第三章同步发电机的基本方程

第3章同步发电机的基本方程

3.1基本前提3.2同步发电机的原始方程3.3d、q、0坐标系的同步电机方程※※

3.4同步电机的常用标幺制3.5基本方程的拉氏运算形式3.6同步电机的对称稳态运行11/14/20231电力系统分析第三章同步发电机的基本方程同步发电机的回忆复习现代电力工业中，无论是火力发电、水力发电或核能发电，几乎全部采用同步交流发电机。电机的电枢布置在定子上，励磁绕组布置在转子上（旋转式磁极）。同步发电机的转速n(转/min)、系统频率(Hz)之间的关系：n=60f/p11/14/20232电力系统分析第三章同步发电机的基本方程根据转子结构形式隐极式发电机凸极式发电机气隙均匀

气隙不均匀

11/14/20233电力系统分析第三章同步发电机的基本方程本章内容提要在一定前提条件下，提出同步发电机的原始方程；通过派克变换，实现从a、b、c系统到d、q、0坐标系统的转换，得到发电机的基本方程及其标幺制形式；11/14/20234电力系统分析第三章同步发电机的基本方程一、理想同步电机的假设忽略磁路饱和、磁滞、涡流影响，假设电机铁心部分导磁系数为常数。（即线性元件、叠加原理）电机转子在结构上对于纵轴（d）和横轴（q）分别对称。定子的a、b、c三相绕组的空间位置互差120°，完全对称而又相同的三个绕组，气隙中产生正弦分布的磁势。定子绕组沿定子均匀分布，电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应的空载电势是时间的正弦函数。电机的定子和转子具有光滑的表面。（即不考虑定转子槽、通风沟等）Go:正向选取3.1基本前提11/14/20235电力系统分析第三章同步发电机的基本方程同步发电机各绕组轴线正方向示意图（凸极）n11/14/20236电力系统分析第三章同步发电机的基本方程正方向确定的描述：定子三相绕组ax、by、cz中心轴线a、b、c彼此相差120°。c相滞后a相轴线120°，b相轴线滞后a相240°。转子极中心线用d表示，纵（直）轴；极间轴q横（交）轴。按转子旋转方向，q轴滞后d轴90°。励磁绕组ff轴线与d轴重合；阻尼绕组用相互正交短接线路表示；DD纵轴阻尼绕组轴线与d轴重合；QQ横轴阻尼绕组与q轴重合。隐极机转子涡流效应可用阻尼绕组等效，外形不同，凸极机特例。Ψ正方向——i正方向——轴线正方向11/14/20237电力系统分析第三章同步发电机的基本方程二、假定正向的选取

定子回路定子电流的正方向——绕组中性点流向端点的方向各相感应电势的正方向与相电流的相同向负荷侧看，电压降落方向与相电流正向一致。转子各个绕组感应电势的正方向与本绕组电流的正方向相同向励磁绕组提供正向励磁电流的外加励磁电压是正的两个阻尼回路的外加电压为零Go:正向选取11/14/20238电力系统分析第三章同步发电机的基本方程同步发电机的回路图转子定子efeDeQeaeceb11/14/20239电力系统分析第三章同步发电机的基本方程3.2同步发电机的原始方程

一、电势方程和磁链方程

根据规定的正方向，定子和转子各回路的矩阵电势方程：v：各绕组端电压；i:各绕组电流；r:定子每相绕组电阻；ψ:各绕组的总磁链；:磁链对时间的导数。定转11/14/202310电力系统分析第三章同步发电机的基本方程rs:定子电阻矩阵rR:转子电阻矩阵各绕组的磁链方程矩阵形式Laa:绕组a的自感系数Lab:绕组a和绕组b之间的互感系数11/14/202311电力系统分析第三章同步发电机的基本方程二、电感系数

