2022-2023学年江苏省连云港市高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知，，，，所以.故选：B.2.设随机变量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以根据正态分布曲线特征可得，，即.故选：D.3.某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：代数代码1234总粒数197193201209通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（）A.233 B.234 C.235 D.236〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，.因为回归直线方程经过样本中心，所以，解得，回归直线方程为：，当时，的估计值为：.故选：A.4.若一个正棱台，其上､下底面分别是边长为和的正方形，高为，则该正棱台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据条件，作正棱台图像如下，则其外接球球心在高的延长线上，，，，所以，，由，可得，解得，所以外接球半径即，所以其外接球表面积为.故选：A.5.若4名学生报名参加数学､物理､计算机､航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（）A.18种 B.36种 C.72种 D.144种〖答案〗B〖解析〗因为题意要求恰好航模小组没人报，则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组，则此时有：种情况，然后选择三个小组有：，故满足题意的情况数为：，故选：B.6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．7.被除所得的余数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以被除所得的余数是.故选：C.8.在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点A折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：，，在中，，所以，记，且，则，所以，，因为二面角的大小为，即为向量，的夹角为，，且，所以，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，线段长度的最小值为4.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，令，则，故A正确；对于B，的通项为，所以令可得，故B错误；对于C，的通项为，所以当时，即，而，所以令，则，而，故C正确；对于D，令可得，，又因为令，则，所以，故D错误.故选：AC.10.从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，则（）A.可以组成720个无重复数字的四位数B.可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数C.可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数D.可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数〖答案〗ABD〖解析〗首位不能排0，有种排法，后面三位从剩下的6个数字中任选3个进行排列，所以共有，即可以组成720个无重复数字的四位数，A正确；个位从1，3，5选择一个，有种选法；千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法；在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有种选法，则个无重复数字的四位奇数；B正确；3400大的四位数分三类：第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有个，第二类千位是3，百位比4大的数，其它两位任意排，有个，第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有个，根据分类计数原理得比3400大的四位数共有，C不正确；能被25整除的四位数分两类：第一类：形如□□25，共个；第二类：形如□□50，共有个；能被25整除的四位数共有：个，D正确.故选：ABD.11.袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（）A.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是B.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是C.不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是D.不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为，A错误；B选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球，故概率为，B正确；C选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球，分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球，其中前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为，前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为，综上：第三次摸到白球的概率为，C正确；D选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为，D正确.故选：BCD.12.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（）A.当时，平面B.为定值C.的最小值为D.当直线平面时，点的轨迹被以A为球心，为半径的球截得长度为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体的棱长为2，所以，，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则,取，则，因为，所以，所以，，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，设点到平面的距离为，则所以，因为点在正方体的面内（含边界）移动，又因为平面平面，所以点到平面的距离为定值，又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，设，，所以，所以，所以，则，故C错误；对于D，连接，由正方体的性质知，，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，因为点在正方体的面内（含边界）移动，当，则平面，则平面，则点轨迹为线段，取中点，连接，而△为等边三角形，则，以A为球心，为半径的球截的长度为，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某厂用甲､乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，而各自的产品中废品率分别为，则该厂这种零件的废品率为__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，这种零件的废品率为.故〖答案〗为：.14.为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染注射1040未注射20300.050.02500103.8415.0246.635则在犯错误的概率最多不超过__________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.参考公式：.〖答案〗0.05〖解析〗补充列联表可得，感染未感染合计注射104050未注册203050合计3070100所以，.所以，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.故〖答案〗为：0.05.15.将边长为的正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为__________.〖答案〗〖解析〗设点在下底面圆周的射影为，连接，则，所以，直线与所成角为或其补角，且，连接、、，则，，所以，，又因为，则为等边三角形，且，因为平面，平面，则，故为等腰直角三角形，故直线与所成角大小为，其正切值为.故〖答案〗为：.16.如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，记这个数列的前项和为，则的值为__________.〖答案〗454〖解析〗根据组合知识可得.故〖答案〗为：454.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，内角所对的边分别为.已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周长为.18.李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；（2）记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.解：（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，，依题意可得解得或（舍去），所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率.（2）由已知可得，的可能值为，，，，，所以，分布列为0123所以，.19.已知数列的前项和为.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.（1）证明：因为，，，即，，即，是1为首项，1为公差的等差数列.（2）解：由（1）知，，，故①，②，两式相减得，，所以.20.如图，在三棱锥中，，平面平面.（1）求异面直线与间的距离；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.解：（1）法一：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面，连接，则，又因为为中点，故，面，故面，在面中，作，则由知为异面直线与间的距离，由，知，即异面直线与间的距离为；法二：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，则，设，且，则，令，则，又，则异面直线与间的距离为；（2）由（1）知平面，可得平面平面，如图，在平面内作，垂足为，则平面，在平面内作，垂足为，联结，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以故为二面角的平面角，即，设，则，在Rt中，，在Rt中，由知，得，法一：设点到平面的距离为，由，得，即，又，解得，则与平面所成角的正弦值为；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，则，，设平面的法向量为，则由，知，令，则，则与所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值.21.