第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子

若a

粒子(电量为2e)

在磁感应强度为B

均匀磁场中沿半径为R

的圆形轨道运动，则a

粒子的德布罗意波长是

h/(2eRB)

。电子经电场加速，加速电势差为150V

(不考虑相对论效应)，其德布罗意波长为l

=

110-10

m。能量和一个电子静止能量相等的光子的频率

n

=

1.241020Hz；波长

l

=

0.00243nm；动量

p

=

2.7310-22kg·m/s。己知：

介子的静能是765MeV，寿命是2.210-24

s。求：它的能量不确定量多大？又占其静能的几分之几？

(DE=

150MeV，DE/E静

=20%)原子处于某激发态的时间为t=10-8s，该激发态能级宽度为多少?

(DE=

5.310-27

J)在杨氏双缝干涉实验中，已知两缝的距离为d，计算电子在通过双缝时横向位置的不确定度。(d/p)

练习题答案[例]

氢原子由原子核和一个核外电子组成。(1)

请利用不确定关系

DxDp

ћ，估算氢原子中的最小能量。(2)

由薛定谔方程解得氢原子基态波函数为，式中a0=0.52910-10m，为玻尔半径。求氢原子处于基态时，电子处于半径为玻尔半径的球面内的概率。解：(1)

解得：时，(2)

在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。

在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。所谓微观粒子的运动规律，也就是波函数Y

随时间和空间的变化规律。Y

满足的方程，薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。

玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的规律？§12.6薛定谔方程(SchrödingerEquation)问题的提出：德拜：问他的学生薛定谔能不能讲一讲

DeBroglie的那篇学位论文呢？

一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。

由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象重新建立。

薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论性的薛定谔方程.。

狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。§12.6.1自由粒子薛定谔方程粒子在x

方向匀速直线运动，E、px

不变一维自由粒子薛定谔方程对x求二阶偏导对t求一阶偏导

——对波函数的运算、变换或操作。：对波函数取复共轭。：算符代表对波函数关于求导；：算符代表对波函数关于求导；算符是通过对波函数的作用关系来定义的。例如算符(operator)：算符代表用乘波函数；

定义能量算符、动量算符、坐标算符

§12.6.2薛定谔方程和哈密顿量若粒子处于势场U(x,t)

中，能量关系为1.势场中一维运动粒子的薛定谔方程算符对应关系：作用于波函数，得薛定谔方程2.一般薛定谔方程若粒子做三维运动将势场中一维粒子的薛定谔方程推广到一般情况引入拉普拉斯算符引入哈密顿算符用哈密顿算符，薛定谔方程可写成

势函数U不显含时间时，薛定谔方程可分离变量求解。哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。

只讨论势函数U与时间无关的情况。(3)|Y

|2

给出粒子在任意时刻在任一位置出现的概率密度。——一般薛定谔方程运用方法：(1)已知粒子质量m

和它在势场中势能函数U

的形式便可列薛定谔方程。

(2)根据初始条件、边界条件求解，得波函数Y。它并非推导所得，是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。

是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理若和是薛定谔方程的解，则也是薛定谔方程的解。

方程中含有虚数i它是一个复数偏微分方程；其解波函数Y

是一个复函数。复数不能直接测量。而|Y

|2

代表概率密度，可测量。3.

定态薛定谔方程若

U=U(x,y,z)，与

t

无关，

自由运动粒子——U=0

氢原子中的电子——如：则

(x,y,z;t)能分成二部分函数的乘积

(x,y,z;t)=

(x,y,z)f(t)例如，对于一维运动的情况，波函数可写成将其代入薛定谔方程，得两边除以

f，得=

E

(常数)可得含变量t

和变量x

的两个方程：

一个是变量为t

的方程

其解为

(A

是待定复常数，E

有能量量纲，以后可知是粒子的总能量)即——(★)——(★)

一个是变量为x

的方程一维定态薛定谔方程此式解为：

(x)即此时，概率密度也可以用|

(x)|2

来表示，即在定态下概率分布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。

(x)

称为定态波函数。对势能函数

U

与时间t

无关的一维定态问题，只需解定态薛定谔方程

(★)式，再利用(★)式即可得波函数

(x,t)。由上面可以看出：——

三维直角坐标系的定态薛定谔方程或称能量本征方程则薛定谔方程的特解为：三维：

如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个波函数，则称这个波函数是该算符的本征函数，这个数值称为该算符的本征值，这个方程称为该算符的本征方程。因此，定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符的本征方程，或能量算符的本征方程。

