数字信号处理课件

第一章离散时间信号和系统

1.1离散时间信号—序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样1.1离散时间信号—序列典型离散信号(序列)序列的运算序列的周期性用单位抽样序列来表示任意序列序列的能量对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：…

xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞。序列的定义公式、图形、集合

x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}

x(n)=sin(

n)；序列的表示方式1.单位采样序列

单位采样序列和单位冲激信号单位采样序列的平移2.单位阶跃序列mδ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：令n-k=m，代入上式得到3.矩形序列N为矩形序列的长度。矩形序列如|a|<1，称x(n)为收敛序列；如|a|>1，称x(n)为发散序列。(其中a为实数)4.实指数序列5.复指数序列6.正弦序列幅值数字域频率初位相正弦信号：幅值模拟角频率初位相

表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。采样间隔采样频率数字域频率

0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率fa对抽样频率fs的相对频率乘以2。如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。7.序列的周期性问题：如果对正弦序列等间隔抽样，得到的序列还具有周期性吗？例8.用单位抽样序列来表示任意序列对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即式中

(n-m)=

1,n=m0，n≠mx(n)=-2

(n+2)+0.

(n+1)+2

(n)+

(n-1)+1.5

(n-2)-

(n-4)+2

(n-5)+

(n-6)在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、累加、差分、卷积和、相关、翻褶及尺度变换。1.1离散时间信号—序列

序列的运算1.乘法和加法方法：同序号的序列值逐项对应相乘和相加。当n0>0时，称为x(n)的延时序列；当n0<0时，称为x(n)的超前序列。(a)(b)(c)2.移位、翻褶及尺度变换x(n)

x(n-n0)x(n)

x(-n)2.移位、翻褶及尺度变换方法：以n=0的纵轴为对称轴将序列翻褶。x(n)

x(mn)或x(n/m)2.移位、翻褶及尺度变换

x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍，或相当于等间隔抽样。积分对序列x(n),累加3.累加

微分：对序列x(n),差分定义为前向差分：

x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：

x(n)=x(n)-x(n-1)

x(n)=

x(n-1)4.差分运算

卷积的定义5.卷积和

卷积和定义为：卷积的计算：翻转、平移、相乘、积分卷积和的计算：翻转、移位、相乘、相加例：x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。R4(n)0123n0－1mh(－m)－2－3h(n)0123nmx(m)0－123mh(1－m)－2111110－123mh(2－m)11023ny(n)1112344567当当n+10≤n≤3y(n)=7-n4≤n≤60其它解：卷积和又称为序列的线性卷积。设两序列的长度分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。性质1：交换律、结合律和分配律。

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)x(n)*［h1(n)*h2(n)］=(x(n)*h1(n))*h2(n)x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)性质2：序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身。推论：线性卷积性质：1.2线性移不变系统系统的介绍线性系统移不变系统线性移不变系统、单位抽样响应与卷积和线性移不变系统的性质因果系统稳定系统1.2线性移不变系统

系统的介绍系统是处理信号的装置或技术。Rya(t)xa(t)C+X延时x(n)y(n)y(n)a

输入输出内部结构在进行信号分析时，我们主要关心的是输入输出之间的关系，即x(t)y(t);x(n)y(n)

假设系统对信号的变换作用用T[.]表示，则有y(t)=T[x(t)],y(n)=T[x(n)]。1.2线性移不变系统

线性系统这个定义实际上包含了线性系统必须满足的两个性质：1.可加性：若y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］

则T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)2.比例性(或齐次性)：若y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］

则T[a1x1(n)]=a1y1(n)，T[a2x2(n)]=a2y2(n)综合两个性质得：a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]满足叠加原理的系统称为线性系统。即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。若则1.2线性移不变系统

线性系统例1证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明：y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+by(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，该系统不是线性系统。

1.2线性移不变系统

线性系统例2已知y(n)=x(n-n0)，该系统是否线性系统？因此，该系统是线性系统。a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。但从系统表达式的形式看，并非一个线性函数。1.2线性移不变系统

移不变系统如果系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为移不变系统，也称时不变系统。若y(n)=T[x(n)]则y(n-m)=T[x(n-m)]例1证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是移不变系统。证明：y(n)=T[x(n)]=ax(n)+bT[x(n-m)]=ax(n-m)+by(n-m)=ax(n-m)+b=T[x(n-m)]因此，该系统是移不变系统。1.2线性移不变系统

移不变系统例2y(n)=nx(n)….?证明y(n)=T［x(n)］=nx(n)T［x(n-m)］=nx(n-m)y(n-m)=(n-m)x(n-m)不等于T［x(n-m)］因此，该系统是不是移不变系统。若y(n)=T[x(n)]则y(n-m)=T[x(n-m)]同样方法可以证明所代表的系统不是移不变系统。1.2线性移不变系统

线性移不变系统、单位抽样响应与卷积和线性系统的条件：移不变系统的条件：若y(n)=T[x(n)]则y(n-m)=T[x(n-m)]若两个条件同时满足，则称为线性移不变系统(LinearShiftInvariant)，简称LSI系统。设系统的输入为x(n)，表示成单位采样序列移位加权和为定义系统的单位抽样响应:h(n)=T[

(n)]

1.2线性移不变系统

线性移不变系统、单位抽样响应与卷积和系统的输出y(n)为卷积和的表达式x(n)*h(n)因此对LSI系统，线性移不变系统h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)线性移不变性卷积和服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)x(n)*［h1(n)*h2(n)］=(x(n)*h1(n))*h2(n)x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)1.2线性移不变系统

线性移不变系统的性质卷积和服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)x(n)*［h1(n)*h2(n)］=(x(n)*h1(n))*h2(n)x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)1.2线性移不变系统

线性移不变系统的性质h(n)y(n)x(n)x(n)y(n)h(n)卷积和服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)x(n)*［h1(n)*h2(n)］=(x(n)*h1(n))*h2(n)x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)1.2线性移不变系统

线性移不变系统的性质h1(n)h2(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n)*卷积和服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)x(n)*［h1(n)*h2(n)］=(x(n)*h1(n))*h2(n)x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)1.2线性移不变系统

线性移不变系统的性质h1(n)＋h2(n)y(n)x(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)1.2线性移不变系统

线性移不变系统的性质例1在图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n);h1(n)=

(n)-

(n-4);h2(n)=anu(n)，(|a|<1)求系统的输出y(n)。解：先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*[

(n)-

(n-4)]=u(n)*

(n)-u(n)*

(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)=anu(n)*[

(n)+

(n-1)+

(n-2)+

(n-3)]=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)1.2线性移不变系统

因果系统1.定义：

因果系统非因果系统

因此系统的因果性是指系统的可实现性。

但并非所有有实际意义的系统都是因果系统！1.2线性移不变系统

因果系统例：y(n)=nx(n)y(n)=x(n+2)+ax(n)y(n)=x(-n)y(n)=x(n3)y(n)=x(n)sin(n+2)

系统中用到的其它函数，虽以时间n为变量，但因果系统只考察输入x(n)和输出y(n)的关系1.2线性移不变系统

因果系统LSI系统为因果系统的充要条件：LSI系统为因果系统的充要条件是系统的单位取样响应满足：

h(n)=0，n<0因果序列1.2线性移不变系统

稳定系统1.定义稳定系统指系统有界输入，系统输出也是有界的系统。系统的稳定性是进一步进行系统分析的重要基础之一，尤其是在滤波器的设计等方面特别重要。2.系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和：1.2线性移不变系统

稳定系统证明先证明充分性。因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|<B,-∞<n<∞，B为任意常数如果系统的单位取样响应h(n)满足，那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|<∞。充分性成立！h2.系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和：证明再证明必要性，用反证法。如果h(n)不满足，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：必要性成立！x(n)=令n=01.2线性移不变系统

稳定系统3.关于LSI系统稳定性、因果性的小结因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的且是绝对可和的。即1.2线性移不变系统

稳定系统h(n)=0，n<0h(n)=h(n)u(n)例设线性移不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，分析系统的因果稳定性。1.2线性移不变系统

稳定系统解:(1)由于n<0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。(2)分析系统的稳定性所以当|a|<1时系统是稳定的当|a|>1时=系统不稳定因此系统稳定的条件是|a|<1；否则，|a|≥1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。第一章离散时间信号和系统

1.1离散时间信号—序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样1.3常系数线性差分方程

线性常系数微分方程连续系统输入输出方程例简单力学系统如图所示。在光滑平面上，质量为m的钢性球体在水平外力f(t)的作用下产生运动。设球体与平面间的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励，球体运动速度看作是系统的响应。根据牛顿第二定律，有1.3常系数线性差分方程

线性常系数微分方程连续系统的n阶线性常系数微分方程：式中，f(t)是系统的激励，y(t)为系统的响应，an=1。方程中 ， 。若要求解n阶微分方程，还需要给定n个初始条件y(0)，y′(0)，…,y(n-1)(0)。1.3常系数线性差分方程

线性常系数微分方程N阶线性常系数差分方程的一般形式：或者

1.3常系数线性差分方程

线性常系数差分方程常见问题：

(1)给定输入x(n)，求输出y(n)这个随时间变化的函数；

(2)给定差分方程，求系统的单位抽样响应h(n)。线性常系数差分方程的求解求解差分方程的基本方法：(1)序列域求解法：迭代法，卷积和计算法(2)变换域方法N阶线性常系数差分方程1.3常系数线性差分方程

线性常系数差分方程例设系统用差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)描述，求单位抽样响应h(n)。(初始条件为y(-1)=0)例输入序列x(n)=

(n)时，输出序列为h(n)。由初始条件为y(-1)=h(-1)=0；n<-1时，再由h(n)-ah(n-1)=

(n)，易知h(n)=0；

n>=0时，可由上式h(n)=ah(n-1)+

(n)依次迭代如下：

h(0)=ah(-1)+

(0)=1;

h(1)=ah(0)+

(1)=ah(2)=ah(1)+

(2)=a2…n=n时，h(n)=an

故h(n)=anu(n)系统为因果系统；|a|<1时，系统是稳定的如果将初始条件改变，结果会有什么不同？用迭代法求解差分方程——求单位抽样响应h(n)1.3常系数线性差分方程

线性常系数差分方程例设系统用差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)描述，求单位抽样响应h(n)。(初始条件为y(0)=0)例输入序列x(n)=

(n)时，输出序列为h(n)。由初始条件为y(0)=h(0)=0；n>0时，再由h(n)-ah(n-1)=δ(n)，易知h(n)=0；

n<0时，可由上式h(n-1)=a-1(h(n)-

(n))依次迭代如下：

h(-1)=a-1(h(0)-

(0))=-a-1h(-2)=a-1(h(-1)-

(-1))=-a-2

…h(n-1)=-an故h(n)=-anu(-n-1)系统为非因果系统；|a|<1时，系统是稳定的1.3常系数线性差分方程

线性常系数差分方程结论：一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，与边界条件有关一个常系数线性差分方程的系统的线性性和移不变性也与边界条件有关1.4连续时间信号的抽样

一、信号的采样及采样定理对模拟信号进行采样0Ω

c－Ω

cXa(jΩ)－Ω

sΩ

sΩΩ0Xa(jΩ)Ω＾0－Ω

sΩ

s2sW2sW

T(t)

T(j)0Ω

c－Ω

cXa(jΩ)－Ω

sΩ

sΩΩ0Xa(jΩ)Ω＾0－Ω

sΩ

s2sW2sW

T(t)

T(j)(1)采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。0Ω

c－Ω

cXa(jΩ)－Ω

sΩ

sΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs＾＾2sW0－Ω

sΩ

s－Ω

s2sW2sW

T(t)

T(j)(1)采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。T增大

T(t)(1)采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么采样信号的各延拓分量不会交叠，否则Ωs<2Ωc会造成采样信号中的各延拓分量产生频谱混叠现象。0Ω

c－Ω

cXa(jΩ)－Ω

sΩ

sΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs＾＾2sW0－Ω

sΩ

s－Ω

s2sW2sW

T(j)T增大0Ω

c－Ω

cXa(jΩ)－Ω

sΩ

sΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs＾＾2sW0－Ω

sΩ

s－Ω

s2sW2sW

T(t)

T(j)(1)采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么采样信号的各延拓分量不会交叠，否则Ωs<2Ωc会造成采样信号中的各延拓分量产生频谱混叠现象。(3)要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则必须满足Ωs≥2Ωc，或fs≥2fc。T增大奈奎斯特抽样定理为避免混叠，一般在抽样其前面加入一个保护性的前置滤波器，其截止频率为Ωs/2第二章Z变换2.1引言2.2Z变换的定义与收敛域2.3Z反变换2.4Z变换的基本性质和定理2.5序列的z变换与连续信号的相关变换的关系2.6序列的傅立叶变换2.7傅里叶变换的一些对称性质2.8离散系统的系统函数，系统的频率响应第二章Z变换2.2Z变换的定义与收敛域信号与系统的分析方法有多种连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换离散时间信号与系统：z变换、傅里叶变换

z变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。第二章Z变换2.2Z变换的定义与收敛域一、z变换的定义二、z变换的收敛域三、举例四、z变换的特点及零极点2.2Z变换的定义与收敛域一、z变换的定义序列x(n)的Z变换定义：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。Z变换的表示：Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。2.2Z变换的定义与收敛域二、z变换的收敛域其Z变换为1.有限长序列收敛域：

n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞n1<0，n2>0时，0<z＜∞n1≥0，n2>0时，0<z≤∞Z变换：2.右边序列第一项收敛域：0≤|z|＜∞第二项收敛域：Rx-<|z|≤∞

收敛域：Rx-<|z|<∞如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞阿贝尔定理:若幂级数在x00处收敛，则对任意取的x点，当|x|<|x0|时都绝对收敛。2.2Z变换的定义与收敛域二、z变换的收敛域Z变换：3.左边序列第二项收敛域：0＜|z|≤∞第一项收敛域：0≤|z|<Rx+

收敛域：0<|z|<Rx+如果n2<0，收敛域定为0≤|z|<Rx+

2.2Z变换的定义与收敛域二、z变换的收敛域Z变换：4.双边序列左边序列：n2>0，0<|z|<Rx+；

如果n2<0，0≤|z|<Rx+

。右边序列：n1≤-1，Rx-<|z|<∞；如果n1>-1，Rx-<|z|≤∞。双边序列：Rx-<|z|<Rx+

。2.2Z变换的定义与收敛域三、z变换的举例例1求x(n)=

(n)的z变换及其收敛域。解：这是一个有限长序列。所以收敛域为整个z的闭平面。2.2Z变换的定义与收敛域三、z变换的举例例2求x(n)=anu(n)的z变换及其收敛域。解：这是一个右边序列，并且是一个因果序列。z=a为极点收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。一般说来，右边序列的z变换的收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外，对因果序列，包含z=。2.2Z变换的定义与收敛域三、z变换的举例例3求x(n)=-bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。解：这是一个左边序列。收敛域为极点所在圆|z|=|b|的内部。一般说来，左边序列的z变换的收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内，但原点不一定。2.2Z变换的定义与收敛域三、z变换的举例例4求x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。解：这是一个双边序列。收敛域为为一个圆环。一般说来，双边序列的z变换的收敛域一定在其左边序列模最小的有限极点所在圆之内，在其右边序列模最大的有限极点所在圆之外。x(n)=anu(n)x(n)=

(n)x(n)=-bnu(-n-1)x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)2.2Z变换的定义与收敛域四、z变换的特点及零极点常见序列Z变换2.2Z变换的定义与收敛域四、z变换的特点及零极点1.同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同；2.常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：2.2Z变换的定义与收敛域四、z变换的特点及零极点其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式；3.P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)；Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)；4.在极点处z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域一般为同心圆环，用极点限定其边界。第二章Z变换2.3逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及其逆Z变换表示如下：第二章Z变换2.3逆Z变换一、围线积分法(留数法)二、部分分式展开法三、幂级数展开法(长除法)2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx-<|z|<Rx+(Rx-0，Rx+

)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：围线积分路径2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)与z变换的定义比较，x(n)就是罗朗级数的系数Cn，因此：围线积分路径证明：P502.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)围线积分路径留数定理求逆Z变换：如果函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm，则有，或使用条件：F(z)在z=

有二阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)围线积分路径留数定理求逆Z变换：根据留数定理，如果函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm，则有，或？2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)围线积分路径如果zk是F(z)=X(z)zn-1的单阶极点，则如果zk是F(z)=X(z)zn-1的l阶极点，则如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx-<|z|<Rx+(Rx-0，Rx+

)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：围线积分法求逆Z变换总结：根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx-<|z|<Rx+(Rx-0，Rx+

)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：围线积分法求逆Z变换总结：2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：jIm[z]Re[z]41/40c极点：z=1/4；4；0(n<-1时，-(n+1)阶)；(n>1时，n-1阶)零点：(n<1时，1-n阶)2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-1时，围线c内有一个极点：z=1/4；当n-2时，围线c外有一个极点：z=4；jIm[z]Re[z]41/40c极点：z=1/4；4；0(n<-1时，-(n+1)阶)；(n>1时，n-1阶)零点：(n<1时，1-n阶)2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-1时jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-2时jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-2时当n-1时因此x(n)为：jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。jIm[z]Re[z]40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-1时，围线c内有两个极点：z=4,1/4；当n-2时，围线c外没有极点。jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-1时jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-2时jIm[z]Re[z]41/40c2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)例：已知求z反变换。解：当n-2时当n-1时因此x(n)为：jIm[z]Re[z]41/40c1.同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同；2.在求函数的极点时要全面，如无穷大点和零点；2.2逆Z变换一、围线积分法(留数法)2.2逆Z变换二、部分分式法1.同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同；2.常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式；3.P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)；Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)；设x(n)的Z变换X(z)是有理分式，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，可将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和。2.2逆Z变换二、部分分式法1.有理函数X(z)可展成一些简单的常用的部分分式之和。整式部分系数单阶极点多阶极点2.2逆Z变换二、部分分式法1.有理函数X(z)可展成一些简单的常用的部分分式之和。2.若X(z)=X1(z)+X2(z)+……Xk(z),则x(n)=ZT-1[X(z)]=ZT-1[X1(z)+X2(z)+……Xk(z)]=ZT-1[X1(z)]+ZT-1[X2(z)]+……+ZT-1[Xk(z)]3.各分式的z反变换通过查表可以得到，从而求x(n);4.zk通过分解因式得到，Ak通过留数定理求解，或通过方程求解。2.2逆Z变换二、部分分式法观察上式可得：例已知，求逆Z变换。解因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表2-1得到

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)2.4Z变换的基本性质和定理1.线性设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

m(n)=ax(n)+by(n)

则M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］Rm-=max［Rx,Ry-］例1：已知，求它的z变换。解：例2：求序列的z变换。解：查表可得又所以可以看出收敛域扩大了。实际上，由于x(n)是n0的有限长序列，故收敛域是除了0以外的全部z平面。2.4Z变换的基本性质和定理2.序列的移位设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

则ZT［x(n-m)］=z-mX(z),Rx-<|z|<Rx+证按z变换定义收敛域的变化情况分析如2.4Z变换的基本性质和定理3.乘以指数序列设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZT［anx(n)］=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+证明因为Rx-<|a-1z|<Rx+，得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+。4.复序列的共轭则证明2.4Z变换的基本性质和定理设5.序列卷积则W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。设证2.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系傅里叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z变换逆Z变换2.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系抽样信号的拉普拉斯变换抽样序列的z变换为抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。两个变换的关系就是复变量s平面到复变量z平面的映射：令s=+j,z=rej得到：rej=e(+j)T=eTejT,因而r=eT，=T2.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系1.

r=eT2.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系2.=T=0、/T、/T、

0与的对应关系

变化时与的对应关系2.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系3.抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的拉普拉斯变换Xa(s)的关系。采样定理延拓到整个复平面4.抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j)的关系。抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换序列的傅里叶变换单位圆上的z变换是和信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上的z变换为序列的傅里叶变换。2.6序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的值正变换反变换(1)傅里叶变换收敛条件说明：(2)=T，X(ej)为连续周期函数，x(n)是离散时间序列。1.序列的傅里叶变换的定义(3)对连续信号，傅里叶变换定义为=Ts=j=/T例设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。解：F(jW`)WEt2pt4pt2pt－4pt－otτ2τ2－Eof(t)例设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。f(t)toτ2TEτ2－2TFnWTEtW13W12pt4pto解：2.6序列的傅里叶变换(1)周期性2.序列的傅里叶变换的性质(2)线性(性质3)那么设(3)时移与频移(性质4、6)设X(ejω)=FT［x(n)］，那么2.6序列的傅里叶变换(4)时域卷积定理(性质7)设y(n)=x(n)*h(n),

则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)2.序列的傅里叶变换的性质(5)频域卷积定理(性质8)设y(n)=x(n)·h(n)则(6)帕塞瓦(Parseval)定理(性质19)2.7傅里叶变换的一些对称性质2.7傅里叶变换的一些对称性质1.共轭(反)对称序列设序列xe(n)满足xe(n)=x*e(-n)，则称xe(n)为共轭对称序列。

即xer(n)+jxei(n)=xer(-n)-jxei(-n)

可见，xe(n)的实部为偶序列，虚部为奇序列。例：x(n)=ejwn设序列xe(n)满足xo(n)=-x*o(-n)，则称xe(n)为共轭反对称序列。

即xor(n)+jxoi(n)=-xor(-n)+jxoi(-n)

可见，xe(n)的实部为奇序列，虚部为偶序列。例：x(n)=jejwn2.7傅里叶变换的一些对称性质2.任意序列的共轭(反)对称分解对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即

x(n)=xe(n)+xo(n)实际上x(n)可以这样分解：共轭对称序列共轭反对称序列对频域函数X(ejω)类似：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

式中:

Xe(ejω)=X*e(e-jω);Xo(ejω)=-X*o(e-jω)

同样满足公式：2.7傅里叶变换的一些对称性质3.FT的对称性性质12：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。性质13：(j序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。性质14、15：性质16：实序列x(n)的傅里叶变换X(ej

)具有共轭对称性；其实部(幅度)是的偶函数，虚部(幅角)是的奇函数。X(ej

)=X*(e-j

)xer(ej

)+jxei(ej

)=xer(e-j

)-jxei(e-j

)|X(ej

)|earg[X(ej

)]=|X(e-j

)|{e-arg[X(e-j

)]}2.7傅里叶变换的一些对称性质3.FT的对称性性质12：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。性质13：(j序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。性质14、15：性质16：实序列x(n)的傅里叶变换X(ej

)具有共轭对称性；其实部(幅度)是的偶函数，虚部(幅角)是的奇函数。性质17、18：实序列x(n)的偶(奇)对称序列分量的傅里叶变换……。2.7傅里叶变换的一些对称性质3.FT的对称性性质12：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。性质13：(j序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。性质14、15：性质16：实序列x(n)的傅里叶变换X(ej

)具有共轭对称性；其实部(幅度)是的偶函数，虚部(幅角)是的奇函数。性质17、18：性质19、20：帕塞瓦公式2.7傅里叶变换的一些对称性质帕塞瓦公式证明2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应对线性移不变系统：线性移不变系统的系统函数线性移不变系统的频率响应2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应一、因果稳定系统因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0系统稳定的充要条件：收敛域满足：系统稳定要求收敛域包含单位圆；因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。；因果稳定系统要求H(z)的收敛域为：r<|z|≤∞，0<r<12.8离散系统的系统函数、系统的频率响应一、因果稳定系统例已知分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图所示。(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。(3)收敛域a<|z|<a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应二、系统函数和差分方程的关系一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：若系统起始状态为零，取z变换：零点极点由差分方程系数决定但系统的确定还与收敛域的确定有关。2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应三、系统的频率响应的意义系统的频率响应(或频域表示法)主要是为了明确系统对输入频谱的处理作用。设当输入为正弦序列时，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej

)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应三、系统的频率响应的意义对于一般的输入x(n)，由上式可进一步说明频率响应的意义：若系统的频率响应为H(ej

)，输入为x(n)，则系统的每个复指数微分分量的输出响应为。总的输出响应等于系统对于x(n)的每个复指数微分分量的响应的叠加。四、频率响应的几何确定法系统的频率响应为系统函数在单位圆上的值：因此，幅频响应：相频响应：因此，幅频响应：相频响应：四、频率响应的几何确定法2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应四、频率响应的几何确定法因此，幅频响应：相频响应：jIm[z]Re[z]4cmej

分别是由零点cm指向单位圆上ej

点的矢量Cm的长度和相角。Cm2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应四、频率响应的几何确定法因此，幅频响应：相频响应：jIm[z]Re[z]4cmej

分别是由极点dk指向单位圆上ej

点的矢量Dk的长度和相角。CmDk2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应四、频率响应的几何确定法因此，幅频响应：相频响应：jIm[z]Re[z]4cmej

CmDk线性相移分量2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应四、频率响应的几何确定法因此，幅频响应：相频响应：jIm[z]Re[z]4cmej

CmDkLSI的频率响应的幅度等于各零点至ej

点矢量长度之积除以各极点矢量至ej

点矢量长度之积，再乘以常数|K|。

LSI的频率响应的相角等于各零点至ej

点矢量相角之和减去各极点矢量至ej

点矢量相角之和，再加常数K的相角，再加线性相移分量(N-M)。2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应四、频率响应的几何确定法幅频响应等于各零点至ej

点矢量长度之积除以各极点矢量至ej

点矢量长度之积，再乘以常数|K|。相频响应等于各零点至ej

点矢量相角之和减去各极点矢量至ej

点矢量相角之和，再加上常数K的相角，再加线性相移分量(N-M)。例：根据零极点分布状况定性分析系统的频率响应。例2-14设一阶系统的差分方程为：y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|<1，a为实数求系统的频率响应。解：差分方程两边作z变换极点：z=a,|z|>|a|时，为可实现的因果系统：h(n)=anu(n)频率响应为：幅频响应为：相频响应为：jIm[z]Re[z]10ej

a

|H(ej)|23/2

/20例2-15设系统的差分方程为：这就是M-1个单元延时及M个抽头加权后相加所组成的电路，常称之为横向滤波器。求其频率响应。解：z变换极点：z=0处为M-1阶极点，z=a处为单阶极点；零点：由zM=aM,zi=aej2i/M,i=0,1,2,…,M-1；i=0时的零点z0=a与z=a处的单阶极点相抵消；单位抽样响应h(n)为输入为(n)时的输出：jIm[z]Re[z]10a零极点抵消

|H(ej)|23/2

/202.8离散系统的系统函数、系统的频率响应五、无限长单位冲击响应(IIR)系统与有限长单位冲击响应(FIR)系统例2-14差分方程：y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|<1，a为实数单位抽样响应：h(n)=anu(n)例2-15差分方程：单位抽样响应：系统函数：系统函数：五、无限长单位冲击响应(IIR)系统与有限长单位冲击响应(FIR)系统无限长单位冲击响应(IIR)系统:简称IIR系统，h(n)无限长。有限长单位冲击响应(FIR)系统:简称FIR系统，h(n)有限长。分母多项式中有一个系数ak不为零，就会出现非0极点，为IIR系统；否则，系统没有非0极点，为FIR系统；差分方程中有一个系数ak不为零，也就是说系统中有反馈存在，就会出现极点，为IIR系统；否则，为FIR系统；

作业1.(1)(3) 2.3.(1)(3) 7.(2)10.(b) 11.(a)12. 17.(c)第三章离散傅里叶变换3.1引言3.2傅里叶变换的几种可能形式3.3周期序列的离散傅里叶级数(DFS)3.4离散傅里叶级数的性质3.5离散傅里叶变换(DFT)——有限长序列的离散频域表示3.6离散傅里叶变换的性质3.7抽样z变换——频域抽样理论3.8利用DFT计算模拟信号的傅里叶变换(级数)对3.9序列的抽取与插值第三章离散傅里叶变换3.1引言离散傅里叶变换是计算机上可以实现的一种变换。离散傅里叶变换存在快速算法——快速傅里叶变换。第三章离散傅里叶变换3.2傅里叶变换的几种可能形式一、连续时间、连续频率——傅里叶变换0tx(t)0

|X(j

)连续非周期连续非周期F(jW`)WEt2pt4pt2pt－4pt－otτ2τ2－EoF(W)f(t)第三章离散傅里叶变换3.2傅里叶变换的几种可能形式二、连续时间、离散频率——傅里叶级数0tx(t)0

|X(j

)连续周期离散非周期f(t)toτ2TEτ2－2TFnWTEtW02pt4ptoT0W0第三章离散傅里叶变换3.2傅里叶变换的几种可能形式三、离散时间、连续频率——序列的傅里叶变换0tx(t)0

|X(j

)|-s

s离散非周期连续周期nx(n)|X(ej

)|

2

-20

s|X(k)|n0x(n)

0TT0N连续周期0

s离散非周期t0x(t)|X(j

)|四、离散时间、离散频率——离散傅里叶变换kN-1第三章离散傅里叶变换3.2傅里叶变换的几种可能形式四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(

0=2/T0)离散(T)和非周期周期(

s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(

s=2/T)和离散(

0=2/T0)第三章离散傅里叶变换3.3周期序列的离散傅里叶级数(DFS)周期序列：r为任意整数主值区间主值序列n0离散周期离散非周期n0x(n)N2周期序列与它的主值序列的关系：第三章离散傅里叶变换3.3周期序列的离散傅里叶级数(DFS)连续周期基频序列周期基频K次谐波序列离散周期连续周期离散周期N个独立的谐波成分无穷多个独立的谐波成分第三章离散傅里叶变换3.3周期序列的离散傅里叶级数(DFS)证明：对离散周期序列一个数学性质：即：第三章离散傅里叶变换3.3周期序列的离散傅里叶级数(DFS)时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是一个周期序列，如下两式称作一个离散傅里叶级数对(DFS)。正变换：反变换：旋转因子周期序列可以看成是对的一个周期作z变换，然后将z变换在单位圆上按等间隔角2/N抽样而得到的。k=012345670Re(z)jIm[z]|z|=1第三章离散傅里叶变换3.4离散傅里叶级数的性质一、线性二、序列的移位三、调制特性四、周期卷积和如果则是一个卷积和公式，但与非周期序列的线性卷积不同，称为周期卷积。证明：代入则周期卷积和都是翻转、移位、相乘、相加；周期卷积和的运算对象和结果都是周期序列；周期卷积和的移位范围或求和范围只在一个区间进行。线性卷积和线性卷积和、周期卷积和比较第三章离散傅里叶变换3.5离散傅里叶变换(DFT)——有限长序列的离散频域表示0nX(k)0kx(n)N离散周期离散周期连续周期0

2离散非周期n0x(n)|X(ej

)|连续非周期0

离散非周期t0x(t)|X(j

)|有限长带限信号N第三章离散傅里叶变换3.5离散傅里叶变换(DFT)——有限长序列的离散频域表示周期序列的离散傅里叶级数对(DFS)。正变换：反变换：正变换：反变换：有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。例x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。设变换区间N=8，则设变换区间N=16，则n0x(n)2n0x(n)2X(k)与X(ejω)的关系第三章离散傅里叶变换3.6离散傅里叶变换的性质一、线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)，式中a、b为常数，N=max[N1,N2]，则y(n)的N点DFT为

Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2[k],0≤k≤N-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。1.序列的圆周移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：

y(n)=x((n+m))NRN(N)即以x(n)的点数N为周期，将其延拓成周期序列，再将周期序列移位，然后取主值区间(n=0到N-1)上的序列值。圆周移位过程示意图n=012345n=012345n=012345二、圆周移位性质

2.时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的圆周移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)

则Y(k)=DFT[y(n)]=WN-kmX(k)

其中X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1。证明：令n+m=n′，则有由于式中求和项x((n’))NWNkn′以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间则得m=03.频域圆周移位定理如果

X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则y(n)=IDFT［Y(k)］=WNnlx(n)第三章离散傅里叶变