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为正数且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆及直线分别于点和点，且.证明：直线过定点.（1）解：由题知，解得：，所以椭圆.（2）证明：设直线的方程为：，，由，得，由得，设，则，，，射线OP的方程为，由，得；由，得，由，得，即，解得，直线恒过定点.22.已知函数.（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数.解：（1）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.（2）当时，在无零点.当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点.当时，，所以只需考虑在的零点个数.（i）若或，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点.（ii）若，则在单调递增，在单调递减，故当时，取的最大值，最大值为.①若，即在无零点.②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.江苏省连云港市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知，，，，所以.故选：B.2.设随机变量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以根据正态分布曲线特征可得，，即.故选：D.3.某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：代数代码1234总粒数197193201209通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（）A.233 B.234 C.235 D.236〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，.因为回归直线方程经过样本中心，所以，解得，回归直线方程为：，当时，的估计值为：.故选：A.4.若一个正棱台，其上､下底面分别是边长为和的正方形，高为，则该正棱台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据条件，作正棱台图像如下，则其外接球球心在高的延长线上，，，，所以，，由，可得，解得，所以外接球半径即，所以其外接球表面积为.故选：A.5.若4名学生报名参加数学､物理､计算机､航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（）A.18种 B.36种 C.72种 D.144种〖答案〗B〖解析〗因为题意要求恰好航模小组没人报，则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组，则此时有：种情况，然后选择三个小组有：，故满足题意的情况数为：，故选：B.6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．7.被除所得的余数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以被除所得的余数是.故选：C.8.在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点A折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：，，在中，，所以，记，且，则，所以，，因为二面角的大小为，即为向量，的夹角为，，且，所以，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，线段长度的最小值为4.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，令，则，故A正确；对于B，的通项为，所以令可得，故B错误；对于C，的通项为，所以当时，即，而，所以令，则，而，故C正确；对于D，令可得，，又因为令，则，所以，故D错误.故选：AC.10.从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，则（）A.可以组成720个无重复数字的四位数B.可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数C.可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数D.可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数〖答案〗ABD〖解析〗首位不能排0，有种排法，后面三位从剩下的6个数字中任选3个进行排列，所以共有，即可以组成720个无重复数字的四位数，A正确；个位从1，3，5选择一个，有种选法；千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法；在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有种选法，则个无重复数字的四位奇数；B正确；3400大的四位数分三类：第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有个，第二类千位是3，百位比4大的数，其它两位任意排，有个，第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有个，根据分类计数原理得比3400大的四位数共有，C不正确；能被25整除的四位数分两类：第一类：形如□□25，共个；第二类：形如□□50，共有个；能被25整除的四位数共有：个，D正确.故选：ABD.11.袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（）A.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是B.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是C.不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是D.不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为，A错误；B选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球，故概率为，B正确；C选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球，分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球，其中前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为，前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为，综上：第三次摸到白球的概率为，C正确；D选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为，D正确.故选：BCD.12.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（）A.当时，平面B.为定值C.的最小值为D.当直线平面时，点的轨迹被以A为球心，为半径的球截得长度为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体的棱长为2，所以，，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则,取，则，因为，所以，所以，，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，设点到平面的距离为，则所以，因为点在正方体的面内（含边界）移动，又因为平面平面，所以点到平面的距离为定值，又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，设，，所以，所以，所以，则，故C错误；对于D，连接，由正方体的性质知，，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，因为点在正方体的面内（含边界）移动，当，则平面，则平面，则点轨迹为线段，取中点，连接，而△为等边三角形，则，以A为球心，为半径的球截的长度为，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某厂用甲､乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，而各自的产品中废品率分别为，则该厂这种零件的废品率为__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，这种零件的废品率为.故〖答案〗为：.14.为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染注射1040未注射20300.050.02500103.8415.0246.635则在犯错误的概率最多不超过__________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.参考公式：.〖答案〗0.05〖解析〗补充列联表可得，感染未感染合计注射104050未注册203050合计3070100所以，.所以，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.故〖答案〗为：0.05.15.将边长为的正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为__________.〖答案〗〖解析〗设点在下底面圆周的射影为，连接，则，所以，直线与所成角为或其补角，且，连接、、，则，，所以，，又因为，则为等边三角形，且，因为平面，平面，则，故为等腰直角三角形，故直线与所成角大小为，其正切值为.故〖答案〗为：.16.如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，记这个数列的前项和为，则的值为__________.〖答案〗454〖解析〗根据组合知识可得.故〖答案〗为：454.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，内角所对的边分别为.已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周长为.18.李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；（2）记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.解：（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，，依题意可得解得或（舍去），所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率.（2）由已知可得，的可能值为，，，，，所以，分布列为0123所以，