定子绕组自感系数LaaLbbLcc

定子绕组间互感系数Lab=

LbaLab=

LbaLab=

Lba转子绕组自感系数Lff

=LfLDD=LDLQQ=LQ转子绕组间互感系数LfD

=

LDfLfQ

=

LQfLDQ=

LQD定转子绕组间互感系数Laf

=

Lfa

Lbf

=

Lfb

Lcf=

LfcLaD

=

LDa

LbD

=

LDb

LcD

=

LDcLaQ

=

LQaLbQ

=

LQbLcQ

=

LQc11/14/202312电力系统分析第三章同步发电机的基本方程二、电感系数

1．定子各相绕组的自感系数a相为例a绕组有电流iaFa＝ωaiaωa为a相绕组的等效匝数λad和λaq分别表示沿d轴和q轴方向气隙磁通路径的磁导Fad轴分量Facosαq轴分量Fasinα定子绕组漏磁通λsσ：漏磁通路径的磁导αω11/14/202313电力系统分析第三章同步发电机的基本方程电流ia产生的与a相绕组交链的磁链

Laal0l2Go：定子绕组的自感11/14/202314电力系统分析第三章同步发电机的基本方程α＝0°、180°a相轴线和d轴重合，只有很小气隙，磁路磁阻最小，磁导最大→Laa最大α＝90°、270°a相轴线和d轴垂直，气隙最大，磁路磁阻最大，磁导最小→Laa最小Laa是转子位置角α的周期偶函数，Laa(α)＝

Laa(-α)T＝πLaa随α角的变化还有种思路解释Laa(更简单)Go：定子绕组的自感11/14/202315电力系统分析第三章同步发电机的基本方程Laa是周期为π的偶函数，按偶函数分解傅氏级数（只有余弦项，变化周期为π，只有偶函数）根据假设，定子绕组在空间产生正弦分布磁动势（不计谐波，自感也是正弦形式，忽略四次及以上分量）还有种思路解释Laa(更简单)11/14/202316电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子绕组的自感Laal0l2第二种思路第一种思路11/14/202317电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子三相绕组对称，可得b、c相：注意：＝l011/14/202318电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2．定子绕组间的互感系数

a相电流产生交链于b相绕组的磁链定子绕组的互感11/14/202319电力系统分析第三章同步发电机的基本方程ωa=ωb=ωm0m2Lab11/14/202320电力系统分析第三章同步发电机的基本方程Lab随α角的变化α＝－30°、150°a相、b相耦合最紧，磁路磁阻最小互感最大，磁导最大→Lab最大α＝60°、240°a相、b相，磁路磁阻最大，磁导最小→Lab最小Lab是转子位置角(α＋30°)的周期偶函数T＝π定子绕组的互感还有种思路解释Lab

11/14/202321电力系统分析第三章同步发电机的基本方程Lab是周期为π的偶函数，按偶函数分解傅氏级数，根据假设，定子绕组在空间产生正弦分布磁动势。11/14/202322电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子绕组间的电感m0m2LabGo：第二种思路Go：第一种思路11/14/202323电力系统分析第三章同步发电机的基本方程同理注意：11/14/202324电力系统分析第三章同步发电机的基本方程3．转子上各绕组的自感系数和互感系数

1)转子各绕组的自感系数Lff、LDD和LQQ转子绕组电流产生的磁通(凸极机、隐极机)，由于磁路的磁导总是不变，因此转子各绕组的自感系数都是常数记为Lf、LD和LQ

以励磁绕组为例，对本绕组产生的磁链为：wf——等效匝数if——绕组电流λσf——励磁绕组漏磁磁导11/14/202325电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2)转子各绕组间的互感系数为常数两个纵轴绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）之间的互感系数

