可分离变量的微分方程_第1页
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文档简介

§.2可别离变量的微分方程1整理课件如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式那么原方程就称为可别离变量的微分方程可别离变量的微分方程可别离变量的微分方程的解法两端积分

方程由G(y)

F(x)

C所确定的函数,称为隐式(通)解

别离变量将方程写成g(y)dy

f(x)dx的形式

2整理课件微分方程分离变量是否可分离变量y

2xy3x2

5x

y

0(x2

y2)dx

xydy=0y

1

x

y2

xy2y

10x

y讨论:是不是不是是是是y

1dy

2xdxdy

(3x2

5x)dxy

(1

x)(1

y2)10

ydy

10xdx————————3整理课件注

别离变量得

解

这是一个可别离变量的微分方程.两边积分得

下页即

ln|y|

x2

C1

ln|y|

x2

lnC

加常数的另一方法

4整理课件

根据题意得微分方程

解

例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律初始条件为M|t

0

M0

将方程别离变量得两边积分

得由初始条件

得M0

Ce0

C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M

M0e

t

即lnM

t

lnC

也即M

Ce

t

下页5整理课件提示

降落伞所受外力为F

mg

kv(k为比例系数)

牛顿第二运动定律F

ma

设降落伞下落速度为v(t)

解

下页

例3设降落伞从跳伞塔下落后

所受空气阻力与速度成正比

并设降落伞离开跳伞塔时速度为零

求降落伞下落速度与时间的函数关系

根据题意得初值问题6整理课件将方程别离变量得两边积分得

将初始条件v|t

0

0代入上式得于是降落伞下落速度与时间的函数关系为结束

例3设降落伞从跳伞塔下落后

所受空气阻力与速度成正比

并设降落伞离开跳伞塔时速度为零

求降落伞下落速度与时间的函数关系

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