椭圆标准方程及性质的应用课件高二上学期数学人教A版选择性

传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.椭圆标准方程及性质的应用1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)学习目标一、实际生活中的椭圆问题例1

(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是A.a1＋c1＝a2＋c2

B.a1－c1＝a2－c2√√由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝|PF|，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.跟踪训练1某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为

米，如果限制通行车辆的高度不超过米，那么隧道设计的拱宽d至少应是______米.32解得a＝16，∵车辆高度不超过米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.二、直线与椭圆的位置关系问题1

类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？提示联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数.位置关系解的个数Δ的取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相离

解Δ

0两一无>＝<注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.通法“数”课本例7如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：

＝1.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？消去y，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.①方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).（1）由Δ>0得－25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.（2）由Δ＝0得m1＝25，m2＝－25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.（3）由Δ<0得m<－25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.反思感悟研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.跟踪训练2直线y＝kx－k与椭圆

＝1的位置关系为A.相交

B.相切C.相离

D.不确定√你能想到那些办法？问题2

已知椭圆的方程为

＝1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？三、中点弦问题设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，

三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率.点差法例3已知椭圆

＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为______________.x＋2y－4＝0方法一

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意.方法二

易知直线AB的斜率k存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0则有

Δ

>0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1，x2是上述方程的两根，又M为AB的中点，满足Δ>0故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三

设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于AB的中点为M(2,1)，则另一个交点为B(4－x,2－y).∵A，B两点都在椭圆上，①－②，化简得x＋2y－4＝0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.①②涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式.跟踪训练3过点M(1,1)作斜率为

的直线与椭圆C：

＝