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文档简介

20222023学年北京109中学高三(上)模拟考试数学试卷(10

月份)

一、单选题(每题4分,共40分)

2一、

1.(4分)已知:=1-ai,其中i为虚数单位,贝lj。=()

l+i

A.-1B.1C.-2D.2

2.(4分)(/一§5的展开式中的系数为()

A.10B.20C.40D.80

3.(4分)设x€R,则“cosx=0”是“sinx=l”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

4.(4分)COS2-COS2^2=()

A-1B-立

a.22

5.(4分)已知双曲线的一个顶点是(0,2),其渐近线方程为〉=士级,则双曲线的标准方

程是()

A.%2-=1B.-y2=1

y22y2.

C.—-x2=1D.---=1

444

6.(4分)将函数y=s讥(2x+3)的图象向左平移三个单位长度后,所得图象对应的函数为

42

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

7.(4分)下列函数中,既是偶函数又在(0,3)上单调递减的是()

A.y=2®B.y=-x3C.y-cosD.y-

8.(4分)中国古代十进位制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,

算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹计数的方法是:个位、百位、万位……的数按

纵式的数码摆出;十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表

示为=LTT三UT.1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则3'。比64的运算

结果可用算筹表示为()

纵式:111IIIIlliHillTTTUTHIT

X全

横式:一===^11

123456789

A.11=111B.LI生c.w=n=

D.nw

a+b、1

9.(4分)f(x)=logo.5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=f(T(/(a)+/(b)),

则下列关系式中正确的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

10.(4分)设函数f(x)=sin(o)x+J)在区间(0,n)恰有三个极值点、两个零点,则3

的取值范围是()

5135191381319

A.[—,——)B.[―,——)C.(——,-]D.(——,——]

36366366

二、填空题(每题5分,共25分)

11.(5分)函数y=m(3—4x)的定义域是.

12.(5分)能说明“在△ABC中,若sin2A=sin23,则A=B”为假命题的一组A,5的值

是.

13.(5分)如图所示,角a的终边与单位圆交于点P,已知点P的坐标为(一|,3,则tan2a

14.(5分)已知/(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=7-3x,则不等式/

(x)>九的解集用区间表示为

丫3va

/一若存在实数从使函数g(x)=于3有两个

(x2,x>a

零点,则a的取值范围是

三、解答题(共85分)

16.设/(x)—alnx++|x+l,其中“6R,曲线y—f(x)在点(1,/(D)处的切线垂

直于y轴.

(1)求。的值;

(2)求函数f(x)的极值.

17.如图,在直三棱柱ABC-4B1C1中,D,E分别是AB.BB1的中点,已知力B=2,441=

AC-CB-V2.

(I)证明:BC1〃平面A1CD;

(II)求CD与平面4CE所成角的正弦值;

(III)求。到平面AiCE的距离.

18.已知函数/'(%)=+@)(4>0,3>0,101V分且/(x)图像的相邻两条对称

7T

轴之间的距离为5,再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(I)确定/(X)的解析式;

(II)若g(x)=f(x)+2cos(2x+专),求函数g(x)的单调减区间.

条件①:/(X)的最小值为-2;

条件②:/(%)图像的一个对称中心为(驾,0);

条件③:/(%)的图像经过点(普,-1).

19.北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析,随机抽取同时选考物理、化学的学生

330名,如表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况:

物理成ABC

绩等级

化学成ABCABCABC

绩等级

人数11053255701531210

(名)

(1)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人,已知该生的物理成绩

等级为A,估计该生的化学成绩等级为A的概率;

(2)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人,以X表示这2人中物

理、化学成绩等级均为A的人数,求X的分布列和数学期望(以上表中物理、化学成绩

等级均为A的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率);

(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩(满分150分)的方差为排名前

50%的成绩方差为sj,排名后50%的成绩方差为522,则52不可能同时大于512和522,

这种判断是否正确.(直接写出结论).

20.已知函数/(x)=xsinx.

(1)判断函数/(x)在区间(0,%上的单调性,并说明理由;

(2)求证:函数/(x)在兀)内有且只有一个极值点;

(3)求函数。0)=华*在区间(1,TT]上的最小值.

21.集合Mk("20)是满足下列条件的函数f(x)全体:如果对于任意的xi,X2&(&,+

8),都有/(XI)+f(X2)>/'(X1+X2).

