常微分方程的概念

高等院校高职高专类数学课程——一元微积分学应学数学（二）第六章常微分方程脚本编写：金立芸教案制作：金立芸第六章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.微分方程浅谈

1676年詹姆士.贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程。直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程建立以后，立即成为表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。

例如，1846年9月23日，数学家与天文学家合作，通过微分方程求解，发现了一颗有名的新星——冥王星。微分方程浅谈英国数学家怀特曾说过：“数学是一门理性思维的科学，它是研究、了解和知晓现实世界的工具。”

微分方程就显示着数学的这种威力和价值。现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。第一节微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题——求方程的解四、总结在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。

含有未知函数的导数（或微分）的关系式。一、问题的提出设所求曲线的方程为y

y(x),则一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解

上式两端积分

得因为曲线通过点(1

2)

即当x

1时

y

2

所以2

12

C

C=1

因此

所求曲线方程为y

x2

1

(C为任意常数)ò=xdxy2

引例1列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:

设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).引例21、含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。二、微分方程的定义(本章内容)例常微分方程偏微分方程2、常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶微分方程的一般表示形式一阶微分方程n阶微分方程引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1通解:特解:1、微分方程的解

—不含任意常数的解.三、主要问题-----求方程的解初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.常微分方程初始条件问题分歧问题初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:过定点的积分曲线;二阶:常微分方程初始条件也称为初值问题问题柯西例1解微分方程初始条件通解特解例1解微分方程初始条件通解特解有何想法？2、积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。例2解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)四、小