2022-2023学年北京市通州区高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将〖答案〗答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合愿目要求的一项．1.已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（）A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上〖答案〗D〖解析〗由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确，若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误，故选：D.2.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对A，当，且同方向时，，故A错误，对B，当，且反方向时，，故B错误，对C，根据向量加法的平行四边形法则，得，故C正确，对D，根据向量减法的三角形法则，得，故D错误，故选：C.3.在中，若．则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗因为,由正弦定理得，所以,即,因为，所以，则，即，故为等腰三角形.故选：A.4.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为.故选：C.5.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（）A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18〖答案〗A〖解析〗由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，又这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为.故选：A.6.某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，则这组数据的第70百分位数是（）A.86 B.85.5 C.85 D.84.5〖答案〗B〖解析〗，故从小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7个数和8个数的平均数得，故选：B.7.下列命题正确的是（）A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面B.两条不平行的直线确定一个平面C.三角形上不同的三个点确定一个平面D.圆上不同的三个点确定一个平面〖答案〗D〖解析〗对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误，对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.故选：D.8.若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，．则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，，则或，异面；或平面与平面相交；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗是直线，，是两个不同平面，若，，则或平面与平面相交，故A错误；若，，则，故B正确；若，，则或，故C错误；若，则与平面相交或或，故D错误.故选:B.10.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图：连接，由正方体性质可知：，因平面，平面，所以平面，同理，,因平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因直线与平面无公共点，点底面上在意一点所以点在上，故最小时，，因正方体的棱长为2，所以三角形为边长为的等边三角形，时，，故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在复数范围内，方程的解为___________．〖答案〗〖解析〗在复数范围内，由方程得，即故〖答案〗为：.12.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.〖答案〗〖解析〗依题意所以方差为.故〖答案〗为.13.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，，当时,有最小值3，当或2时，有最大值为4，的取值范围为.故〖答案〗为：.14.在中，已知，，，则___________，的面积为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗因为，所以，由正弦定理，得，即，则，又，所以；则，又由余弦定理，即有，解得或.当时，，又，则，则，这与矛盾，所以不符合题意，舍去;当时，.故〖答案〗为：；.15.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段的中点．给出下列四个命题：①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥．其中所有正确命题的序号是_________-．〖答案〗②③④〖解析〗因为三棱锥体积为，所以三棱锥体积的最大值为，故①错误；连接，则，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故②正确；设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确；由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知复数满足，且是纯虚数．（1）求及；（2）若，求a和b的值．解：（1）为纯虚数，，且，，，.（2）由（1）知，方程的一根为，则另一根为：，则，解得：，.17.已知，是同一平面内的两个向量，其中，且．（1）若，求的坐标；（2）若，求与夹角．解：（1）设．因为，，所以即又因为，所以．解之得时，或时，，所以或．（2）记与夹角为．因，所以，则，即，所以，又因为，所以．18.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，．（1）求的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率．解：（1）由频率分布直方图可得,,解得;（2）由频率分布直方图可得,，则中位数在之间,设为,则,解得,故中位数为77.5分;（3）评分在对应的频率为0.1,0.2,从评分在和内的居民中共抽取6人,则评分在占2人,设为,评分在占4人,,从6人中选取2人的情况为:,共15种,其中这2人中恰有1人的评分在的情况为:,共8种,故这2人中恰有1人的评分在内的概率为:.19.已知中，．（1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围，解：（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，则，即，，∴.（2）如图，设，则，，在中,根据正弦定理，有，，，设，又，所以在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，，E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：平面PAD；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求三棱锥的体积．条件①：G是棱BC上一点，且；条件②：G是PB的中点；条件③：G是的内心（内切圆圆心）．注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）证明：连接，则与交于点，在中，,均为中点，，平面平面，平面.（2）解：选择条件①平面平面，，又底面ABCD是矩形,，平面，平面，是的三等分点，且，三棱锥的高为，底面底面ABCD，，在中，为中点，，三棱锥的体积为:.选择条件②同条件①得到平面,是PB中点，是PC中点，在中,，三棱锥的高为,底面底面ABCD，，在中,为PC中点，，三棱锥的体积为：.