(1)函数/(x)=/是否为集合M0的元素,说明理由;

(2)求证:当0<〃<1时,函数/(无)=〃是集合Mi的元素;

(3)对数函数/(x)=lgxEMk,求人的取值范围.

2022-2023学年北京109中学高三(上)考试数学试卷(10月份)

参考答案与试题解析

一、单选题(每题4分,共40分)

2

1.(4分)已知币=1-m,其中a€R,i为虚数单位,则由()

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解:苗=(普消)=1-i=1一山,

则a=\.

故选:B.

2.(4分)(/一|)5的展开式中/的系数为()

A.10B.20C.40D.80

【解答】解:(/一§5的展开式的通项公式为7i+l=稼(?)5Y(—|)k=(-2)

-3k

令10-3%=4,则%=2,

・••展开式中d的系数为量(-2)2=40,

故选:C.

3.(4分)设账R,则“cosx=0”是“sinx=l”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解::sin2l+cos2>x=1,

①当cosx=0时,则sinx=±l,.••充分性不成立,

②当sinx=1时,则cosx=0,/.必要性成立,

・・・"cosx=0”是“sinx=l”的必要不充分条件.

故选:B.

4.(4分)COS2y^—COS2^=()

D.立

A.-2C.

«--f2

【解答】解:COS?居一COS?金2TC71zj7127T27r71

=cos(一+一)-cos-=sin——cos-=—COS-=

2121212126

_V3

21

故选:B.

5.(4分)已知双曲线的一个顶点是(0,2),其渐近线方程为丫=士合,则双曲线的标准方

程是()

2y2X2

A.x2—=1B.———y2=1

44

y2y2/

C.—-%22=1D.---=1

444

y2x2

【解答】解:双曲线的一个顶点是(0,2),开始双曲线方程为:—其渐近

4b2

线方程为'=±2羽

所以b=l,

所求双曲线方程为:--X2=1.

4

故选:C.

*77"_TC

6.(4分)将函数y=s讥(2%+刍的图象向左平移5个单位长度后,所得图象对应的函数为

()

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

【解答】解:将函数y=sin(2x+刍的图象向左平移W个单位长度后,

所得图象对应的函数为y=sin(2x+ir+%)=-cos2x的图象,

故选:D.

7.(4分)下列函数中,既是偶函数又在(0,3)上单调递减的是()

A.y=23B.y=-x3C.y=cos*D.y=

【解答】解:A,-:f(-x)="卜=2M=f(x),.力二?况为偶函数,又•.•当x>0时,y

=2、单调递增,...A错误,

B,♦.•>=-/为奇函数,,台错误,

YxX

C,V/(-x)=cos(一5)=COS-=f(x),cos-为偶函数,

V0<x<3,.\0<^<1<?,.R=cos子在(0,3)上单调递减,正确,

2222

2—%

D,.——>0,・•・-2<x<2,:.f(x)的定义域为(-2,2),

2\x?2x

,:f(-x)=/〃----=/n(y-7^)-1=-In-----=—f(x),.*./(x)为奇函数,错误,

2-x'2+M2+x

故选:C.

8.(4分)中国古代十进位制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,

算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹计数的方法是:个位、百位、万位……的数按

纵式的数码摆出;十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表

示为上TT三可.1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则3'。贝64的运算

结果可用算筹表示为()

纵式:IIIIIIIlliHillTTTUT>

横建式冲:一==—=一—工I_—L—=J=—=

123456789

A.II=IHB.=1=11=C.

D.

【解答】解:根据题意,3'。&64=36=729,

用算筹计数表示为n=w;

故选:D.

9.(4分(x)=logo,5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=r=1(/(a)

则下列关系式中正确的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

【解答】解:(x)=logo,5x,0<a<bf

***P=/(V^)=log0.5(Voh)=2(Iog0.5«+log0.5/?),

a+hQ+b1—

q=/(-y-)=log0.5(----)<log0.5(VoK)=P,

,2

1I

r=[(/(a)+/(b))=工(logo.5a+k>go.5b),

:・p=f>q.

故选:D.

10.(4分)设函数/(x)=sin(3x+给在区间(0,n)恰有三个极值点、两个零点,则3

的取值范围是()

5135191381319

A[B.[-,—)C.(——,-]D.(

-?了)3663T'T]

【解答】解:当3<0时•,不能满足在区间(0,71)极值点比零点多,所以3>0;

函数/(])=sin(u)x+^)在区间(0,Tt)恰有三个极值点、两个零点,

■ji71元

(一,

(A)X4~737E3(0714-3o-),

57r

/.—VtOTl+n亍

23<3TT,

求得一<€0<?

