实验六、拟合与插值问题课件

数学模型数学实验六一、实验项目名称

传染病模型

——插值与拟合2023/11/151实验六、拟合与插值问题进一步巩固、加强Matlab的应用能力、学会用MATLAB软件进行数据拟合了解在最小二乘意义下数据拟合的理论和方法.通过对实际问题的分析和研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法插值的基本原理二、实验目的2023/11/152实验六、拟合与插值问题三、实验内容与步骤1、建模实例：传染病模型2、MATLAB求函数的拟合与插值2023/11/153实验六、拟合与插值问题

目的1、传染病模型

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型2023/11/154实验六、拟合与插值问题1.1问题重述问题:有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。2023/11/155实验六、拟合与插值问题3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）2023/11/156实验六、拟合与插值问题实验问题2023/11/157实验六、拟合与插值问题模型（一）模型（二）Matlab---微分方程的求解已解决今天我们研究问题4的方法拟合插值2023/11/158实验六、拟合与插值问题据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下：(人口数单位为：百万)（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。拟合问题实例1年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口数

541.67

602.66672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口数

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

2023/11/159实验六、拟合与插值问题如何确定线性模型2023/11/1510实验六、拟合与插值问题1曲线拟合问题的提法:

已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=，使)(xf在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好，如图:

xy0++++++++一、曲线拟合确定f(x)使得

达到最小

最小二乘准则

2023/11/1511实验六、拟合与插值问题２.用什么样的曲线拟合已知数据?常用的曲线函数系类型：１．画图观察；２．理论分析指数曲线：

双曲线（一支):

多项式：

直线：

2023/11/1512实验六、拟合与插值问题线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…,rm(x)}的选取

1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…,n

作图，通过直观判断确定f(x)：2023/11/1513实验六、拟合与插值问题３拟合函数组中系数的确定2023/11/1514实验六、拟合与插值问题用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.多项式在x处的值y可用以下命令计算：

y=polyval（a，x）输出拟合多项式系数a=[a1,…,am,

am+1](数组）输入同长度的数组x，y拟合多项式次数2023/11/1515实验六、拟合与插值问题人口预测线性模型

对于开始提出的实验问题,代如数据，计算得从而得到人口数与年份的函数关系为把x=1999代如，估算出1999年的人口数为

y=1252.1（百万）＝12.52亿1999年实际人口数量为１２.６亿。线性预测模型2023/11/1516实验六、拟合与插值问题symsx

x=1949:5:1994;

y=[541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.751106.761176.74];

plot(x,y,'r*’)

z=polyfit(x,y,1)

y1=polyval(z,x)

holdon

plot(x,y1,'b+-')人口模型的解2023/11/1517实验六、拟合与插值问题symsxx=0:1:14y=[3953729612917123231438650262976092010651232];plot(x,y,'r*')z=polyfit(x,y,2)y1=polyval(z,x)holdonplot(x,y1,'b+-')传染病模型3的解2023/11/1518实验六、拟合与插值问题二、插值

2.面对一个实际问题，应该用插值，还是拟合。1.插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值。2023/11/1519实验六、拟合与插值问题插值问题实例1机械加工

xy机翼下轮廓线2023/11/1520实验六、拟合与插值问题插值问题的提法已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值

节点可视为由产生,表达式复杂或无封闭形式,，或未知.。

2023/11/1521实验六、拟合与插值问题

求解插值问题的基本思路

构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，即

2023/11/1522实验六、拟合与插值问题插值的基本原理选讲PPT（24-30）2023/11/1523实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.1插值多项式有唯一解2023/11/1524实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.2拉格朗插值多项式又（2）有唯一解，故（3）与（1）相同。2023/11/1525实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.3误差估计2023/11/1526实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.4例将[0,/2]n等分，用g(x)=cos(x)产生n+1个节点，作Ln(x)（取n=1,2),计算cos(/6),估计误差。解:n=1,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),L1(x)=y0l0+y1l1=1-2x/,cos(/6)=0.6667n=2,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/4,0.7071),(x2,y2)=(/2,0),L2(x)=y0l0+y1l1+y2l2=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2cos(/6)=L2(/6)=0.8508精确值：cos(/6)=0.86602023/11/1527实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.5

拉格朗日插值多项式的振荡ToMATLAB(runge)Runge现象:2023/11/1528实验六、拟合与插值问题2.分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xn计算量与n无关;n越大，误差越小.2023/11/1529实验六、拟合与插值问题3.三次样条插值2023/11/1530实验六、拟合与插值问题1.拉格朗日插值:自编程序,如名为lagr1.m

的M文件，第一行为functiony=lagr1(x0,y0,x)

输入:节点x0,y0,

插值点x(均为数组，长度自定义)）；输出:插值y(与x同长度数组)）。应用时输入x0,y0,x后,运行y=lagr1(x0,y0,x)2.分段线性插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x)3.三次样条插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x,’spline’)

或

y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值计算2023/11/1531实验六、拟合与插值问题对表格给出的函数，求出没有给出的函数值

例2表中是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.

x03571112131415y01.21.72.12.01.81.21.01.6下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题)：y=interp1(x0,y0,x)分段线性插值y=spline(x0,y0,x)三次样条插值

2023/11/1532实验六、拟合与插值问题其中x0,y0是已知的节点坐标，是同维向量。y对应于x处的插值。y与x是同维向量。解决上述问题,我们可分两步:一用原始数据绘图作为选用插值方法的参考.二确定插值方法进行插值计算x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'plot(x0,y0)%完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x');%用分段线性插值完成第二步工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x');plot(x,y)%用三次样条插值完成第二步工作2023/11/1533实验六、拟合与插值问题对y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）个节点（等分）作上述两种插值，用m（=21）个插值点（等分）作图，比较结果。解：键入并运行如下命令n=11;m=21;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);xo=-5:10/(n-1):5;yo=1./(1+xo.^2);y1=interp1(xo,yo,x);y2=spline(xo,yo,x);plot(x,y,'r',x,y1,'b',x,y2,'k')练习：2023/11/1534实验六、拟合与插值问题例3

一水库上游河段降暴雨.，根据预报测算上游流入水库的流量为Q(t)(102立方米/秒)：

t(时)81216243044485660Q(t)3654789210135251613

利用这个预报值估计14：30和20：30时上游流入水库的流量。假设:1已知数据准确。

2相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化。2023/11/1535实验六、拟合与插值问题2023/11/1536实验六、拟合与插值问题t=[8,12,16,24,30,44,48,56,60];q=[36,54,78,92,101,35,25,16,13];t1=8:0.5:60;q1=interp1(t,q,t1,'linear');plot(t,q,'b',t1,q1);holdon;q2=interp1(t,q,t1,'spline');plot(t,q,'b',t1,q1,t1,q2,'r')q1q22023/11/1537实验六、拟合与插值问题2023/11/1538实验六、拟合与插值问题拟合与插值的关系

函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的．

实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合．若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；2023/11/1539实验六、拟合与插值问题最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：2023/11/1540实验六、拟合与插值问题即要求出二次多项式:中的使得:1、对下面一组数据作二次多项式拟合上机操作（1、2拟合；3、4用插值法）2023/11/1541实验六、拟合与插值问题2、

最佳营销策略问题：某公司有一批以每桶2元购进的彩漆为了获得较高的利润希望以较高的价格卖出但价格越高,售出量就越少,二者之间的关系由表一给出.于是打算用作广告的办法来促销.而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述.例如,投入