2022-2023学年湖南省岳阳市湘阴县高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘阴县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题注意：1、本试卷共7页，满分150分.考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置.2、选择题〖答案〗用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗；不能答在试题卷上.3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，〖答案〗必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的〖答案〗无效；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则该复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因为复数在复平面内对应的坐标是，该点位于第四象限.故选：D.2.设平面向量，点，则点B的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设B点坐标为，所以，解得，所以B的坐标为.故选：B3.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）A.35 B.45 C.54 D.63〖答案〗C〖解析〗∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝2154.故选：C.4.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖概率为．那么以下理解正确的是（）A.某人抽奖100次，一定能中奖10次 B.某人消费1000元，至少能中奖1次C某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖〖答案〗D〖解析〗中奖的概率为，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有中奖的可能性，故D选项正确故选：D5.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设系统和系统在任意时刻发生故障的事件分别为M和N.方法一：小区处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为.故选：A.方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为.故选：A.6.如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（）A.四边形是矩形 B.四边形是正方形C. D.平面平面〖答案〗A〖解析〗在长方形中，因为点，分别为，的中点，所以，.在长方体中，有平面，又，所以平面，又平面，所以.在长方形中，同理可得，.所以，，又，所以四边形是矩形.故选项A正确，选项B错误.若，则由知，，又点，分别为，的中点，所以，所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误.由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误.故选：A.7.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是（）A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i〖答案〗D〖解析〗由题意可得，在平行四边形中，则，所以对应的复数为，故选D．8.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EF过点O，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，，，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角.易知平面，AC在面ABCD内，则，所以是直角三角形，又，，所以，所以.在中，，同理，在中，，故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的虚部是4C.是纯虚数 D.复数的共轭复数为〖答案〗AD〖解析〗复数，所以，故A正确；虚部为，故B不正确；，为实数，故C不正确；复数的共轭复数是，故D正确.故选：AD.10.空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量指数的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日〖答案〗ABD〖解析〗根据题图分析数据，对选项逐一判断．对于A，1日，3日，12日，13日在区间内，共4天空气质量指数为“良”，故A正确；对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确；对于C，十四天的空气质量指数从小到大排序为：25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220中位数为，故C错误；对于D，方差小说明了个数据的波动较小，由题图可知连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日，故D正确．故选：ABD．11.已知复数，复数，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（）.A.B.C.若，则，D.若，，且，则锐角的值为〖答案〗ACD〖解析〗由题意知：，故，，故A正确，B错误；若，即，则，，故C正确；若，，且，即，即，因为为锐角，故，D正确，故选：ACD12.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A.直线与平面所成的角等于B.点到面的距离为C.两条异面直线和所成的角为D.二面角的平面角的余弦值为〖答案〗AB〖解析〗如图，取的中点，连接，易证平面，所以是直线与平面所成的角为，故正确；点到平面的距离为的长度为，故正确；易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误；连接，由，所以，又，所以为二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故错误．故选：．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________.〖答案〗或〖解析〗设，则由，得或.若，则.所以解得故.若，同理可解得故.综上，点的坐标为或.故〖答案〗为或.14.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为__________________.数据70≤≤7980≤≤8990≤≤99个数8001300900平均数78.18591.9〖答案〗85.23〖解析〗这3000个数据的平均数为=85.23，用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故〖答案〗为：85.23.15.如图，四边形中，、分别是以为底的等腰三角形，其中，则_________．〖答案〗〖解析〗∵、分别是以为底的等腰三角形，∴设，则在中，利用余弦定理可得：在中，利用余弦定理可得：∵∴，即∴，即在中，∴在中，∴故〖答案〗为：16.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于____________，该“堑堵”的外接球的表面积为____________.〖答案〗①.②.〖解析〗如图，分别取的中点E，F，G，连接FG，EP，EF，，则且．在直三棱柱中，易知且，∵E，P分别为的中点，且，∴四边形为平行四边形，且，，目，四点共面．∵E，F分别为的中点，，又平面，平面，平面．，且F，G分别为的中点，，，∴四边形即为符合要求的等腰梯形．当不是的中点时，不平行于平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个．取的中点，连接DF、DG，∵，，且点为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，可得，同理可得，、、均为等边三角形．．将三棱柱补成正方体，则其外接球即为正方体的外接球，故正方体的体对角线为外接球的一条直径，∴外接球的直径，故球的表面积为．故〖答案〗为：，四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在四边形ABCD中，，，，且，.