专题10.1直线的方程(学生版)

专题10.1直线的方程1.直线的倾斜角=1\*GB2⑴定义：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.=2\*GB2⑵范围：直线l倾斜角的范围是0,π).2.直线的斜率=1\*GB2⑴定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母k表示,即k=tanα.倾斜角是90°的直线斜率不存在.

=2\*GB2⑵坐标法：经过两点P1x1,y当x1=x2=3\*GB2⑶直线的方向向量：若P1(x1，y2)，P2(x2，y3.直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式y=kx+b(k为斜率，b不包含垂直于x轴的直线点斜式y-不包含垂直于x轴的直线两点式y不包含与x轴平行或垂直的直线截距式xa+yb=1不包含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0所有直线【重要结论】1.倾斜角α与斜率k之间的函数关系k=tanα,α∈0,=1\*GB2⑴k∈R;=2\*GB2⑵斜率k在区间0,π2和π22.特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为：y=0(2)与y轴重合的直线方程为：x=0(3)经过点(a,b)且平行与x轴的直线方程为：y(4)经过点(a,b)且平行与y轴的直线方程为：x=a(5)经过原点且斜率为k的直线方程为：y=kx.4.两条直线的位置关系斜截式一般式方程lll1kAl1kAl1k1=A1Bl1k1=A1B5.两条直线的交点直线l1:A1x+B1y+C1=0(l1与l2的位置关系与方程组①相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；②平行⇔方程组无解；③重合⇔方程组有无数个解.6.距离距离公式使用条件两点P1x1P求任意两点间的距离点P0(xd=在求点到直线的距离时，直线的方程转化为一般式两条平行直线Ax+By+d=求平线直线间的距离，方程中x,y前的系数保持一致7.对称问题=1\*GB2⑴点关于点对称若两点P1(x1,y1=2\*GB2⑵点关于线对称若两点P1(x1,y1)，P2(x2,=3\*GB2⑶线关于点对称直线l1:Ax+By+C1=0A思路1：设直线l2:Ax+By+C2即:A思路2：从直线l1上任取两个点M(x1,y1)，N(x=4\*GB2⑷线关于线对称直线l1和l2关于直线=1\*GB3①l1//l2//l，此时直线l到直线l1②直线l1，l2，l三条直线交于一点，设交点为A，则在直线l1上任取一点P（异于点A），其关于直线l的对称点P'在直线【重要结论】1.若所求直线过点P(x0,y0),且与直线2.若所求直线过点P(x0,y0),且与直线3．直线系方程=1\*GB2⑴与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0=2\*GB2⑵与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R)．=3\*GB2⑶过直线l1:A1x+B1y+C1=04．五种常用对称关系(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y)．(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y)．(3)点(x,y)关于直线y＝x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(4)点(x,y)关于直线x＝a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y＝(5)点(x,y)关于点(a，b)的对称点为1.【人教A版选择性必修一习题2.1第4题P58】若点A(a,0)，B(0,b)，C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线，则a-b的最小值等于

．2.【人教A版选择性必修一习题2.2第13题P68】已知入射光线经过点M(-3,4)，被直线l：x-y+ 3 = 0反射，反射光线经过点N(3,7)，则反射光线所在直线的方程为考点一考点一直线的倾斜角和斜率【方法储备】1.求直线的斜率与倾斜角的值=1\*GB2⑴求倾斜角：利用k=tanα，已知斜率k求α；=2\*GB2⑵求斜率：=1\*GB3①定义式：已知倾斜角求斜率；=2\*GB3②坐标式：已知直线上两点，求斜率.=1\*GB2⑴数形结合：根据直线旋转的范围，求斜率的取值范围；=2\*GB2⑵函数思想：结合函数k=tanα,α∈0,π2∪π2,π的图象，由k的范围求α的范围，由=3\*GB2⑶转化思想：在解决一些求代数式的取值范围问题时，遇到形如y2-y1x2-x1结构，可以转化为两点连线的斜率，利用数形结合求取值范围.注意：