6s

故选:C.

二、填空题(每题5分,共25分)

12

11.(5分)函数y=)(3-4%)+±的定义域是(-00,0)u(0,G.

【解答】解:由题意可知3-4%>0

%H0

所以3W(-8,0)U(0,》

所以函数的定义域为(一8,0)u(0,

故答案为:(-8,0)U(0,分.

12.(5分)能说明“在△ABC中,若sin2A=sin28,则A=8”为假命题的一组A,8的值

是4=60°,8=30°.

【解答】解:当4=60°,8=30°时,sin2A=sinl20°=—;sin2B=sin60°=苧,此

Blsin2A=sin2B/

故答案为:A=60°,B=30°.

13.(5分)如图所示,角a的终边与单位圆交于点P,已知点P的坐标为(一|,贝I]tan2a

_24

4

-4

245

【解答】解:•.•角a的终边与单位圆交于点尸(一自二),--

33

--

355

2tana_24

则tan2a=

l-tan2a7

故答案为:—.

14.(5分)已知/(%)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-3x,则不等式/

(x)>x的解集用区间表示为(-4,0)U(4,+8).

【解答】解:当x>0时,不等式/(x)>x化为7-3x>x,解得x>4;

当x<0时,-x>0,/(x)=-/(-x)=-x2-3x,不等式/(x)>x化为---3x>x,

解得-4<x<0.

而/(0)=0不满足不等式/(x)>x.

综上可得:不等式/(x)>x的解集用区间表示为(-4,0)U(4,+8).

党3YV(]

/-若存在实数A使函数g(x)=/(x)-6有两个

{x2,x>a

零点,则a的取值范围是或a>U.

【解答】解:(x)=/(x)-分有两个零点,

.V(x)=/,有两个零点,即y=/(x)与y=/>的图象有两个交点,

由尸=7可得,X=0或X=1

①当4>1时,函数/1(X)的图象如图所示,此时存在从满足题意,故4>1满足题意

②当“=1时,由于函数/(X)在定义域R上单调递增,故不符合题意

③当OVaVl时,函数/(x)单调递增,故不符合题意

④a=0时,/(x)单调递增,故不符合题意

⑤当。<0时,函数y=/(x)的图象如图所示,此时存在b使得,(x)与),=匕有两

故答案为:伍|a<0或。>1}

三、解答题(共85分)

1Q

16.设/(x)=4如:+自+*1,其中a€R,曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线垂

直于y轴.

(1)求。的值;

(2)求函数/(X)的极值.

【解答】解:(1)求导函数可得/(x)=?-A+l>

x2x2

•.•曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线垂直于y轴,

13

"(I)=0,g+L

a=

1Q

(2)由(1)知,f(x)=-伍什摄+分+1(x>0)

f(v)=_1__1,3^(3x+l)(x-l)

22

x2x22x

令/(x)=0,可得x=1或x=—/(舍去)

;0<xVl时,f'(x)<0,函数递减;x>l时,/(x)>0,函数递增

;.x=l时,函数/(X)取得极小值为3.

17.如图,在直三棱柱ABC-486中,£>,E分别是AB.的中点,已知AB=2,AA1=

AC-CB—V2.

(I)证明:BCi〃平面4C£);

(II)求CO与平面4CE所成角的正弦值;

(III)求。到平面4CE的距离.

【解答】证明:(/)连接AC1交4c于点F,则尸为ACi中点,

连接力F,又。是AB中点,

则BC\//DF,

•.•。bu平面ACO,BCiC平面ACO,

,BCi〃平面4CD

(〃)\'AB=2,BC=AC=V2,可得NACB=90°,即AC_LBC,

以C为坐标原点,C4,CB,CCi为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

LL^V2V2V2

则A(V2,0,V2),C(0,0,0),E(0,V2,——),D(一,——,0),

222

TT-^2^

则C/i=(V2,0,V2),CE=(0,V2,—),

设平面4CE的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-CAr=V2x+V2z=0

则t—万,令z=2,则y=-1,x--2>

n-CE=>/2y+^~z=0

二平面A1CE的一个法向量为n=(-2,-1,2),

t\J2ypZ

又CD=(—,—,0),

22

设CD与平面ACE所成角为6,

...smg叵L=一姿L=

z

\CD\-\n\J4+1+4XJ异;

(〃/)。到平面4CE的距离”=挈

同1x/4+4+42

10<劲,且/(4)图像的相邻两条对称

71

轴之间的距离为了再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(I)确定f(x)的解析式;

(II)若g(x)=/(%)+2cos(2x+着),求函数g(x)的单调减区间.