（1）求实数的值；（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）过A作，垂足为O，则，，，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则，设，，，∴，，∴，∴当时，取得最小值.18.某校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率､该校女生支持方案一的概率；（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率.解：（1）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（2）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，①仅有两个男生支持方案一，②仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：；19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，且平面平面.（1）若E，F分别为棱，中点，求证：；（2）若直线与所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.（1）证明：（1）取中点为Q，连结，，因为E为棱上的中点，所以，.因为F为棱上的中点，所以.又因为为正方形，所以，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面所以平面，因为平面，所以，所以.（2）解：因为，所以即为直线与的所成角，因为直线与所成角的正弦值为，所以.因为平面，平面PAD，所以，所以在中，.设，（），则.取中点为O，中点为N，连接，，.因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，，平面，所以平面，所以在平面中的射影为，因为O，N分别为，中点，所以在正方形中，所以，则即为二面角的平面角.因为在，，，所以在中，，，所以，即二面角的余弦值为.20.某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为元，所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于，故所求频率为.（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.若选择批发2小箱，则批发成本为元，当日销售量为48件时，当日利润为元；当日销售量为80件时，当日利润为；当日销量为128件或160件时，当日利润为元.所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.若选择批发2大箱，则批发成本为元，当日销售量为48件时，当日利润为元；当日销售量为80件时，当日利润为元；当日销量为128件时，当日利润为元.当日销售量为160件时，当日利润为元.所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.因为，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.21.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答问题.在中，内角、、的对边分别为、、，且_________.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.解：（1）选①，由及正弦定理可得，、，则，所以，，故；选②，由及正弦定理可得，因为，则，所以，，故；选③，由及正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，故.（2）因为为锐角三角形，且，则，可得，，由正弦定理，则，所以，.22.插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑､盆景､造园等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一.为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识，增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园､花香溢校园”为主题的校园插花比赛.比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由名专业教师､名非专业教师以及名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示.分数区间观赏值（1）估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；（2）从位评委中随机抽取人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率；（3）若该校拟从甲､乙两组插花作品中选出一个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组？请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).解：（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为，在最后三个分数区间的频率之和为，故在内，且，解得；（2）设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件，“对乙组插花作品的观赏值为”为事件，“对乙组插花作品的观赏值为为事件，“对甲组插花作品的观赏值为”为事件，“对甲组插花作品的观赏值为”为事件，则：，，由频数分布表得，，，因为事件与相互独立，其中､，､，所以，所以评委对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高的概率为；（3）由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为：，由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得：分数区间频数频率所以乙组插花作品的最后得分约为：，因为，所以该校会选择甲组插花作品.湖南省湘阴县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题注意：1、本试卷共7页，满分150分.考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置.2、选择题〖答案〗用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗；不能答在试题卷上.3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，〖答案〗必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的〖答案〗无效；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则该复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因为复数在复平面内对应的坐标是，该点位于第四象限.故选：D.2.设平面向量，点，则点B的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设B点坐标为，所以，解得，所以B的坐标为.故选：B3.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）A.35 B.45 C.54 D.63〖答案〗C〖解析〗∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝2154.故选：C.4.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖概率为．那么以下理解正确的是（）A.某人抽奖100次，一定能中奖10次 B.某人消费1000元，至少能中奖1次C某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖〖答案〗D〖解析〗中奖的概率为，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有中奖的可能性，故D选项正确故选：D5.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设系统和系统在任意时刻发生故障的事件分别为M和N.