=1\*GB2⑴直线倾斜角的范围是0,π,根据斜率求倾斜角的范围时,要分0,π2与π2=2\*GB2⑵若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为π2,此时直线垂直于x轴.3.利用斜率证明三点共线的方法：已知Ax1,y1,Bx2【典例精讲】例1.(2022·湖北省孝感市月考)已知平面直角坐标系内三点A(-1,1)，B(1,1)，C(2,3+1).若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的倾斜角α的取值范围是

，直线CD的斜率k的取值范围是

例2.(2022·浙江省杭州市月考)若ab>0，且A(a,0)，B(0,b)，C(-2,-2)三点共线，则ab的最小值为

．【拓展提升】练11(2023·湖南省郴州市月考)已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0)，若f(π4-x)=f(πA.π4 B.π3 C.2π3练12(2022·河北省石家庄市期中)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为

，

．考点二考点二直线的方程【方法储备】1.求直线方程的常用方法：=1\*GB2⑴直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．=2\*GB2⑵待定系数法：=1\*GB3①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，方程中含有待定的系数；=2\*GB3②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，=3\*GB3③最后代入求出直线方程．注意：=1\*GB2⑴在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.=2\*GB2⑵对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).2.定点问题=1\*GB2⑴直线方程含参数：可将方程转化为Ax-x0+By-y0=0=2\*GB2⑵若直线过定点x0,y0，则直线的方程可设为Ax-x0+B【典例精讲】

例3.(2023·北京市市辖区期中)已知直线l过点P(3,3)，且点A(-2,2)，B(4,-2)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(

)A.3x-2y-3=0或2x+3y-15=0

B.2x-3y+3=0或3x-2y-3=0

C.2x-3y+3=0或2x+3y-15=0

D.2x+3y-15=0或2x+3y-2=0例4.(2022·安徽省黄山市模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4,0)，若以线段OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限交于点B，则直线AB的方程是

．例5.(2023·重庆市联考)若圆C：x2+(y-2)2=16关于直线ax+by-12=0对称，动点P在直线y+b=0上，过点P引圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则直线MN恒过定点Q，点A.(1,1) B.(-1,1) C.(0,0) D.(0,12)【拓展提升】练21(2023·甘肃省兰州市期末)已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的斜截式方程为

．练22(2022·山东省济宁市模拟)已知直线l1：kx+y=0过定点A，直线l2：x-ky+22+3k=0过定点B，l1与l2的交点为C，则练23(2022·浙江省温州市联考)（多选）已知直线l:2x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线m过AB的中点，若直线l，m及x轴围成的三角形面积为6，则直线m的方程为(

)A.2x-3y=0 B.2x+9y=0

C.2x+9y-24=0 D.2x+3y=0考点三考点三直线方程的综合应用【方法储备】直线有关的最值、范围问题=1\*GB2⑴数形结合：在直角坐标系中作出满足条件的直线，通过直线绕定点旋转，或斜率确定时平移直线，从而求得最值或范围；=2\*GB2⑵代数法：=1\*GB3①显化函数关系，转化为求函数的最值或范围；=2\*GB3②利用函数的单调性或基本不等式求最值.【典例精讲】例6.(2022·湖南省长沙市期末)设M-1,2，N2,-2，若动点Px,y，满足PM+PN=5【拓展提升】练31(2022·江苏省南通市月考)过点P(2,3)作直线分别与两坐标轴的正半轴相交于A，B两点，O为坐标原点，设△ABO面积的最小值为m，|OA|+|OB|的最小值为n，则m+n=

．练32(2023·安徽省蚌埠市月考)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)在(1)的条件下，若-18考点考点四两直线的位置关系【方法储备】1.两条直线的平行与垂直=1\*GB2⑴当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.=2\*GB2⑵在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，要注意两直线平行的条件.2.两直线的交点与距离问题=1\*GB2⑴求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.=2\*GB2⑵求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.=3\*GB2⑶利用距离公式应注意：①点P(x0,y0)到直线x=a的距离②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，3.对称问题=1\*GB2⑴光的反射问题：转化为点关于直线的对称问题.=2\*GB2⑵直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.=3\*GB2⑶求直线l1关于直线l对称的直线l2：①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1,y2)(【典例精讲】例7.(2023·湖北省武汉市月考)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么(

