曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分x二x(t)y二y(t)则原式」卩f(x(t),y(t加x'2(t)+y'2(t)dta对弧长的曲线积分Jf(x,y,z)ds=Jf(x(t),y(t),z(t))Jd2x+d2y+d2zL Lx=x(t)若L:<y=y(t)a<t<卩z=z(t)则原式二严f(x(t),y(t),z(t))、：'(x'(t))2x+(y'(t))2+(z'(t))2dta常见的参数方程为：Ix=x

y=y(x)1y=y(x)特别的：Jex2+y2ds=Je2ds=e2Jds=e2.2兀L为上半圆周x2+y2=2(y>0)二、对坐标的曲线积分Jp(x,y)dx+q(x,y)dyL\x=x(t) c计算方法一：若L:< 起点处t=Q，终点处t=P则Iy=y(t)原式二卩p(x(t),y(t))x'(t)dt+q(x(t),y(t))y'(t)dta对坐标的曲线积分JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzLx=x(t)L:<y=y(t)起点处t=a，终点处t=P贝ijz=z(t)二JPP(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dta计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。JP(参数方程。JP(x,y)dx+q(x,yP(x,y)dx+q(x,y)dyL1=±JJ=±JJ(翌-生)dxdy」dxdy 」DP(x,y)dx+q(x,y)dy如图：三、格林公式 xdy—Jp(x,y)dx+q(x,y)dy其中L为D的正向边界TOC\o"1-5"\h\zox oy LD特别地：当单—时，积分与路径无关,ox oy且J(y2)p(x,y)dx+q(x,y)dy=Jx2p(x,y)dx+Jy2q(x,y)dy(x1,y1) x1 1 y1 2dQdPP(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y)是某个函数的全微分o =—dxoy注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。四、对面积的曲面积分TOC\o"1-5"\h\z1、当 曲 面z—f(x,y)JJ卩(x,y,z)ds—JJ卩(x,y,f(x,y)\.;1+f2+f2dxdyx y为 Dxy2、 当 曲y—f(x,z)JL(x,y,z)ds—JJ卩(x,f(x,z),z\：'1+f2+f2dxdzx z工 Dxz3、3、x—f(y,z)JJ卩(x,y,z)ds—JJP(f(y,z),y,z)J1+f2+f2dydzyzDyzDyz特别的：JJds-工面积。JJe、x2+y2+z2ds—JJe2ds—e2JJds—e22兀r2工为上半球面x2+y2+z2=2(z>0)五、对坐标的曲面积分1、xy，且IJR(x,y,z)dxdy中，工只能为z=f(x,y)，它在xoy1、xy，且外法向量与Z轴正向的夹角为锐角，则原式=JJR(x,y,f(x,y))dxdy，否则为负；2、JJQ(x,y,z)dzdx中，工只能为y=f(x,z)，它在xoz面的投影为D，且xz外法向量与Y轴正向的夹角为锐角，则原式=JJR(x,f(x,z),z)dxdz，否则为负；艮JJP(x,y,z)dydz中，工只能为x=f(y,z)，它在yoz面的投影为D，且外法向yz量与久轴正向的夹角为锐角，则原式=JJR(f(y,z),y,z)dydz，否则为负;D计算方法：JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx=JJ,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx工+工］)dv-JJp(y,z))dv-JJp(y,z)dydz+q(xy,z)dzdx+r(x,y,z)dxdyoxdydzTOC\o"1-5"\h\zO 工1注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。六、高斯公式UPdydz+