LfD=LDf=常数转子的纵轴绕组f、D和横轴绕组Q的轴线互相垂直，它们之间的互感系数为零即LfQ=LQf=LDQ=LQD=011/14/202326电力系统分析第三章同步发电机的基本方程4．定子绕组和转子绕组间的互感系数（1）定子绕组与励磁绕组间的互感系数：以励磁绕组与定子a相绕组间的互感为例，当励磁绕组有电流if时，其对a相绕组产生的互感磁链。a相d轴α11/14/202327电力系统分析第三章同步发电机的基本方程ax定子绕组和励磁绕组间互感11/14/202328电力系统分析第三章同步发电机的基本方程另一种解释：α＝0°，d轴和a轴重合，磁导最大，正方向相同，交链磁通有最大的正值，互感最大。α＝90°、270°，d轴和a轴垂直，a相绕组和f绕组交链的磁链正交，互感为零。α＝180°，d轴和a轴反向重合，交链磁通有负的最大值，互感为负的最大值。11/14/202329电力系统分析第三章同步发电机的基本方程（2）定子各相绕组与纵轴阻尼绕组间的互感系数

LaD＝LDa＝maDcosαLbD＝LDb＝maDcos(α-120°)

LcD＝LDc＝maDcos(α+120°)

（3）转子横轴落后纵轴90°,定子绕组和横轴阻尼绕组间的互感系数为：

LaQ＝LQa＝maQsinα

LbQ＝LQb＝maQsin(α-120°)

LcQ＝LQc＝maQsin(α+120°)11/14/202330电力系统分析第三章同步发电机的基本方程小节在磁链方程中许多电感系数都随转子角α而周期变化。转子角α是时间的函数。自感系数和互感系数随时间而周期变化。即式3-1、3-3为变系数的微分方程，求解发电机的运行状态十分不便。美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标变换的方法，将a、b、c坐标系的量转换为另一个坐标系统上的量，即派克变换，将变系数的微分方程变换成常系数微分方程，然后求解。11/14/202331电力系统分析第三章同步发电机的基本方程3.3d、q、0坐标系的同步电机方程一、派克变换和d、q、0系统磁链方程式中出现变系数（特别是凸极）转子绕组相对于定子绕组旋转；转子不对称，仅对d、q轴对称。造成定、转子绕组间互感，定子自、互感周期性变化。仅有转子绕组自感和转子绕组间互感为常数。电压、磁链原始方程很难求解。11/14/202332电力系统分析第三章同步发电机的基本方程1、派克变换PARK定子a,b,c三相绕组对转子的影响可考虑为其对转子d,q轴的影响之效应和，为此我们引入一种数学变换，即：派克变换。从数学角度考虑，派克变换是一种线性变换；从物理意义上理解，它将观察者的角度从静止的定子绕组转移到随转子一同旋转的转子上→→定子绕组自、互感，定、转子绕组间互感变成常数，简化同步电机的原始方程。11/14/202333电力系统分析第三章同步发电机的基本方程图3-6定子电流通用相量电枢磁势幅值不变，转速恒定，对于转子相对静止。用一个以同步转速旋转的矢量来表示。定子电流用一个同步旋转的通用相量Ì表示（它对于定子各相绕组轴线的投影即是各相电流的瞬时值），那么，相量Ì与矢量在任何时刻都同相位，而且在数值上成比例。把电流相量分解为纵轴分量id和横轴分量iq。θ表示电流通用相量同a相绕组轴线的夹角abcdqθαiaiqid11/14/202334电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子三相电流的瞬时值:

ia=Icosθ ib=Icos(θ-120°) ic=Icos(θ+120°)abcdqθαiaiqiq※

总之，掌握park基本思想：定子用通用相量ì代表，ì与转子同步旋转。通用相量分别在a、b、c、d、q轴线上进行正交分解。用通用相量研究这时候的park变换，实现定子坐标转换到旋转的坐标系下。id=Icos(α-θ)iq=Isin(α-θ)11/14/202335电力系统分析第三章同步发电机的基本方程利用下面三角恒等式cos(α-θ)=2/3[cosαcosθ+cos(α-120°)cos(θ-120°)+cos(α+120°)cos(θ+120°)]sin(α-θ)=2/3[sinαcosθ+sin(α-120°)cos(θ-120°)+sin(α+120°)cos(θ+120°)]得

id=2/3[iacosα+ibcos(α-120°)+iccos(α+120°)]iq=2/3[iasinα+ibsin(α-120°)+icsin(α+120°)]

i0=1/3（ia+ib+ic）注：i0为定子电流的零轴分量,在三相不平衡时介绍11/14/202336电力系统分析第三章同步发电机的基本方程将iaibic转换为idiqi0，需要经如下变换:

