专题09 一次函数和反比例函数中的综合问题（原卷版）

专题9：一次函数和反比例函数中的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】比较大小（取值范围）问题【题型二】求三角形面积问题【题型三】与动点和三角形面积问题【题型四】与线段关系问题【题型五】与最值问题【题型六】与特殊四边形问题二、最新模考题组练【题型一】【典例分析】1．已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝2x+k（k是常数），它们的图象有一个交点A，点A的横坐标是﹣2．（1）求k的值．（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围．【提分秘籍】比较大小一般解题步骤：①求交点：联立方程求出方程组的解；②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；③比大小：图像谁在上方谁就大；④：写出对应区间自变量的取值范围。【变式演练】1．如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）点C的坐标为；（3）根据图象，当﹣3x＞时，写出x的取值范围．2．一次函数y1＝ax+3与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知A点坐标为（1，2）．（1）确定这两个函数的表达式；（2）若y1＞y2，求x的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝（k≠0）与一次函数y2＝ax+4（a≠0）的图象只有一个公共点A（2，2），直线y3＝mx（m≠0）也过点A．（1）求k、a及m的值；（2）结合图象，写出y1＞y2＞y3时x的取值范围．【题型二】【典例分析】1.如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接PD，求△CPD的面积；（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．【提分秘籍】求三角形面积的一般解题步骤：类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高，列式求解即可。底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高。类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=12【变式演练】1.如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，A（﹣2，0），C（1，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）当y1≥y2时，求x的取值范围；（3）连结DO、CO，求△COD的面积．2．如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数图象交于点A（4，3），将直线OA向下平移个单位交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，连接AC，AB．（1）求正比例函数，反比例函数的解析式；（2）求三角形ABC的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数在第一象限的图象交于点C，点D，其中点C的坐标为（1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OD，求△AOD的面积．【题型三】【典例分析】1.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于点和B（﹣2，m﹣18）．（1）根据函数图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是；（2）求反比例函数和一次函数的解析式；（3）点P是x轴上一点，且△APB的面积为15，求点P的坐标．【提分秘籍】动点P的一般解题思路：①根据情况设P的坐标，如在x轴上则设（m,0），若在直线y=kx+b上，则设（m，km+b）；②根据题意列式，注意距离要加绝对值；③分类讨论，写出正确结果。【变式演练】1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y2＝（m≠0）图象交于A（4，1），B（4﹣2a，1﹣a）（a＞0）两点，与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；（3）若点D是y轴上一点，且S△ABD＝6，求点D坐标．2．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标．3．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣6，a），B（﹣2，3），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）填空：a＝，b＝，k＝；（2）观察图象，直接写出在第二象限内，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围；（3）点E在线段AB上，连接CE，DE，若S△ACE＝S△BDE，求点E的坐标．【题型四】【典例分析】1.已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象与反比例函数的图象相交于点P（2，4），与x轴、y轴分别交于点A、点B．（1）若x＞0，求m的值并直接写出一次函数y＝kx+b的值小于反比例函数的值时x的取值范围；（2）若PA＝2AB，求k的值．【提分秘籍】等量关系一般解题思路：利用反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征得到两个点的坐标并用含同一字母的代数式表示，再利用线段等量关系得到关于该字母的方程，然后解方程即可得到这两个点坐标．其他补充：①根据全等求线段等量关系；②根据特殊角（30°，45°，60°）求线段等量关系；③根据相似求线段等量关系；④根据三角函数求线段等量关系；【变式演练】1.如图，一次函数y＝mx+2与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C（1，c）．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y＝交于点P、Q，且PQ＝2QD，求点D的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴交于A（2，0），B（0，﹣8）两点，且与反比例函数y＝图象的其中一个交点为P．（1）求一次函数的解析式；（2）若PB＝3AP，求m的值．3．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．（1）求直线AB的表达式；（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．【题型五】【典例分析】1．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点A（n，1）、点B（﹣1，m）两点．（1）求点A、点B两点的坐标和反比例函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【提分秘籍】最值一般解题思路：类型一将军饮马模型：做对称，连定点，求交点。类型二面积最值问题：用含未知数的代数式表示面积，根据取值范围求最值即可。【变式演练】1．如图，直线AB与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC，BC交于点C（2，3），且AC交y轴于点D，连接BD．（1）当时，求此时点A，B的坐标；（2）当k为何值时，△ABD的面积最大，最大面积是多少？2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，AB＝5，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＜（x＞0）的解集；（3）若点E（a，6）是反比例函数y＝的图象上的点，点P是x轴上的一个动点，直接写出当PC+PE的值最小时点P的坐标．3．如图所示，直线y＝px+q与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣6，1），△AOB的面积为8．（1）求反比例函数的关系式和直线AB的函数关系式；（2）动点P在x轴上运动，当线段PB与PA之差最大时，求点P的坐标．【题型六】【典例分析】1.如图，在▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，1）．AD∥x轴，一次函数y＝x﹣1与反比例函数的图象都经过B（﹣1，a）、D两点．（1）求k的值；（2）求平行四边形ABCD的面积．2.如图，反比例函数y＝的图象与过原点的直线y＝kx（k≠0）相交于点A、B，点A的横坐标是﹣4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若点P的坐标是（1，4），而且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时，写出点C的坐标以及此时的矩形面积；（3）设点Q是动点P关于x轴的对称点，直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，试用数学方法判断四边形PMQN是怎样的特殊四边形．【提分秘籍】一般解题思路：一般面积周长问题：考查特殊四边形的性质，根据性质求解即可。平行四边形存在性问题：应用对角线交点的坐标相等来解题。例：以A（XA,YA）,B（XB,YB）,C（XC,YC）,D（XD,YD）四点为顶点的平行四边形，分类讨论：分别以AB、AC、AD为对角线，列出方程组求解即可。【变式演练】1．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．2．如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象的两个交点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．1．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图象直接写出不等式的解集．2．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．(1)求这个一次函数的解析式；(2)①当双曲线经过点时，求的值；②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．(1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．4．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上．（1）求此反比例函数的解析式；（2）若直线与线段相交，求m的取值范围．5．如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数（x＞0）的图象经过点A（a，3），点B为x轴正半轴上一点，过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求面积的最大值．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．9．如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与x轴相交于点B．(1)求n和k的值．(2)根据图象，当时，求x的取值范围．(3)如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．10．如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标；11．若函数与图像有一个交点A的横坐标是．(1)求k的值，(2)若与图像的另一个交点B的坐标为，求的值．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线与交于点，轴于点E，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、P两点．(1)求m、n的值；(2)求证：；(3)求的值．13．如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标