)A.a=13,b=6 B.a=13,b=-6例8.(2023·湖南省长沙市月考)（多选）已知直线l1：ax-3y+1=0，l2：x-by+2=0，则(

)A.若l1⊥l2，则ab=-3

B.若l1// l2，则ab=3

C.若l1例9.(2022·吉林省长春市模拟)直线l的方程为(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为(

)A.-1 B.-5 C.1 D.5【拓展提升】练31(2023·上海市市辖区期末)已知三条直线l1：x-2y+2=0，l2：x-2=0，l3：x+ky=0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有A.1个 B.2

个 C.3个 D.无数个练32(2023·湖北省荆州市模拟)已知定点A(3,1)，动点M、N分别在直线y=x和y=0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为

．练33(2023·江西省宜春市月考)（多选）如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则下列说法正确的是

(

)

A.直线AB的方程为x+y-4=0

B.原点O到直线AB的距离为2

C.点P关于直线AB对称的点的坐标为(4,2)

D.光线所经过的路程是21.(2023·江苏省扬州市联考)已知A(-1,0)，B(0,2)，直线l：2x-2ay+3+a=0上存在点P，满足|PA|+|PB|=5，则l的倾斜角的取值范围是(

)A.[π3,2π3] B.[0,2.(2023·广东省河源市月考)已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称，将函数g(x)图象右移2个单位，下移2个单位得到函数h(x)的图象，若P，Q分别为函数f(x)，h(x)图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为

3.(2023·陕西省宝鸡市期末)已知点P(x0,y0)不在直线l：Ax+By+C=0上，则点P到直线l的距离d=|Ax0+By0+C|A【答案解析】1.【人教A版选择性必修一习题2.1第4题P58】解：因为A(a,0)，B(0,b)，C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线，

所以kAC=kBC，

即0+1a-1=b+10-1，化简可得ab+a-b=0，所以1等号当且仅当a=2，b=-2时成立，a-b的最小值为4.

故答案为4．2.【人教A版选择性必修一习题2.2第13题P68】解：设M(-3,4)关于直线l：x-y+3=0的对称点M'(a,b)，

则反射光线所在直线必过M'，

∴b-4a+3=-1-3+a2-b+42+3=0，即a=1b=0,故M'(1,0)例1.解：如图，由斜率公式得kAB=1-11-(-1)= 0，

kBC=3+1-12-1=3，kAC=

3+1-12-(-1)=33．

∴直线BC的倾斜角为60∘．

∴直线AC的倾斜角为30∘，

∵D为△ABC的边AB上一动点，

例2.解：因为A，B，C三点共线，所以kAB=kAC，所以-ba=2a+2，所以b=-2aa+2．

所以ab=-2a2a+2>0，所以a<-2.设练11.解：由fπ4-x=fπ4+x知，函数f(x)的图象关于x=π4对称，

所以f(0)=fπ2，所以-b=a，

则直线ax-by+c=0的斜率为练12.解：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ=2由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ-45°，直线OC的倾斜角为θ+45°，故kOAkOC故答案为：13；-3

例3.解：由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-3=k(x-3)，即kx-y+3-3k=0．

由点A(-2,2)，B(4,-2)到直线l的距离相等，得|-2k-2+3-3k|k2+1=|4k+2+3-3k|k2+1，解得k=32或例4.解：因为O为坐标原点，点A的坐标为(4,0)，

所以OA的中点坐标为(2,0)，且|OA|=4，

所以以线段OA为直径的圆的圆心为(2,0)，半径r=2，

所以圆的方程为(x-2)2+y2=4，

联立方程(x-2)2+y2=4y=2x，解得x=0y=0或x=45y=85例5.解：依题可得圆C：x2+(y-2)2=16的圆心C(0,2)在直线ax+by-12=0上，