选择条件③同条件①得到平面，设的内切圆与PC边相切于点，则，平面平面，三棱锥的高为GH，在Rt中，，，，，底面底面ABCD，，在中,为PC中点,，三棱锥的体积为：.21.如图，在直三棱柱中，点M在棱AC上，且平面，，，．（1）求证：M是棱AC的中点；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．（1）证明：连接与,两线交于点,为的中点,连接OM,因为平面，平面,平面平面，所以,又在中为的中点,所以M是AC的中点;（2）证明：因为底面平面ABC,所以,又为棱AC的中点,,所以,因为平面,所以平面平面,所以,因为,所以,又,在Rt和Rt中,,所以,即,所以,又平面,所以平面;（3）解：当点为的中点,即时,平面平面证明如下：设的中点为,连接DM,DN,因为DM分别为的中点,所以且,又为的中点,所以且,所以四边形BNDM为平行四边形,故,由（2）知平面,所以平面,又平面,所以平面平面.北京市通州区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将〖答案〗答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合愿目要求的一项．1.已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（）A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上〖答案〗D〖解析〗由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确，若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误，故选：D.2.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对A，当，且同方向时，，故A错误，对B，当，且反方向时，，故B错误，对C，根据向量加法的平行四边形法则，得，故C正确，对D，根据向量减法的三角形法则，得，故D错误，故选：C.3.在中，若．则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗因为,由正弦定理得，所以,即,因为，所以，则，即，故为等腰三角形.故选：A.4.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为.故选：C.5.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（）A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18〖答案〗A〖解析〗由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，又这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为.故选：A.6.某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，则这组数据的第70百分位数是（）A.86 B.85.5 C.85 D.84.5〖答案〗B〖解析〗，故从小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7个数和8个数的平均数得，故选：B.7.下列命题正确的是（）A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面B.两条不平行的直线确定一个平面C.三角形上不同的三个点确定一个平面D.圆上不同的三个点确定一个平面〖答案〗D〖解析〗对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误，对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.故选：D.8.若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，．则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，，则或，异面；或平面与平面相交；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗是直线，，是两个不同平面，若，，则或平面与平面相交，故A错误；若，，则，故B正确；若，，则或，故C错误；若，则与平面相交或或，故D错误.故选:B.10.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图：连接，由正方体性质可知：，因平面，平面，所以平面，同理，,因平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因直线与平面无公共点，点底面上在意一点所以点在上，故最小时，，因正方体的棱长为2，所以三角形为边长为的等边三角形，时，，故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在复数范围内，方程的解为___________．〖答案〗〖解析〗在复数范围内，由方程得，即故〖答案〗为：.12.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.〖答案〗〖解析〗依题意所以方差为.故〖答案〗为.13.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，，当时,有最小值3，当或2时，有最大值为4，的取值范围为.故〖答案〗为：.14.在中，已知，，，则___________，的面积为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗因为，所以，由正弦定理，得，即，则，又，所以；则，又由余弦定理，即有，解得或.当时，，又，则，则，这与矛盾，所以不符合题意，舍去;当时，.故〖答案〗为：；.15.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段的中点．给出下列四个命题：①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥．其中所有正确命题的序号是_________-．〖答案〗②③④〖解析〗因为三棱锥体积为，所以三棱锥体积的最大值为，故①错误；连接，则，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故②正确；设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确；由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知复数满足，且是纯虚数．（1）求及；（2）若，求a和b的值．解：（1）为纯虚数，，且，，，.（2）由（1）知，方程的一根为，则另一根为：，则，解得：，.17.已知，是同一平面内的两个向量，其中，且．（1）若，求的坐标；（2）若，求与夹角．解：（1）设．因为，，所以即又因为，所以．解之得时，或时，，所以或．（2）记与夹角为．因，所以，则，即，所以，又因为，所以．18.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，．（1）求的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率．解：（1）由频率分布直方图可得,,解得;（2）由频率分布直方图可得,，则中位数在之间,设为,则,解得,故中位数为77.5分;（3）评分在对应的频率为0.1,0.2,从评分在和内的居民中共抽取6人,则评分在占2人,设为,评分在占4人,,从6人中选取2人的情况为:,共15种,其中这2人中恰有1人的评分在的情况为:,共8种,故这2人中恰有1人的评分在内的概率为:.19.已知中，．（1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围，解：（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，则，即，，∴.（2）如图，设，则，，在中,根据正弦定理，有，，，设，又，所以在上单调递增，所以，即，所以的