方法一：小区处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为.故选：A.方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为.故选：A.6.如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（）A.四边形是矩形 B.四边形是正方形C. D.平面平面〖答案〗A〖解析〗在长方形中，因为点，分别为，的中点，所以，.在长方体中，有平面，又，所以平面，又平面，所以.在长方形中，同理可得，.所以，，又，所以四边形是矩形.故选项A正确，选项B错误.若，则由知，，又点，分别为，的中点，所以，所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误.由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误.故选：A.7.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是（）A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i〖答案〗D〖解析〗由题意可得，在平行四边形中，则，所以对应的复数为，故选D．8.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EF过点O，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，，，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角.易知平面，AC在面ABCD内，则，所以是直角三角形，又，，所以，所以.在中，，同理，在中，，故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的虚部是4C.是纯虚数 D.复数的共轭复数为〖答案〗AD〖解析〗复数，所以，故A正确；虚部为，故B不正确；，为实数，故C不正确；复数的共轭复数是，故D正确.故选：AD.10.空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量指数的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日〖答案〗ABD〖解析〗根据题图分析数据，对选项逐一判断．对于A，1日，3日，12日，13日在区间内，共4天空气质量指数为“良”，故A正确；对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确；对于C，十四天的空气质量指数从小到大排序为：25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220中位数为，故C错误；对于D，方差小说明了个数据的波动较小，由题图可知连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日，故D正确．故选：ABD．11.已知复数，复数，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（）.A.B.C.若，则，D.若，，且，则锐角的值为〖答案〗ACD〖解析〗由题意知：，故，，故A正确，B错误；若，即，则，，故C正确；若，，且，即，即，因为为锐角，故，D正确，故选：ACD12.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A.直线与平面所成的角等于B.点到面的距离为C.两条异面直线和所成的角为D.二面角的平面角的余弦值为〖答案〗AB〖解析〗如图，取的中点，连接，易证平面，所以是直线与平面所成的角为，故正确；点到平面的距离为的长度为，故正确；易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误；连接，由，所以，又，所以为二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故错误．故选：．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________.〖答案〗或〖解析〗设，则由，得或.若，则.所以解得故.若，同理可解得故.综上，点的坐标为或.故〖答案〗为或.14.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为__________________.数据70≤≤7980≤≤8990≤≤99个数8001300900平均数78.18591.9〖答案〗85.23〖解析〗这3000个数据的平均数为=85.23，用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故〖答案〗为：85.23.15.如图，四边形中，、分别是以为底的等腰三角形，其中，则_________．〖答案〗〖解析〗∵、分别是以为底的等腰三角形，∴设，则在中，利用余弦定理可得：在中，利用余弦定理可得：∵∴，即∴，即在中，∴在中，∴故〖答案〗为：16.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于____________，该“堑堵”的外接球的表面积为____________.〖答案〗①.②.〖解析〗如图，分别取的中点E，F，G，连接FG，EP，EF，，则且．在直三棱柱中，易知且，∵E，P分别为的中点，且，∴四边形为平行四边形，且，，目，四点共面．∵E，F分别为的中点，，又平面，平面，平面．，且F，G分别为的中点，，，∴四边形即为符合要求的等腰梯形．当不是的中点时，不平行于平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个．取的中点，连接DF、DG，∵，，且点为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，可得，同理可得，、、均为等边三角形．．将三棱柱补成正方体，则其外接球即为正方体的外接球，故正方体的体对角线为外接球的一条直径，∴外接球的直径，故球的表面积为．故〖答案〗为：，四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在四边形ABCD中，，，，且，.（1）求实数的值；（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）过A作，垂足为O，则，，，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则，设，，，∴，，∴，∴当时，取得最小值.18.某校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率､该校女生支持方案一的概率；（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率.解：（1）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（2）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，①仅有两个男生支持方案一，②仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：；19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，且平面平面.（1）若E，F分别为棱，中点，求证：；（2）若直线与所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.（1）证明：（1）取中点为Q，连结，，因为E为棱上的中点，所以，.因为F为棱上的中点，所以.又因为为正方形，所以，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面所以平面，因为平面，所以，所以.（2）解：因为，所以即为直线与的所成角，因为直线与所成角的正弦值为，所以.因为平面，平面PAD，所以，所以在中，.设，（），则.取中点为O，中点为N，连接，，.因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，，平面，所以平面，所以在平面中的射影为，因为O，N分别为，中点，所以在正方形中，所以，则即为二面角的平面角.因为在，，，所以在中，，，所以，即二面角的余弦值为.20.某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为元，所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