2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高一下学期期末教学质量调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高一下学期期末教学质量调研测试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本试卷主要命题范围：必修第一册第五章三角函数，必修第二册全部.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,则对应的点为，故在第三象限，故选:C2.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设制作扇子的扇形面积为,圆面中剪去部分面积为，当时，扇面看上去形状较为美观，那么此时制作扇子扇形的圆心角的度数约为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，与所在扇形的圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，故选：3.设、、是直线，则（）A.若，，则B.若与所成的角等于与所成的角，则C.若，，则D.若，则与、与所成的角相等〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若，，则与平行、异面或相交，A错；对于B选项，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、异面或相交，B错；对于C选项，若，，则与平行、异面或相交，C错；对于D选项，若，则与、与所成的角相等，D对.故选：D.4.的三个内角分别为，，，若，则A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，，所以，.因为角为三角形的内角，所以，所以，故选B.5.如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，.故选B.6.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，所以应有5个数不大于4.5，则，故选：A．7.在中，下列说法错误的是（）A.“”是“A为直角”的充要条件B.“”是“A为锐角”的充要条件C.“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件D.“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件〖答案〗C〖解析〗对于A中，由，可得，平方可得，解得，所以，所以为直角，即充分性成立；若为直角，可得，所以，则，即，所以必要性也成立，所以A正确；对于B中，由，可得，可得，所以为锐角，所以充分性成立，当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确；对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误；对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立，当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立，所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确.故选：C.8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为2〖答案〗D〖解析〗因为平面，平面，所以，又因为，，所以，因此，于，圆锥体积为，因此选项A不正确；圆锥的侧面积为，因此选项B不正确；连接，设的中点为，所以因为为底面直径，所以，因此有，因为，的中点为，所以，因为二面角为，所以，于是有，于是有，因此，因此选项C不正确；的面积为，因此选项D正确，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的最大值为1，最小值为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以的最大值为1，最小值为，故B正确；因为，所以的图象关于点对称，故C错误；因为，所以的图象关于点对称，故D正确；故选：ABD10.设集合，，分别从集合和中随机取一个元素与.记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由题意，点的所有可能情况为、、、、、、、、、、、，共个基本事件，则事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以.综上可得，当或时，.故选：BC.11.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是（）A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率〖答案〗ABC〖解析〗由甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，知：对于A，由于乙班的学生总数不确定，从而无法判断甲班成绩优良人数是否超过了乙班成绩优良人数，故A不一定正确；对于B，根据优级良率和及格率不能判断两个班的平均成绩的高低，故B不一定正确；对于C，一次成绩不能判定发挥是否稳定，故C不一定正确；对于D，甲班不及格率为：，乙班不及格率为，甲班不及格率高于乙班不及格率，故D正确．故选：ABC．12.如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（）A.B.与所成角为C.是等边三角形D.与平面所成的角为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示，对于A，取的中点，连接，，，折叠后，是等腰直角三角形，，，又，平面,平面，平面，，故A正确；对于C，设折叠前正方形的边长为，则，，由平面平面，是的中点，是等腰直角三角形，，又平面平面，平面，平面，平面，，，是等边三角形，故C正确；对于B，设折叠前正方形的边长为，则取的中点，的中点，连接，，，，，，，是与所成的角（或所成角的补角），在中，，是等边三角形，，与所成的角大小为，故B错误；对于D，由B选项知，平面，是直线在平面内的射影，直线与平面所成角，是的中点，是等腰直角三角形，，，是等腰三角形，，与平面所成角为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）______．844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211〖答案〗169，105，071，286，443〖解析〗根据随机数表法中数据的读取规则与方法，可得最先检验的5袋牛奶的号码是：169，105，071，286，443.故〖答案〗为：169，105，071，286，443.14.如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数〖解析〗式是________.〖答案〗y＝2sin〖解析〗A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝＝，∴y＝2sin，将(0.1,2)代入得：×0.1＋φ＝，∴φ＝，∴y＝2sin.15.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则__________．〖答案〗3〖解析〗如图所示，建立平面直角坐标系．A（1，0）．与的夹角为，且，得到可得：利用，

解得：故.