条件①:/(X)的最小值为-2;

条件②:/(X)图像的一个对称中心为(聋,0);

条件③:/(%)的图像经过点(半,-1).

71

【解答】解:(I)由于函数/G)图像上两相邻对称轴之间的距离为鼻,

所以函数/(%)的最小正周期7=2X>兀,

所以3=竿=2,

此时/(x)=Asin(2x+(p);

选条件①②,

因为/(x)的最小值为-A,

所以A=2f

因为函数/(x)的一个对称中心为(罂,0),

所以2x含+<p=/OT(keZ),

解得W=k兀一詈,(fcGZ),

因为|初

所以0=*'

所以/(%)=2sin(2x4-看);

选条件①③,

因为/(尢)的最小值为-A,

所以A=2,

因为函数/(x)的图像过得,一1),

则樽)=-1,

艮|12si7i(等+乎)=—1,sin(竽+>)=—*,

因为IwlV参

一,7n57r137r

所以一<(p+—v——,

636

p*r21\I।57r1ITTTC

所以。+-y=-g-,0=3

所以f(%)=2sin(2x+5);

选择条件②③,

因为函数/(X)的一个对称中心为(驾,0),

所以2x+3=kji(kGZ),

解得<p=k兀一普,(keZ),

因为|*|V*,

所以9=看,

此时/1(%)=4sin(2x+冷,

因为函数/(x)的图像过(半,-1),

则镖)=-1,

即As讥—F(p)——1,

”,11几

所以Asin---=-1,

6

所以A=2,

所以/(%)=2sin(2x+看);

综上,不论选哪两个条件,/(x)=2sm(2x+J);

(II)由(I)知,/(%)=2sm(2%+5),

所以g(x)=f(x)+2cos(2%+5)=2sin(2x+Q+2cos(2x+着)=2>/2sin(2x+驾),

,n57r37r

由一4-2kn<2x4--<—+2kn,kEZ,

2122

得莉+kn,kwZ,

n13

所以g(x)的单调递减区间为|媪+/cm—n+kn]f依Z.

19.北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析,随机抽取同时选考物理、化学的学生

330名,如表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况:

物理成ABC

绩等级

化学成ABcABCABC

绩等级

人数no53255701531210

(名)

(1)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人,已知该生的物理成绩

等级为A,估计该生的化学成绩等级为A的概率;

(2)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人,以X表示这2人中物

理、化学成绩等级均为4的人数,求X的分布列和数学期望(以上表中物理、化学成绩

等级均为4的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率);

(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩(满分150分)的方差为排名前

50%的成绩方差为s]2,排名后50%的成绩方差为s/,则$2不可能同时大于sF和S22,

这种判断是否正确.(直接写出结论).

【解答】解:(1)设事件A为该生物理成绩等级为A的情况下,化学成绩等级为A,

样本中物理成绩等级为A的人数为110+53+2=165,

1102

在该群体中化学成绩等级为A的人数为110,所以频率为,=

由样本估计总体可得P(4)=|,

故该生物理成绩等级为A,估计该生化学成绩等级为A的概率为1.

(2)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生随机选取一名,物理、化学成绩等级均

1101

为4的概率估计为二=

3303

由题意随机变量X的取值范围是{0,1,2),

P(X=0)=(1)2=小

P(X=l)=Gx*x5=^

P(X=2)=(1)2=i,

则X的分布列:

X012

P441

r———

999

E(X)=0Xq4+lXg4+2Xg1=w2.

(3)不正确;

举例:排名前50%的成绩均为150分,方差为登=0,排名后50%的成绩均为0分,方

差为S22=0,显然,>0,所以s2>s£,s2>s/,故,同时大于Si2和S22.

20.已知函数/(x)=xsinx.

(1)判断函数/(x)在区间(0,今上的单调性,并说明理由;

(2)求证:函数/(x)在g,兀)内有且只有一个极值点:

(3)求函数g(x)=笔产在区间(1,

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