2020-2021学年湖北省武汉市江汉区四校联盟九年级(下)月考数学模拟试卷

2020-2021学年湖北省武汉市江汉区四校联盟九年级（下）数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2 B．﹣2 C． D．02．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 B．买一张电影票，座位号是5的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球4．（3分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图所示物体的俯视图是（）A． B． C． D．6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x28．（3分）小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（）A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，连接OE．若cos∠ABC＝，则tan∠AEO的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2021次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2021次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C，E，F B．E，F C．C，E D．没有二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）化简二次根式的结果是．12．（3分）在某学校开展的艺术作品征集活动中，五个班上交的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是．13．（3分）计算﹣的结果是．14．（3分）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为．15．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四个结论：①abc＞0；②a＝＝﹣；③当﹣2≤x≤3时，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1没有实数根．其中正确结论的序号是．16．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕，AB＝4．设FC的长为t，用含有t的式子表示△AFE的面积是．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：[a2•a4﹣（3a3）2]•a3．18．（8分）如图，ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：DF﹣BG＝FG．19．（8分）麦当劳公司为扩大规模，占领市场，决定最新推出4种套餐，下面是该公司市场调研人员来到某校就A，B，C，D四种套餐在学生心中的喜爱程度进行的调查，询问了一部分同学，结果统计如图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）该公司一共询问了多少名同学？（2）通过计算把条形统计图补充完整；（3）已知该校有2000人，估计全校最喜爱B种套餐的人数是多少？20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），仅用无刻度的直尺在给定的12×8的网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）将线段AC绕点A逆时针旋转90°，画出对应的线段AD；（2）在x轴的正半轴上画点E，使∠ADE＝135°；（3）过点E画线段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，D为弧BC的中点．BC与AD相交于E，连接CD．（1）求证：CD2＝DE•DA；（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．22．（10分）为解决学生课桌桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元．设B种书挂袋为m只．（1）求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？（2）若王老师计划购买两种书挂袋的总费用不低于850元且不超过900元，则有几种购买方案？（3）已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元，目前正在对B种书挂袋进行促销活动：购买B种书挂袋数量不超过10只时，不优惠；购买B种书挂袋数量超过10只时，每超过1只，购买的所有B种书挂袋单价均降低0.1元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择A，B两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？23．（10分）已知E，F分别是四边形ABCD的BC，CD边上的点，且∠AEF＝90°．（1）如图1，若四边形是正方形，E是BC的中点，求证：；（2）若四边形ABCD是平行四边形，①如图2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；②如图3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，请直接写出＝．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2020-2021学年湖北省武汉市江汉区四校联盟九年级（下）数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2 B．﹣2 C． D．0【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤【解答】解：由题意得，1﹣2x≥0，解得x≤．故选：D．3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 B．买一张电影票，座位号是5的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球【解答】解：A、走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯，是随机事件；B、买一张电影票，座位号是5的倍数，是随机事件；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；D、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件；故选：D．