常微分方程2.2线性方程与常数变易法

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§2.2线性方程与常数变易法

11/14/2023常微分方程一阶线性微分方程11/14/2023常微分方程一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法11/14/2023常微分方程代入(1)得积分得注求(1)的通解可直接用公式(3)11/14/2023常微分方程例1

求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得11/14/2023常微分方程故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为11/14/2023常微分方程例2

求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为11/14/2023常微分方程例3

求值问题的解.解:先求原方程的通解11/14/2023常微分方程故所给初值问题的通解为11/14/2023常微分方程形如的方程,称为伯努利方程.解法:11/14/2023常微分方程例4

求方程的通解.解:解以上线性方程得11/14/2023常微分方程例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.

二线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.

11/14/2023常微分方程则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为

解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到

设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:11/14/2023常微分方程故当开关K合上后,电路中电流强度为11/14/2023常微

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