即〖答案〗为3．16.三棱锥三条侧棱，，互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由空间四个点同一球面上，，，互相垂直，且，则，，可看成是正方体的一个顶点的三条棱，所以过空间四个点的球面即为正方体的外接球，球的直径即为正方体的对角线，设外接球的球心为，球的半径为，可得，解得，即，如图所示，在正方体中，可得平面，设交平面于点，因为，可得，所以，由，可得，解得，所以，可得球心到平面的距离为，所以球面上的点到平面的距离的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．解：（1）依题意，因为，所以，因为|，所以，所以.（2）因为，，所以.令与的夹角为θ，则，所以向量与夹角的余弦值是.18.在①f(x)的图像关于直线对称，②f(x)的图像关于点对称，③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.已知函数的最小正周期不小于，且___________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3？注∶如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：由于函数的最小正周期不小于，所以，所以，，若选择①，即的图像关于直线对称，有，解得，由于，，，所以，，此时，，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，不符合题意.故不存在正实数a，使得函数在上有最大值若选择②，即的图象关于点对称，则有，解得，由于，，，所以，此时，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，不符合题意.故不存在正实数a，使得函数在上有最大值3；若选择③，即在上单调递增，则有，解得，由于，，，所以，此时，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，符合题意.故存在正实数，使得函数在上有最大值19.△的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．解：（1）由题设，，则，∴，，则，又，故，即.∴.（2），而且，∴，△为锐角三角形，即，∴，则.20.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.（1）若M是FC的中点，求证：直线//平面；（2）求证：BD⊥；（3）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.（1）证明：因为,分别为中点，所以//又，所以.（2）证明：因为，且所以又所以（3）解：直线与直线不能垂直因为,,,，所以.因为，所以，又因为，所以.假设，因为，，所以，所以，这与为锐角矛盾所以直线与直线不能垂直.21.已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼共2000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目后，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，记录获取的数据如下：鲤鱼：60，72，72，76，80，80，88，88，92，92；鲫鱼：16，17，19，20，20，20，21，21，23，23．（1）根据上述数据计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；（2）为了估计池塘中鱼的总质量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重，鱼的质量位于区间（单位：）上，将测量结果按如下方式分成九组：第一组，第二组，…，第九组．按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．①估计池塘中鱼的质量在及以上的条数；②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量．解：（1）根据数据计算可知，有记号的鲤鱼数目的平均数为，有记号的鲫鱼数目的平均数为，由题意，估计池塘中鱼的总数目为，则估计鲤鱼数量为，鲫鱼的数量为（2）①根据题意，结合直方图可知，池塘中鱼的质量在及以上的条数约为．②设第二组鱼的条数为，则第三、四组鱼的条数分别为，，因为第二组、第三组和第四组的频率和为，则有，解得．故第二、三、四组的频率分别为，它们在频率分布直方图中对应的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44，据此可将频率分布直方图补充完整（如图）．③最高小矩形对应的区间为，这个区间的中点为2.25．样本平均数的近似值为．所以估计池塘中鱼的质量的众数为2.25，鱼的总质量为22.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）==0．05.（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==0．45.（3）事件G={摸出3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．则一天可赚，每月可赚1200元．山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高一下学期期末教学质量调研测试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本试卷主要命题范围：必修第一册第五章三角函数，必修第二册全部.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,则对应的点为，故在第三象限，故选:C2.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设制作扇子的扇形面积为,圆面中剪去部分面积为，当时，扇面看上去形状较为美观，那么此时制作扇子扇形的圆心角的度数约为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，与所在扇形的圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，故选：3.设、、是直线，则（）A.若，，则B.若与所成的角等于与所成的角，则C.若，，则D.若，则与、与所成的角相等〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若，，则与平行、异面或相交，A错；对于B选项，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、异面或相交，B错；对于C选项，若，，则与平行、异面或相交，C错；对于D选项，若，则与、与所成的角相等，D对.