期中专题复习03一元二次方程根与系数关系九年级上学期期中专项复习原卷版（苏科版）

一元二次方程根与系数关系专题复习三总结归纳：根与系数考察比较灵活，月考，期中期末考试都是常考题，中考也是重点考察内容，考察的难度经常为中等题和难题的形式出现，也就要求学生对根与系数要掌握扎实的同时学会灵活变通，比如复杂代数式如何变形成跟韦达定理相关的代数式等，所以遇到比较复杂的情况，一定是想办法变形，找与韦达定理得关系，比如：，这样就找到了与韦达定理之间的关系（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．知识点一：韦达定理基础应用根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q，反过来可得p=（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2考点一：韦达定理基础应用1．（2022•盐城一模）设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α•β的值是（）A．5 B．﹣5 C．99 D．﹣992．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝4，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣6 C．y1＝4，y2＝﹣6 D．y1＝2，y2＝﹣43．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x1，x2是关于x的方程x2A．x1+x2>0 B．x14．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．知识点一：韦达定理与复杂代数式注意：这类的考察比较灵活，所以要对代数式进行化简，找与韦达定理得关系常见类型：1、考点二：韦达定理与复杂代数式1．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果x、y是两个实数（xy≠1）且3x2-2023x+2=0A．20233 B．20232 C．404692．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0(1)已知a、b是方程x2+15x(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y23．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知：α，β（α>β）是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，s(1)直接写出s1，s2的值：s1=(2)经计算可得：s3=4，s44．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根为x1、x2，满足1x5．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2(1)已知方程4x2-3x-6=0的两根分别为x(2)已知方程x2+3x-5=0的两根分别为x(3)若x1，x2是两个不相等实数，且满足x12-2知识点三：韦达定理与新定义/阅读材料新定义与阅读材料重点是理解新定义或者阅读材料的意思，其次因为定义解题。一般情况：第一问属于简单的应用，只要学会按照定义或者要求解题就行第二问属于灵活变通，需要我们理解定义并应用，同时要考虑到其他的数学知识解题考点三：韦达定理与新定义/阅读材料1．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”3．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式x-ax-bx的值为零，则解得x1=a，x2=(1)理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：(2)知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1(3)拓展提升：若关于x的方程4x-1=k-x的解为x4．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题：材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a-1=0，材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2-3a+1=0，b2-3b+2=0，将b请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：(1)已知实数a，ba≠b满足a2-(2)已知实数a，b满足3a2-5a+1=0，5.【例2】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．6．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）规定：若m+np（mn≠