BE

：.AB=AC+DE=AC+CD.

（3）,・,翻折

：.PC=PE

：・PG+PC=PG+PE,当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG

A

的最小值为EG2

"：AG=5,AE=AC=2AG,ZBAC=60°

.♦.△AEG是含30。角的直角三角形

的最小值为75.

【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是

解决本题的关键.

10.如图，在中，动点P从点B出发沿射线8c

以lcvn/s的速度运动，设运动时间为

（1）当■■为直角三角时，求,的值:

（2）当■■为等腰三角形时，求/的值•

【答案】（1）

【分析•】（1）依题意，■■，分情况讨论①■，点■与点■重合，②勾

股定理即可求得■的值；

（2）分情况讨论”直接可得■的值，②根据三线合一可得

③在■中勾股定理求解即可.

【详解】(1)

■动点■从点■出发沿射线■以，■的速度运动，设运动时间为f(s),

①当■时，如图，点■与点■重合,

②当

在■中，

解得:

综上所述，■或

⑵①当^■时，

②当■时,

③当■时,

【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键.

11.如图，长方形A8CQ中,.E为CQ边上一点,

(1)求AE的长;

(2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE.设点P运

动的时间为1秒.

①当/为何值时，1Mb后等腰三角形;

②当仁时，

BP

【答案】（1）5；（2）2或■或.；（3）|

【分析】（1）求出^■，利用勾股定理即可求出AE的长；

（2）①根据若^■是等腰三角形，分三种情况讨论：■和■时.分别进

行求解即可；②过点E作利用勾股定理可以表示出在■和■中，

联立方程即可求解.

【详解】解：（1）•.•四边形48C。是长方形，

在中，,

（2）①若^■为等腰三角形，则有三种可能.

当■时，I

当^■时，

当■时，过点E作^

综上所述，纤合要求的r值为2或■叫

②当■■■时，

即■■■■L

解得:

..・当^^寸，

【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解.

12.如图1,AABC中，CDJ_AB于D,且BD：AD：CD=2：3：4；

（1）试说明AABC是等腰三角形；

⑵已知S^ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，

同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停

止.设点M运动的时间为t（秒）.

①若ADMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，AMDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；

若不能，请说明理由.

【答案】（D见解析；（2）①5或6；②9或10或.

【分析】（1）设则由勾股定理求出・，即可得出结论;

（2）由■■的面积