（3-22）（3-23）P11/14/202337电力系统分析第三章同步发电机的基本方程矩阵P非奇异，因此存在逆阵P-1，即

（3-26）P-111/14/202338电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2、坐标变化定子电流三相对称，用通用相量代替三相对称电流，得到id、iq两个直流分量。 不存在零轴分量i0。11/14/202339电力系统分析第三章同步发电机的基本方程三相平衡系统通过三相不对称电流，ia+ib+ic＝0。id、iq两个变化的分量。ia，ib，ic三相不平衡时，ia+ib+ic≠0，每相中都含有相同的零轴电流i0：i0=1/3（ia+ib+ic）。三相零轴电流大小一样，空间互差120°，其在气隙中的合成磁势为零，只产生与定子绕组相交链的磁通，不产生与转子绕组交链的磁通。ia=i´a+i0ib=i´b+i0ic=i´c+i0i´a+i´b+i´c=0i0=1/3（ia+ib+ic）用通用相量I表示i´a、i´b、i´c，再加上i0，代表定子三相电流。11/14/202340电力系统分析第三章同步发电机的基本方程11/14/202341电力系统分析第三章同步发电机的基本方程P55例题3－1（请结合例题记下来）

a,b,c系统中的直流分量和倍频交流分量对应于d,q,0系统的基频分量，a,b,c系统中的基频交流分量对应于d,q,0系统的直流分量。定子三相对称电流ia，ib，ic旋转磁场ω′ω′=0ia，ib，ic直流ω′=2ωω′=ωia，ib，ic倍频交流ia，ib，ic基频交流id，iq基频交流Park变换Park变换id，iq直流11/14/202342电力系统分析第三章同步发电机的基本方程[例]发电机转速为ω，定子三相电流分别为

试计算经派克变换后的id,iq,i0。

解：（1）依据式（3-23）知d轴和a轴间的夹角为：α0为t=0时刻d轴和a相轴间的夹角因此上式的结果为：三相不平衡11/14/202343电力系统分析第三章同步发电机的基本方程11/14/202344电力系统分析第三章同步发电机的基本方程同理可得定子电压u、磁链Ψ的d、q、0系统的形式：

11/14/202345电力系统分析第三章同步发电机的基本方程二、d、q、0系统的电势方程

定子的电势方程为：全式左乘P，便得：由于上式求导：得到用d、q、0轴分量表示的电势方程式：原始方程：11/14/202346电力系统分析第三章同步发电机的基本方程或者展开写成式中（3-31）11/14/202347电力系统分析第三章同步发电机的基本方程1、dd和qq绕组中的电势包含的两个分量变压器电势：磁链对时间的导数发电机电势：磁链同转速的乘积d、q轴电压方程多了ωψ项——静止abc变到旋转dq轴第三个方程是独立的。11/14/202348电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2、稳态dq0坐标下的方程稳态运行，id、iq

、if为常数。ψd、ψq为常数三相对称i0=0,ψ0=011/14/202349电力系统分析第三章同步发电机的基本方程三、d、q、0系统的磁链方程和电感系数（3-32）（3-33）式（3-32）左乘以P，并利用关系式（3-26），得：通过矩阵演算可得：（3-37）11/14/202350电力系统分析第三章同步发电机的基本方程变换到d、q、0坐标系的磁链方程：

