概率论与数理统计：概率空间

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分

2课程安排答疑：每周二、四中午12：30－－13：30

任课教师:教学内容:一至八章部分内容课程特点：1.应用性2.抽象性3.趣味性3课堂纪律：作业：每周四。准备两本练习本，题号请写完整，如第三章第12题，题号就写3.12考试:1.第十五周周末2.难度大于等于作业题水平

3.卷面80%，平时20%(出勤+作业)41.确定性现象和不确定性现象.第一章概率空间前言3.概率论简史.概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.5随机试验(E):(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果.举例:

E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.

E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.第一节随机事件及其运算

E4:观察某商店某天的顾客数.6二.样本空间与随机事件(一)样本空间:定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω。样本空间的元素称为样本点，用表示。注E2和E3同是抛一枚硬币三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样.例子：写出E1～E5的样本空间。7样本空间的分类:(1).离散样本空间:样本点为有限多个或可列多个.(2).无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.8(二)随机事件

定义样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,用A,B,C….来表示.基本事件:复合事件:必然事件:不可能事件：由一个样本点组成的单点集.如:{H},{T}.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.样本空间Ω是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。空集φ不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。事件发生:在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。9（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:ABΩ

若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作A

B.若A

B且AB,即A=B,则称A与B相等.(2)设A,B,C为任意三个事件,事件间的包含关系有下列性质:(a)AS;(b)AA(自反性);(c)若AB且BC,则AC(传递性);(d)若AB且BA,则A=B(反对称性).10BAΩ2.和事件:113.积事件：类似地,事件为可列个事件A1,A2,...的积事件.BAΩ事件A

B={x|x

A且x

B}称A与B的积，即事件A与B同时发生.A

B可简记为AB.12事件A-B={x|x

A且x

B}称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.显然:A-A=,A-=A,A-Ω

=ABΩ4.差事件:13AB4.事件的互不相容(互斥):(1)基本事件是两两互不相容的,即样本点是互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.145.对立事件(逆事件)：ΩAB15(1)若A,B二事件互为对立事件,则A,B必互不相容,但反之不真.(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，167.事件的运算律:交换律:结合律:分配律：

对偶律:可推广至任意有限多个乃至可列多个的情形17例1.设A,B,C为任意三个事件,试用A,B,C表示下列各事件：(1)A发生但B与C不发生(H1);(2)A和B都发生,但C不发生(H2);(3)三个事件中恰有一个发生(H3);(4)三个事件中恰有两个发生(H4);(5)三个事件都发生(H5);(6)三个事件至少有一个发生(H6);(7)三个事件都不发生(H7);(8)三个事件中至少有两个发生(H8);(9)三个事件中不多于一个发生(H9);(0)三个事件中不多于两个事件发生(H0).18(一)频率1.在相同的条件下,共进行了n次试验,事件A发生的次数nA,称为A的频数,nA/n称为事件A发生的频率,记为fn(A).第二节概率的定义及性质19频率的特性:波动性和稳定性20问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？设想当n－>∞时,fn(A)没有波动.答案：不能！事件发生的可能性大小是随机事件的一种固有属性，客观存在，不以人的意志为转移，只与实验本身有关，因而是可以度量的。21（二）概率的公理化定义1.事件域22232.概率的定义243.概率的性质：一般地有:

P(B-A)=P(B)-P(AB).

25推广2627推论：概率的可列可加性等价于有限可加性+连续性28例4.设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用p,q,r表示下列事件的概率:

作业：1.13,1.1429一.古典概型（等可能概型）:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.古典概型求概率公式:对于古典概型,样本空间Ω＝{

1,2,…,n},设事件A包含Ω的k个样本点，则事件A的概率定义为第三节古典概型和几何概型30古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间Ω,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成Ω的某个子集.(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.(3)用下列公式计算:加法原理:完成一件工作,有m类方法,而第1类方法有n1