所以2b-12=0，b=6，

设点P(t,-6)，则|PC|2=t2+(-6-2)2=t2+64，

故以PC为直径的圆的方程为(x-t2)2+(y+2)练21.解：设直线l的方程为：y=16x+b(b≠0)，当x=0时，y=b；当y=0时，x=-6b；

由题意可得：12⋅|b|⋅|-6b|=3，解得：b=±1，

∴直线l的方程为：y=16x+1练22.解：对于直线l1：kx+y=0过定点A(0,0)，

对于直线l2：x-ky+22+3k=0可得x=-22，y=3，故定点(-22,3)，

∵l1与l2的交点为C，且l1⊥l2

∴CA2+CB2=AB2练23.解：由直线l:2x+3y-12=0，可得l与x轴、y轴分别交于A(6,0)，B(0,4)，则AB的中点P的坐标为(6+02,0+42)，即P(3,2)．

当直线m的斜率不存在时，围成的三角形面积为3，不符合题意;

当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k(x-3)即y=kx-3k+2且与x轴交于点C(xC,0)，

由直线l，m及x轴围成的三角形面积为6，可得S△PAC=12|AC||yP|=1即2x-3y=0;

当xC=12时，即点C(12,0)，此时k=2-03-12=-29，直线m的方程为2x+9y-24=0．

综上可得，直线m的方程为例6.解：因为|MN|=(-1-2)2+(2+2)2=5，且|PM|+|PN|=5，

所以点P(x,y)在线段MN上.

方法一：因为kMN=-2-22+1=-43，

所以直线MN的方程为y-2=-43(x+1)，

即y=-43x+23，

所以点P的轨迹为线段：

y=-43x+23(-1≤x≤2)，

所以y+2x=-43x+23+2x=-43+83x，

当-1≤x<0时，-43+83x≤-43-8练31.解：过点P(2,3)的直线分别与两坐标轴的正半轴相交于A，B两点，

所以该直线斜率k一定小于0．

设直线l:y=k(x-2)+3，A为直线与y轴交点，B为直线与x轴交点，

则A(0,3-2k)，B(2-3k,0)，

∴S=12|OA|⋅|OB|=12(3-2k)(2-3k)=(-2k)+(-92k)+6≥2(-2k)(-92k)+6=12，

当且仅当练32.解：(1)当k=0时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为y=1当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为Ga,1所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有kOG即1a⋅k=-1，交点a=-k，故点G的坐标为从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为P-所以折痕所在的直线方程为y-12=k综上所述，折痕所在的直线方程为y=kx+k(2)当k=0时，折痕的长为2；当-18≤k<0时，折痕所在的直线交BC交y轴于点N0,k2又因为-18≤k<0，所以综上所述，折痕长的取值范围为2,例7.解：在y=ax+2上取一点(0,2)，则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在y=3x-b上，

所以0=6-b，得b=6，在y=3x-6上取一点(0,-6)，

则其关于直线y=x的对称点(-6,0)在y=ax+2上，所以0=-6a+2，得a=13，综上a=1例8.解：若l1⊥l2，当l2的斜率存在时，a3·1b=-1，则ab=-3；

当l2的斜率不存在时，则a=0，b=0，故A错误；

若l1//l2，当l2的斜率存在时，a3=1b，则ab=3；

当l2的斜率不存在时，则b=0，l1，l2不可能平行，不符合题意，故B正确；

直线l1：ax-3y+1=0与x轴，y轴的交点分别为(-1a,0)，(0,13)，

则l1例9.解：由直线l：(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R)，得

λ(x+y-3)+(2x-y)=0，

联立x+y-3=02x-y=0，解得x=1y=2,

∴直线l恒过定点(1,2)，

则原点O到直线l的距离的最大值为1-02+2-02=练31.解：因为三条直线l1：x-2y+2=0，l2：x-2=0，l3：x+ky=0将平面分为六个部分，

所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，

当三条直线交于一点时，联立x-2y