将上述表达式代入（3-34）和（3-35），将其合写为

（3-37）11/14/202351电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子、转子磁链方程展开原三相定子绕组用三个假想绕组来代替。其中零序绕组，在转子空间的合成磁场为零——两个旋转绕组代替原固定三相绕组。11/14/202352电力系统分析第三章同步发电机的基本方程磁链方程的解释1.方程中各项电感系数都变为常数。L－自感m－互感11/14/202353电力系统分析第三章同步发电机的基本方程等效绕组dd交链的磁链Ψd：dd绕组电流id产生的磁链；励磁绕组及d轴阻尼绕组产生的互感磁链。

dd绕组的轴线和d轴一致；d轴向的导磁系数为常数→→Ld为常数；互感系数maf、maD也为常数。同理，Lq为常数，maQ为常数。三相电流中含有相等的零轴电流，三相绕组空间对称分布，三相零轴电流在转子空间的合成磁场为零，不与转子绕组交链——L0为常数。11/14/202354电力系统分析第三章同步发电机的基本方程Ld：包含定子一相绕组的漏自感；两相绕组间的漏互感；穿过气隙的电感系数为一相绕组单独作用时的3/2倍。Lq：为三相电流共同作用下的一种解耦后的一相等值电感系数L0：为一相等值的零轴电感系数，只与漏自感及漏互感有关。纵轴同步电感横轴同步电感零轴电感进一步分析定子磁链方程中的电感11/14/202355电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2.定转子绕组间的互感系数不可逆，磁链方程变得不对称。转子绕组产生的磁链，对等效定子绕组dd、qq的互感系数等效定子绕组dd、qq的电流id、iq产生的磁链对转子绕组的互感系数11/14/202356电力系统分析第三章同步发电机的基本方程不对称的原因：由等效定子绕组电流id、iq产生的磁链对转子绕组的互感磁链等于定子三相电流产生的合成旋转磁势对转子绕组的互感磁链。mfa、mDa

、mQa——定子一相绕组电流对转子互感系数。定子三相合成磁势F，定子一相磁势Fm：F＝(3/2)Fm。磁链守恒，必须将等效绕组dd、qq对转子绕组的互感系数扩大3/2。11/14/202357电力系统分析第三章同步发电机的基本方程习惯上常将d、q、0系统中的电势方程和磁链方程合称为同步电机的基本方程，亦称派克方程。11/14/202358电力系统分析第三章同步发电机的基本方程3.4同步电机的常用标幺制

1、定子侧基准值选取定子额定相电压、定子额定相电流的幅值分别作为电压与电流瞬时值的基准值：额定同步转速为角速度的基值：11/14/202359电力系统分析第三章同步发电机的基本方程确定其他各物理量基值：

发电机三相功率基准值：基准角速度转过一弧度所需的时间11/14/202360电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2、转子侧基准值（书上方法）

转子侧基值选择关键：确定转子和定子绕组基值之间的关系。方法：把同步电动机看作等效变压器——转子基准电流值产生的磁势应同定子三相对称电流产生的磁势相等。或表示定子与转子绕组的有效匝数比。11/14/202361电力系统分析第三章同步发电机的基本方程转子绕组中阻抗、电感、磁链的基准值同可以由前面选定的基准值求出。按这样选出的基准值，在标幺制的磁连方程中，转子对定子和定子对转子的互感系数变为相等。定子与转子绕组作为磁耦合电路，应有相同的功率基准值和时间基准值，于是有：得：11/14/202362电力系统分析第三章同步发电机的基本方程定子、转子各物理量都用标幺值表示的同步电机的基本方程为：11/14/202363电力系统分析第三章同步发电机的基本方程3.6同步电机的对称稳态运行一、基本方程的实用化假定：（1）转子转速不变并等于额定转速。（2）电机纵轴向三个绕组只有一个公共磁通，不存在只同两个绕组交链的漏磁通。（3）略去定子电势方程中的变压器电势，即

（4）定子回路的电阻只在计算定子电流非周期分量衰减时予以计及，而在其他计算中则略去不计。11/14/202364电力系统分析第三章同步发电机的基本方程q轴d轴图3-10各变量实用正