4．（3分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意．故选：C．5．（3分）如图所示物体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，是一行3个全等的矩形，故选：C．6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝；故选：C．7．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，﹣5＜0＜2＜，∴x2＜x3＜x1，故选：B．8．（3分）小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（）A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米【解答】解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，∵小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，∴小元回到家时的时间为6×2＝12（分钟）则返回时函数图象的点坐标是（12，0）设后来乘出租车中S与t的函数解析式为S＝kt+b（k≠0），把（12，0）和（16，1280）代入得，，解得，所以S＝320t﹣3840；设步行到达的时间为t，则实际到达的时间为t﹣3，由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，解得t＝20．所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，连接OE．若cos∠ABC＝，则tan∠AEO的值为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OD，AD，∵AB为直径．∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB，设CD＝CD＝3x，∵cos∠ABC＝＝，∴AB＝AC＝5x，∴DO＝AO＝AB＝，∵cos∠ABC＝cos∠ACB＝＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝＝，∵AO＝BO，BD＝CD，∴DO∥AC，∴∠AOE＝∠DOE，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥DO，∴tan∠AEO＝tan∠DOE＝＝，故选：C．10．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2021次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2021次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C，E，F B．E，F C．C，E D．没有【解答】解：把棋子跳过的字母排成如下一列：BCDEFGABCDEFGABCDEFGABCDEFGA......，显然它的循环周期是7，棋子第n次跳到的位置是，当n＝1，2，3，4，5，6，7时，棋子跳到的位置依次是1，3，6，10，15，21，28，对应的字母依次是B，D，G，D，B，A，A，当n＞7时，设n＝m+7k，其中k，m都是正整数，且m＜7，，∵和都是整数，∴也是整数，∴当n＞7时，后面的位置都和n＜7的情况重复，∴不经过的位置有C，E，F．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）化简二次根式的结果是3．【解答】解：＝＝3．故答案为：3．12．（3分）在某学校开展的艺术作品征集活动中，五个班上交的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是46．【解答】解：将这五个数据从小到大排列得，42，45，46，50，50，处在中间位置的一个数是46，因此中位数是46，故答案为：46．13．（3分）计算﹣的结果是．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案为：．14．（3分）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为4或8．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝2，∴AE＝DE＝6，BE＝＝＝2，∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4或8；故答案为：4或8．15．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四个结论：①abc＞0；②a＝＝﹣；③当﹣2≤x≤3时，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1没有实数根．其中正确结论的序号是①③④．【解答】根据题意，如图①a＜0，对称轴在y轴的左侧，ab同号，b＜0，与y轴交于正半轴c＞0，abc＞0，正确，②对称轴x＝﹣＝﹣1，b＝2a，将点（2，0）代入抛物线得4a+2b+c＝0，解得c＝﹣8a，，错误，③当﹣2≤x≤3时，x＝﹣1时有最大值y＝＝b，x＝3时有最小值y＝b+3b﹣4b＝b，正确，④当x＝﹣1时，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，ax2+bx+c+4b＝1，得ax2+bx+c＝1﹣4b，将b＝2a，c＝﹣8a代入方程得，ax²+2ax﹣1＝0，Δ＝4a²+4a＝4（a+）²﹣1当x＝﹣1时，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，∴Δ＜0，∴ax2+bx+c＝1﹣4无实数根．正确．故答案为①③④16．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕，AB＝4．设FC的长为t，用含有t的式子表示△AFE的面积是．【解答】解：设AD＝x，由折叠可知，AD＝AF＝x，DE＝FE，∵FC＝t，AB＝4，∴BF＝x﹣t，CE＝4﹣DE，在Rt△CEF中，EF2＝CF2+CE2，∴DE2＝t2+（4﹣DE）2，∴DE＝，在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，∴x2＝42+（x﹣t）2，∴x＝，∴S△AEF＝S△ADE＝×AD×DE＝××＝，故答案为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：[a2•a4﹣（3a3）2]•a3．【解答】解：[a2•a4﹣（3a3）2]•a3＝（a6﹣9a6）•a3＝（﹣8a6）•a3＝﹣8a9．18．（8分）如图，ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：DF﹣BG＝FG．