第1节 消元法、线性方程组解的判定与解的性质

第四章线性方程组§3克拉默法则§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质§2线性方程组解的结构§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、消元法§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质二、线性方程组解的判定与解的性质1、线性方程组的基本概念2、线性方程组的初等变换3、消元法1、线性方程组解的判定2、线性方程组解的性质§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质(1)一般线性方程组是指形式为(1)是方程的个数;的方程组，其中代表个未知量，称为方程组的系数；称为常数项。一、消元法1、线性方程组的基本概念简记为(2)方程组的解设是个数，如果分别用代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组是（1）的一个解.(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．(3)同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的．(4)方程组的系数矩阵与增广矩阵矩阵称为方程组（1）的系数矩阵

;而矩阵称为方程组（1）的增广矩阵．一般线性方程组是指形式为(1)简记为（1）

简记为（2）

其中A为线性方程组的系数矩阵，

简记为（3）

定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换①用一个非零的数乘某一个方程；②将一个方程的倍数加到另一个方程上；③交换两个方程的位置．性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．倍法消法换法一、消元法2、线性方程组的初等变换如对方程组（1）作第二种初等变换:简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）．（1'）设是方程组（1）的任一解，则所以也是方程组（1'）的解.于是有同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.故方程组（1'）与（1）是同解的.对于另外两种变换可以用类似的方法证得.(1)引例解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程一、消元法3、消元法与线性方程组的初等变换解线性方程组减去第一个方程，得

第二个方程减去第三个方程的2倍，再互换第二、第三两个方程，即得将第三个方程代人第二个方程，然后乘以，得最后将第二、第三个方程代人第一个方程，便可得原方程组的解为或结论消元过程就是对线性方程组反复施行初等变换的过程.(3)线性方程组的消元法不妨设线性方程组(1)的增广矩阵初等行变换其中１°时，方程组(1)无解．２°时，方程组(1)有解.对应方程组与原方程组同解阶梯阵阶梯阵对应方程组为(1')当时，方程组(1)有无穷多解．所以，当时，方程组(1)有唯一解；（这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出.）从而，原方程组(1)与方程组(1')同解注意对线性方程组作消元法相当于对其增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵，同时由这个行阶梯阵能完整重现对应线性方程组.步骤（1）写出增广矩阵；（2）对增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵；（3）由行阶梯阵判断线性方程组解的情况；（4）在有解的情况下，由行阶梯阵写出同解方程组，并求出原方程组的解.

例1.解下列方程组解：对方程组的增广矩阵作初等行变换由知，原方程组有唯一解。由知，原方程组的解为

解：对方程组的增广矩阵作初等行变换由知，原方程组有无限多个解。即得与原方程组同解的方程组由此即得

解：对方程组的增广矩阵作初等行变换从最后一行知，“0=5”为矛盾方程，所以原方程组无解。1.线性方程组解的判定元线性方程组（1）无解二、线性方程组解的判定与解的性质（2）有唯一解定理1（判定定理1）（3）有无限多个解元线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组理论的基本定理定理2（判定定理2）系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即定理3元齐次线性方程组一定有解，且（1）只有零解（2）有非零解例２判断非齐次线性方程组解的情况解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３判断非齐次方程组解的情况解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有无限多个解。所以方程组的解为例4

判断齐次线性方程组解的情况解即得与原方程组同解的方程组故齐次线性方程组有非零解，且有由此即得

练习

判别齐次方程组解的情况解故齐次线性方程组只有零解.元非齐次线性方程组有解非齐次与齐次线性方程组解的关系定理4（关系定理）有唯一解，有无限多个解.元非齐次线性方程组有唯一解只有零解元非齐次线性方程组有无限多个解有非零解()()

例5.判别下列齐次方程组解的情况2.线性方程组解的性质元非齐次线性方程组二、线性方程组解的判定与解的性质也是（2）的解.元齐次线性方程组性质1若是（2）的解，则性质2若是（2）的解，则也是（2）的解.其中（2）称为（1）的对应的导出组。性质4若是（1）的解，则性质5若是（1）的解，是对应（2）性质3若是（2）的解，则也是（2）的解.是对应（2）的解.的解，则