第二章 微积分模型

第五章微积分模型例1：（不允许缺货的存储模型）设某厂生产若干种产品，在轮换生产不同的产品时因更换设备要付生产准备费（与产品数量无关），同一的产量大于需求时因占用仓库要付存储费。已知某一产品日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费每件每日1元，若生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。解：模型假设1．每天的需求量为常数2．每次生产准备费a，每天每件产品存储费为b3.当存储量为零时，Q件产品立即生产出来模型建立:

设存储量为q(t)，当t=0时生产Q件，即q(0)=Q，以需求速率r递减，q(T)=0，如图一个周期内的存储费用为，其中积分等于图中三角形A的面积，一个周期内的准备费用a，则总费用

（）

则每天的平均费用为模型求解:求T使c最小，则

有

最小的总费用为例2（报童的策略）报童每天早上购进报纸零售，晚上将剩余的报纸退回报社，每份报纸的购进价为b元，零售价为a元，退回价为c元，c<b<a，如果每天购进的太少，则不够卖就会少赚钱，如果购进的太多卖不完就会赔钱，试为报童筹划每天应购进多少才能使收益最大。

解：报童应根据需求确定购进的量，而需求是随机的，设报童根据自己每天的卖报经验或其它方式已经知道需求的分布规律，即每天的需求量为r份的概率为（）假设每天购进x份，则卖报的日平均收入相当于每天收入的期望值。设报童每天购进x份的平均收入为，如果需求量，则售出r份，退回份，如果需求量r>x，则x份全部售出，售出一份赚元，退回一份赔元，所以有问题为求x使最大由于需求量r和购进量x都很大，将r看成连续的量更便于分析与计算，则上式转化为计算的导数有令，有由上式可以化为上式说明报童应购进的报纸数量应该使卖不完与卖完的概率之比恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。三级火箭的设计是最优的发射卫星一般用三级火箭，而不是一级、二级或四级，这是为什么呢？下面讨论运载火箭的数学模型来说明这个问题。一．火箭速度的计算设火箭在t时刻的质量为，速度为，在时刻的质量为，质量的变化量为

（1）

质量单调减少，，减少的质量是火箭喷出的气体的质量。设火箭喷出的气体相对于火箭的速度为常数u，则气体相对于地球的速度为。由动量守恒定律（2）

将（1）中代入（2），两边同除以，令有

（3）

解方程得

（4）

其中是火箭的初始质量，是t=0时的速度。说明火箭的速度依赖于气体相对于火箭的速度u以及t时刻和t=0时的质量比。二．火箭质量的计算设火箭质量有三部分组成：载重质量、燃料的质量、结构质量。首先考虑所有燃料全都耗尽，只剩下的质量为，有

（5）一般来说结构质量在中有一定比例，设为将上式代入（5）得当载重质量时，火箭的最大速度为已知目前，若取，有。这样不能用于卫星的发射。必须要改进。三．改进的火箭质量采用多级发射，不断丢弃无用的部分就会提高效率。设在t到时间内丢弃的质量看成1（包括丢弃的结构质量和燃烧的燃料质量），则燃烧掉的燃料质量为，由动量守恒定律将（1）中代入上式，两边同除以，令有解得火箭的最终速度为则理想火箭的最终速度可以达到四．火箭的最优级数设为第i级的燃料加结构质量，为结构质量，则燃料质量为，并假设k和u都一样。下面分析三级火箭的情形初始质量为当第一级燃料用完时，剩余质量为由（4）火箭的速度为此时丢弃一级外壳，启动二级，当第二级燃料用完时，速度当第三级燃料用完时，速度记由上式可知当时，最大，此时最大的载重质量为取，，，则其他情况可类似给出，当u、v、k与前相同，载重1吨，则火箭级数与质量之间的关系为级数12345…质量149776560…飞越北极（CMCM—2000C）今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：

7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。问题重述：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1(北纬31度，东经122度)；A2(北纬36度，东经140度)；A3(北纬53度，西经165度)；A4(北纬62度，西经150度);A5(北纬59度，西经140度)；A6(北纬55度，西经135度)；A7(北纬50度，西经130度)；A8(北纬47度，西经125度)；A9(北纬47度，西经122度)；A10(北纬42度，西经87度)。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释”，分两种情况讨论：1.设地球是半径为6371千米的球体；2.设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。模型的假设1．不考虑地球的自转。2．飞机每经相邻两地的航程，均以曲面上两点间最短距离进行计算。3．飞机飞行中途不需降落加油，同时忽略升降时间。4．开辟新航线后,飞机由北京经过北极上空直飞底特律。数据与符号的说明在以下计算中，北京的坐标为(北纬40度，东经116度)，底特律的坐标为(北纬43度，西经83度)。球面(或椭球面)上的点Ai的直角坐标。球面(或椭球面)上的点Ai的经度与纬度。