利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以“自然地”得到微观粒子的重要特征—量子化结果，而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程的结果，已被无数实验所证实。定态薛定谔方程的意义：讨论

对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。[例]一维自由运动微观粒子的波函数。其定态薛定谔方程为——

二阶常系数常微分方程晶体衍射屏自由运动区

U=0电子枪KA令得它有两个特解：——沿+x

方向的平面单色波——沿-

x

方向的平面单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：改写成一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x)；求解两类问题：另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。§12.7一维势场中的粒子§12.7.1一维无限深方势阱中的粒子§12.7.2势垒贯穿§12.7.3简谐振子§12.7.1无限深方势阱中的粒子一、一维无限深势阱金属中自由电子的运动，是被限制在一个有限的范围——

称为束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为

区

区

区(这是一个理想化的模型)二、定态薛定谔方程由于在I、III

两区的U(x)=

，为保证波函数有限的物理条件，显然应

=0；

=

0U(x)=0a0xU(x)=

U(x)=

由于

区的U(x)=0，因此该区薛定谔方程为令则这一方程的通解为波函数标准条件：在x=0

处必须连续。所以

A=0因为B

0，在x=a

处必须连续。所以必有sinka=0，

即ka=np，

I(0)=

II(0)=0，

II(a)=

III(a)=0，其中n

=

1，2，3，…称为量子数。再由归一化条件所以将脚标

去掉，代之以量子数n，最后得无限深势阱内粒子的定态波函数为概率密度为因此

区波函数的形式为若取n=1，能级每一个n

值，对应于一个能级。E

称为能量本征值，n

称为量子数。n

只能取整数结果(1)能量本征值

能量取分立值(能级)

能量量子化

当m、a

大时，量子化

连续

最低能量(零点能)——波动性因为讨论能量是量子化的：在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。零点能：最低的能级是n=1能级；对经典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。若E=0，则但势阱中Dx=a，所以E

不能为零。根据不确定关系，相邻两个能级之差，可见，a

越大DE

越小，当a

大到宏观尺度时，DE

0，能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。称为能量本征波函数。全部波函数为：(3)势阱中粒子的动量为：德布罗意波长为：波长也量子化了，它是势阱长度a

的(1/n)的两倍。粒子的每一个能量本征态对应于一个特定德布罗意波长的驻波。(2)定态波函数为：(4)能级、相应波函数及概率密度与坐标的关系图：0En4321Ena0a0a在波腹处找到粒子的概率最大。n=1n=2n=3n=40a概率密度把坐标原点移至势阱中点，把上面结果中的x

改为x+a/2，就得到新坐标系下的波函数(可能有正负号的差别，但作为波函数是等价的)：

|x|

a/2U(x)

0a/2-a/2x当n

分别为偶数和奇数时，可分别写成：奇宇称态偶宇称态n=1，3，5，…时的波函数是偶函数，这些状态叫做偶宇称态，n=2，4，6，…时的波函数是奇函数，这些态叫做奇宇称态。EOaxE1n=14E1n=29E1n=3Enyn|yn|2EOa/2x-a/2无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度：E1n=14E1n=29E1n=3

波函数本身无物理意义，“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。三、量子力学的结果1.微观粒子在势阱中出现的位置不是均匀分布。概率分布与量子数n

有关。当n

时，曲线成为直线，量子理论过渡到经典理论。2.粒子能量是量子化的(解方程自然得来)

n=1，——基态能量又称为零点能量基态能量不为零。n=2，3，4…En

为本征值方程的解：yn

是与本征值相应的本征函数。[例]一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。从阱宽的一端到离此端点¼阱宽的距离内它出现的概率多大？解：基态波函数为：n=1，粒子从阱宽的一端到离此端点¼阱宽的距离内它出现的概率为[例]粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为a，其波函数求：在0<x<a

区域内，粒子出现概率最大的位置x=?解：按题意，求概率密度曲线的极大值。当，当，当，...0ax图示为：[例]做一维运动的粒子被束缚在0<x<a

的范围内，已知其波函数为。求：(1)常数A；(2)粒子在0

到a/2

区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？解：(1)由归一化条件解得(2)粒子的概率密度为粒子在0

到a/2

区域内出现的概率(3)概率最大的位置应该满足即当时，粒子出现的概率最大。因为0<x<a，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。[例]一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。

(1)试由此求出粒子能量的本征值为：(2)

在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？解：

(1)在势阱中粒子德布罗意波长为

粒子的动量为：