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵DF⊥AE，BG⊥AE，∴∠AFD＝∠AGB＝∠ADF+∠DAF＝90°，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ADF＝∠BAG，在△DAF和△ABG中，，∴△DAF≌△ABG（AAS），∴DF＝AG，AF＝BG，∴DF﹣BG＝AG﹣AF＝FG．19．（8分）麦当劳公司为扩大规模，占领市场，决定最新推出4种套餐，下面是该公司市场调研人员来到某校就A，B，C，D四种套餐在学生心中的喜爱程度进行的调查，询问了一部分同学，结果统计如图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）该公司一共询问了多少名同学？（2）通过计算把条形统计图补充完整；（3）已知该校有2000人，估计全校最喜爱B种套餐的人数是多少？【解答】解：（1）44÷44%＝100（名），答：该公司一共询问了100名同学；（2）B项目人数为100﹣（44+8+28）＝20（名），补全条形图如下：（3）2000×＝400（名），答：估计全校最喜爱B种套餐的人数是400名．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），仅用无刻度的直尺在给定的12×8的网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）将线段AC绕点A逆时针旋转90°，画出对应的线段AD；（2）在x轴的正半轴上画点E，使∠ADE＝135°；（3）过点E画线段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求作．（2）如图，点E即为所求作．（3）如图，线段EF即为所求作．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，D为弧BC的中点．BC与AD相交于E，连接CD．（1）求证：CD2＝DE•DA；（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．【解答】（1）证明：连接AC，如图，∵D为弧BC的中点，即＝，∴∠CAD＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDA，∴△DCE∽△DAC，∴＝，∴CD2＝DE•DA；（2）解：连接BD，如图，∵＝，∴∠DCB＝∠DBC，DC＝DB，∵AB为直径，∴∠ACE＝∠ADB＝90°，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝tan∠BCD＝＝，设DE＝x，则DB＝CD＝2x，∴BE＝＝x，∵CD2＝DE•DA，∴4x2＝x•DA，解得DA＝4x，∴AE＝AD﹣DE＝3x，∵∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴＝，即＝，解得AC＝x，在Rt△ABD中，AB＝＝2x，在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，∵∠CDA＝∠ABC，∴sin∠CDA＝．22．（10分）为解决学生课桌桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元．设B种书挂袋为m只．（1）求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？（2）若王老师计划购买两种书挂袋的总费用不低于850元且不超过900元，则有几种购买方案？（3）已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元，目前正在对B种书挂袋进行促销活动：购买B种书挂袋数量不超过10只时，不优惠；购买B种书挂袋数量超过10只时，每超过1只，购买的所有B种书挂袋单价均降低0.1元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择A，B两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得：，解得，答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元．（2）设购买A种书挂袋x只，则购买B种书挂袋（40﹣x）只，由题意得：，解得20≤x≤30，因为x是正整数，所以有11种购买方案．（3）设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为（40﹣m）只，根据题意可知：①当m≤10只时，文具店的利润为：（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m＝160+3m，∴当m＝10只时，利润最大为190元；②当m＞10只时，文具店的利润为：（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m﹣m（m﹣10）×0.1＝﹣0.1m2+4m+160＝﹣0.1（m﹣20）2+200，∵a＝﹣0.1＜0，∴当m＝20只时，文具店的最大利润为200元，此时A为20只．∵200＞190，∴A、B两种书袋均取20只．答：当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元．23．（10分）已知E，F分别是四边形ABCD的BC，CD边上的点，且∠AEF＝90°．（1）如图1，若四边形是正方形，E是BC的中点，求证：；（2）若四边形ABCD是平行四边形，①如图2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；②如图3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，请直接写出＝．【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，∵E是BC中点，∴BE＝CE＝2a，∵AB＝CD＝4a，∴，∴CF＝a，∴DF＝CD﹣CF＝3a，∴＝＝；（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，，E是BC的中点，∴＝，∴DF＝BC，如图2，在DC的延长线上取一点H，使EH＝EC，则∠EHC＝∠ECH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECH，∵∠ECH＝∠EHC，∴∠EHC＝∠D＝∠H，∴∠AFE＝∠D，∴∠EFH＝∠FAD，∴△EFH∽△FAD，∴＝，∴＝＝，设EF＝4k，AF＝5k，∵∠AEF＝90°，∴AE＝＝＝3k，∴cos∠EAF＝＝；②∵AB＝BC，∠AFE＝，∴＝，如图3中，在AD上取点P使得FP＝DF，∴∠D＝∠DPF，∵∠DPF＝180°﹣∠APF，∠D＝180°﹣∠C，∴∠C＝∠APF，∴△APF∽△FC