t飞机的飞行时间。飞机飞行所节省的时间。

R地球半径。

H飞机飞行高度。旋转椭球体的长半轴与短半轴。模型的建立与求解模型地球是一个半径为R的均匀球体时的情况：先在曲面上建立直角坐标系，以地心为坐标原点O，以赤道平面为xoy平面，以0度经线（即本初子午线）圈所在的平面为xoz平面.那么,我们就可以写出球面的参数方程如下：（，）球面上任意两点（不是一条直径的两个端点）之间的最小距离就是过这两点的大圆（即经过球心的圆）的劣弧长，根据这一方法，我们就可以确定任意两点之间的飞行最短航线，我们可以知道:过A、B两点的大圆的劣弧长即为两点的最短距离，A、B两点的坐标分别为A点坐标B点坐标从A到B的飞行路程从A到B的飞行时间球面上各点向量可表示为:则的出具体结果（单位：公里），“北京”与A1之间的距离是：1113.191576；A1与A2之间的距离是：1758.78953；A2与A3之间的距离是：4624.407995；A3与A4之间的距离是：1339.08267；A4与A5之间的距离是：641.162553；A5与A6之间的距离是：538.594244；A6与A7之间的距离是：651.536106；A7与A8之间的距离是：497.569491；A8与A9之间的距离是：227.843664；A9与A10之间的距离是：2810.85917；A10与“底特律”之间的距离是：331.924046；“北京”直达“底特律”的距离是：10684.861107；“北京”原到达“底特律”的距离是：14535沿飞行原路线飞行总时间t=14.831600(小时)；飞机从北京直达底特律的航行时间t1=10.902912(小时)；飞行节省的时间t=3.928681(小时)。地球是一旋转椭球体情况：假定椭球面上任意两点A、B之间的测地线在通过A、B两点的一个平面内.因此，我们可以写出过直线AB的平面族（含一个参数）.下面就要求出过直线AB的平面与椭球面的交线。可以利用搜索的方法求出交线上A、B两点之间的劣弧长，然后求出弧长的最小值。采用近似计算的方法，运用数学类推的思想，在球体的基础上进行类推,算出旋转椭球面上两点之间的最短距离。假设地球是一个旋转椭球体（赤道半径为6378km，子午线短半轴为6357km）此时A、B是地球上空距地面10km的任意两点，坐标分别为和，在x轴上任取一点，则过A、B两点的椭圆曲线方程为由此方程组可以解的：

则A、B两点之间的弧长求出的最小值，即为AB的曲面最短路线长由于上面的含参椭圆积分没有显式解析表达式，所以我们对模型作如下修正：首先我们观察从北京到底特律中途所经城市的纬度关系，不难发现，各城市的纬度之差都不会超过10°,可以作这样的近似处理，与之间的曲面最短距离可由过的平面上的弧在赤道上的投影弧的长度来近似计算。当每两个相邻城市之间的最短距离算出来以后，就可以得到：原航线的总长度为:14458.4公里；飞行时间为:14.7535小时；飞越北极直达的航线长为：10605.8公里；直达时间为：10.8222小时；节省的时间为：3.9313小时。模型的改进前面我们利用空间曲线积分的思想求出了旋转椭球面上的弧线长,计算所得的结果精度较高,且结果比较符合实际情况.但是对弧长的积分推导计算量大,表达式很复杂.我们可采用“空间压缩比率法”更直观地计算出大致的结果,具体改进方案如下:轴向压缩比率法：当我们假设地球是旋转椭球体时，由题知长半轴a=6371公里≈R(R为地球半径)，而短半轴b=6357公里，与R有差距.若忽视R与a的微小差距，

我们假设椭球是由球体沿短半轴b压缩而得到的，在球面上的原来各点A0、A1、A2、…、A11压缩后在椭球面上，且两点间的纬度差越大,对压缩后的弧长影响也越大，同一纬度上的点，压缩后弧长变化很小，由题目所给的条件可知：A0、A1、A2、…、A11各相邻点的纬度差分别为：8.9°、5°、7°、9°、3°、4°、5°、3°、0°、5°、0.4°，北京与底特律的纬度差为3°，差值都很小。由此可见这里用压缩法是行之有效的。压缩比率为定值假设地球为球体时，已求出了航线的长度,在将这一结果乘以k，则可得到为椭球体时的航线长，下面是利用这一方法得出的结果:分段飞行时：总航线的长度L=14534.96114公里，总的飞行时间t=14.799小时；从北京直达底特律的航线长度L1=10657.6公里，飞行时间t1=10.872522小时，则缩短的路程公里，节省的时间小时。

变分法变分法简介设函数已知，具有二阶连续偏导数，求