种方法,第2类方法有n2种方法,…,第m类方法有nm种方法,任选一种此工作就完成,那么完成这项工作共有

N=n1+n2+…+nm种不同的方法.乘法原理:完成一件工作,需要m个步骤,而第1步有n1

种方法,第2步有n2种方法,…,第m步有nm种方法,依次完成这m步时这项工作才完成,那么完成这项工作共有N=n1

n2

…

nm种不同的方法.31例1.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种方式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样;求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.例2.袋中有a只黑球和b只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在从中随机摸球a+b次，求第k次摸到黑球的概率？(a)放回抽样;(b)不放回抽样

32例3.若有N件产品,其中有D件次品,现在从中任取n件,求(1)其中恰有k(k≤min{D,n})件次品的概率.(2)恰是最后k件是次品的概率33例4.将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率.(设盒子的容量不限).注生日问题

假定每个人在一年365天的任一天都等可能,随机选取n(小于365)人,他们生日至少有两个相同的概率为:34例5.有10把钥匙，其中只有3把能打开门，今从中任取2把，问门能被打开的概率。35例6.某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二或周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是几乎不可能发生的”.注作业：1.2,1.3，1.536二.几何概型37作业：1.9,1.1038

设试验E的样本空间为Ω,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率问题.例1.将一枚硬币掷两次,观察其出现正反面的情况.设A—“至少有一次正面”,B—“两次掷出同一面”求：A发生的条件下B发生的概率.1.定义:设A,B是两个事件,且P(A)>0,称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.(一)条件概率第四节条件概率392.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：40注当A＝

Ω时,P(B｜Ω)=P(B),条件概率化为无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率的特例.41例2.在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个数码,取后不放回,连取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.42(二)乘法公式:P(AB)>0,则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,设A1,A2,…,An是n个事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,则有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推广43r只红球t只白球○例3.每次任取一只球观察颜色后,放回,再放回a只同色球在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例4.一辆自行车,第一次被撞坏的概率是1/2;若第一次未撞坏,则第二次被撞坏的概率是7/10;若前两次均未撞坏,则第三次被撞坏的概率是9/10.求被撞三次还未坏的概率.44(三)全概率公式和贝叶斯公式:1.样本空间的划分B1B2B3...Bn注(1)若B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,…,Bn

中必有一个且仅有一个发生.452.全概率公式:称为全概率公式.例5:男性中有5%是弱视,女性中有0.25%是弱视.今从男女相等的人群中随机的挑选一人,问此人是弱视的概率.反问:已知此人是弱视,问此人是男性的概率.463.贝叶斯公式:例6:当机器调整良好时,产品合格率是90%;发生故障时,合格率为30%.每天早上开动机器时,机器良好的概率时75%.求:已知某天早上第一件产品合格时,机器调整好的概率是多少?作业：1.16,1.17,1.18,1.2047利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找出样本空间的一个划分,即完备事件组B1,…,Bn.说明其要点为：(1)事件A的发生必须伴随着n个互不相容的事件B1,B2,...,Bn之一发生,求A的概率就可用全概率公式计算.(2)如果我们已知事件A发生了,求事件Bi(i=1,2,…,n)的概率,则用贝叶斯公式.即用贝叶斯公式所计算的是条件概率P(Bi|A),i=1,2,…,n.48设A,B是试验E的两事件,当P(A)>0,可以定义P(B|A).一般地,P(B|A)≠P(B),但当A的发生对B的发生的概率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).第五节独立性491.定义:设A,B是两事件,如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.由定义可知:

零概率、1概率事件与任何事件都是相互独立的.2.定义推广:设A1,A2,…,An是任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这n个事件两两独立.如果对于任意的k(k≤n),任意的1≤i1<i2<…<ik≤n都有:P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),则称这n个事件相互独立.50有关结论:说明在实际问题中,我们往往根据实际意义而非定义来判断独立性.3.定理:设A,B是两事件,且P(A)>0,则A,B相互独立的充要条件是:P(B|A)=P(B).51例.100件乐器,验收方案是从中任取3件测试(相互独立的),3件测试后都认为音色纯则接收这批乐器,测试情况如下: