北师大版七年级数学上册专题2.5 新定义问题（压轴题专项讲练）（教师版）

专题2.5新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f（4，12）＝，f（5，3）＝（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是．（填序号）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；②根据题意计算即可判断；③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．【解题过程】解：（1）f（4，12）=f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=1故答案为：4；127（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；故答案为：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n为正整数，a≠0，n（4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1=127×=−21．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（）A．﹣3 B．1 C．32 D．【思路点拨】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解题过程】解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2=−12−故选：D．2．（2023秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10【思路点拨】原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值．【解题过程】解：根据题中的新定义得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3﹣2）＝﹣（6﹣2）＝﹣4，则原式＝6﹣（﹣4）＝10．故选：D．3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则12A．﹣1 B．﹣9 C．−12【思路点拨】根据a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值．【解题过程】解：∵a*b＝b3﹣1，∴12=12*[（﹣1）=1=1＝（﹣2）3﹣1＝（﹣8）﹣1＝﹣9，故选：B．4．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（）个．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log2128＝log216+log28；A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可．【解题过程】解：∵61＝6，∴log66＝1，故①不符合题意；∵34＝81，∴log381＝4，故②符合题意；∵44＝256，∴a+14＝256，∴a＝242，故③不符合题意；∵27＝128，∴log2128＝7，∵24＝16，∴log216＝4，∵23＝8，∴log28＝3，∵7＝4+3，∴log2128＝log216+log28，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个，故选：C．5．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 【思路点拨】根据“同心有理数对”的定义判断即可．【解题过程】解：∵﹣3−47=−257，2×（﹣3）×∴数对（﹣3，47故选项A不合题意；∵4−49=329，2×4×∴（4，49故选项B不合题意；∵−5−611=−6111∴（﹣5，611故选项C不合题意；∵6−713=∴（6，713故选项D符合题意；故选：D．6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k；（其中k是使n2若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（）A．68 B．78 C．88 D．98【思路点拨】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．【解题过程】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2021÷6＝336……5，则第2021次“F运算”的结果是98．故选：D．7．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a，b，c，d定义一种新的运算：abcd=ad﹣bc．则【思路点拨】直接利用已知定义将原式变形计算得出答案．【解题过程】解：−4＝﹣4×1﹣（﹣2）×3＝﹣4+6＝2．故答案为：2．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为﹣3．【思路点拨】先认真读题，再根据列出算式，最后根据有理数的加法法则进行计算即可．【解题过程】解：+＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7）＝2﹣3+4﹣5+6﹣7＝﹣3，故答案为：﹣3．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b=a+1b，则（13*12）*2＝【思路点拨】先计算出13*12=83，再计算（1【解题过程】解：13*=4=8∴（13*1=8=8=11=11故答案为：11610．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a、b，当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝24；(−23【思路点拨】根据当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，可以计算出所求式子的值．【解题过程】解：∵2＜6，∴2△6＝22×6＝4×6＝24，∵−2∴(−＝（−23＝（−2＝﹣6，故答案为：24，﹣6．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x⨂y=x2−2y，x＞y1，x=y−2xy，x＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021【思路点拨】根据题目中的新定义，可以将所求式子转化，然后即可求出所求式子的值．【解题过程】解：由题意可得，[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝﹣2×（﹣3）×（﹣1）+42﹣2×（﹣2）﹣1＝﹣6+16+4﹣1＝13，故答案为：13．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；根据以上规则，计算[1Θ(−12【思路点拨】根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值．【解题过程】解：由题意可得，[1Θ(−1＝[4×1+（−12）]+[4×（﹣2）＝[4+（−12）]+[（﹣8）＝[3.5]+[−13＝3+（﹣4）＝﹣1，故答案为：﹣1．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=a+b+|a−b|（1）计算：（﹣6）☆5＝5．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是9．【思路点拨】（1）根据a☆b=a+b+|a−b|（2）根据题意，可以分两种情况讨论，分别求出对应的最大值即可．【解题过程】解：（1）∵a☆b=a+b+|a−b|∴（﹣6）☆5=(−6)+5+|(−6)−5|=(−6)+5+11=10＝5，故答案为：5；（2）由题意可得，当a＞b时，a☆b=a+b+|a−b|2a≤b时，a☆b=a+b+|a−b|2由上可得，所有运算结果中的最大值是9，故答案为：9．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．【思路点拨】（1）将a＝3，b＝﹣5代入公式计算即可；（2）先由非负数的性质得出a、b的值，再代入计算即可．【解题过程】解：（1）∵a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|，∴3⨂（﹣5）＝|3﹣5|﹣|3+5|＝2﹣8＝﹣6．（2）∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，∴（a+2）2＝0，|b﹣1|＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴a⨂b＝|﹣2+1|﹣|﹣2﹣1|＝1﹣3＝﹣2．5．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[⨂（−3【思路点拨】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解题过程】解：（1）（﹣3）⨂6，＝（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5＝9﹣18﹣5＝﹣14；（2）[2⨂（−3＝[22+2×（−32）﹣5]﹣[（﹣5）＝（4﹣3﹣5）﹣（25﹣45﹣5）＝﹣4+25＝21．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝11．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b【思路点拨】（1）根据已知算式得出法则：两数进行*（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加；（2）依据所得法则计算可得；（3）根据非负数的性质求出a，b，再代入后拆分抵消法计算即可求解．【解题过程】解：（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值．故答案为：取正，取负，相加，绝对值；（2）（﹣7）※（﹣4）＝11．故答案为：11；（3）∵（1﹣a）※（b﹣3）＝0，∴1﹣a＝0，b﹣3＝0，解得a＝1，b＝3，1a×b=1=12×=12×=1=517．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a，b满足等式a﹣b＝ab．那么称a，b是“关联有理数对”，记作（a，b）．如：因为3−34=124（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57（2）若（m，n）是“关联有理数对”，则（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．【思路点拨】（1）根据“关联有理数对”的定义即可判断；（2）根据“关联有理数对”的定义即可解决问题；（3）根据“关联有理数对”的定义，先设a＝5，代入等式可得b的值．【解题过程】解：（1）①因为1−12=所以数对（1，12②因为﹣1﹣0＝﹣1，﹣1×0＝0，所以数对（﹣1，0）不是“关联有理数对”；③因为52−5所以数对（52，5故答案为：①③；（2）（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；理由：因为（m，n）是“关联有理数对”所以m﹣n＝mn，因为﹣m﹣（﹣n）＝n﹣m，﹣m•（﹣n）＝mn＝m﹣n，所以（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；故答案为：是，不是；（3）设a＝5，（a，b）是“关联有理数对”，所以a﹣b＝ab，即5﹣b＝5b，解得b=5设b＝5，（a，b）是“关联有理数对”，所以a﹣b＝ab，即a﹣5＝5a，解得a=−5所以另一个有理数是56或−18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝﹣3，d（1）＝0；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：d(a3)（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．【思路点拨】（1）根据新定义及法则进行运算即可；（2）根据新定义运算法则运算即可；（3）根据新定义运算法则运算即可；（4）根据新定义运算法则分别运算即可．【解题过程】解：（1）∵10b＝10﹣3，∴b＝﹣3，∴d（10﹣3）＝﹣3，∵10b＝1＝100，∴b＝0，∴d（1）＝d（100）＝0，（2）d(=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)＝3；（3）∵d（2）＝0.310，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝2×0.3010＝0.6020，d（5）＝d（102＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990；（4）∵d（2）＝2m+n，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝2（2m+n）＝4m+2n，d（8）＝d（2×2×2）＝d（2）+d（2）+d（2）＝3d（2）＝3（2m+n）＝6m+3n∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，∴4m+2n=3m+2n+p∴m＝n＝p，故答案为：（1）﹣3，0；（2）3；（3）0.6020，0.6990；（4）证明见解析．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为−53（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是23（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．【思路点拨】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．【解题过程】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a−c2=−2−1∴﹣2，﹣4，1的“分差”为−故答案为：−（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a−c2=−2−(−4)∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a−c2=∴﹣4，﹣2，1的“分差”为−③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a−c2=∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a−c2=∴1，﹣4，﹣2的“分差”为−⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a−c2=∴1，﹣2，﹣4的“分差”为2综上所述，这些不同“分差”中的最大值为2故答案为：2（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6①a＝6，b＝x，c＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣x，a−c2=若6﹣x＝2，得x＝4，x+13若x+13=2，得x＝5，6﹣②a＝6，b＝﹣1，c＝x，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a−c2=若6−x2=2，得x＝2，若−1−x3=2，得x＝﹣7，③a＝x，b＝6，c＝﹣1∴a﹣b＝x﹣6，a−c2=若x﹣6＝2，得x＝8，x+12若x+12=2，得x＝3，综上所述，x的值为﹣7或8．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排12第二排43然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照