故选：D.4.的三个内角分别为，，，若，则A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，，所以，.因为角为三角形的内角，所以，所以，故选B.5.如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，.故选B.6.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，所以应有5个数不大于4.5，则，故选：A．7.在中，下列说法错误的是（）A.“”是“A为直角”的充要条件B.“”是“A为锐角”的充要条件C.“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件D.“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件〖答案〗C〖解析〗对于A中，由，可得，平方可得，解得，所以，所以为直角，即充分性成立；若为直角，可得，所以，则，即，所以必要性也成立，所以A正确；对于B中，由，可得，可得，所以为锐角，所以充分性成立，当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确；对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误；对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立，当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立，所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确.故选：C.8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为2〖答案〗D〖解析〗因为平面，平面，所以，又因为，，所以，因此，于，圆锥体积为，因此选项A不正确；圆锥的侧面积为，因此选项B不正确；连接，设的中点为，所以因为为底面直径，所以，因此有，因为，的中点为，所以，因为二面角为，所以，于是有，于是有，因此，因此选项C不正确；的面积为，因此选项D正确，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的最大值为1，最小值为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以的最大值为1，最小值为，故B正确；因为，所以的图象关于点对称，故C错误；因为，所以的图象关于点对称，故D正确；故选：ABD10.设集合，，分别从集合和中随机取一个元素与.记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由题意，点的所有可能情况为、、、、、、、、、、、，共个基本事件，则事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以.综上可得，当或时，.故选：BC.11.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是（）A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率〖答案〗ABC〖解析〗由甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，知：对于A，由于乙班的学生总数不确定，从而无法判断甲班成绩优良人数是否超过了乙班成绩优良人数，故A不一定正确；对于B，根据优级良率和及格率不能判断两个班的平均成绩的高低，故B不一定正确；对于C，一次成绩不能判定发挥是否稳定，故C不一定正确；对于D，甲班不及格率为：，乙班不及格率为，甲班不及格率高于乙班不及格率，故D正确．故选：ABC．12.如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（）A.B.与所成角为C.是等边三角形D.与平面所成的角为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示，对于A，取的中点，连接，，，折叠后，是等腰直角三角形，，，又，平面,平面，平面，，故A正确；对于C，设折叠前正方形的边长为，则，，由平面平面，是的中点，是等腰直角三角形，，又平面平面，平面，平面，平面，，，是等边三角形，故C正确；对于B，设折叠前正方形的边长为，则取的中点，的中点，连接，，，，，，，是与所成的角（或所成角的补角），在中，，是等边三角形，，与所成的角大小为，故B错误；对于D，由B选项知，平面，是直线在平面内的射影，直线与平面所成角，是的中点，是等腰直角三角形，，，是等腰三角形，，与平面所成角为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）______．844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211〖答案〗169，105，071，286，443〖解析〗根据随机数表法中数据的读取规则与方法，可得最先检验的5袋牛奶的号码是：169，105，071，286，443.故〖答案〗为：169，105，071，286，443.14.如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数〖解析〗式是________.〖答案〗y＝2sin〖解析〗A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝＝，∴y＝2sin，将(0.1,2)代入得：×0.1＋φ＝，∴φ＝，∴y＝2sin.15.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则__________．〖答案〗3〖解析〗如图所示，建立平面直角坐标系．A（1，0）．与的夹角为，且，得到可得：利用，

解得：故.

即〖答案〗为3．16.三棱锥三条侧棱，，互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由空间四个点同一球面上，，，互相垂直，且，则，，可看成是正方体的一个顶点的三条棱，所以过空间四个点的球面即为正方体的外接球，球的直径即为正方体的对角线，设外接球的球心为，球的半径为，可得，解得，即，如图所示，在正方体中，可得平面，设交平面于点，因为，可得，所以，由，可得，解得，所以，可得球心到平面的距离为，所以球面上的点到平面的距离的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．解：（1）依题意，因为，所以，因为|，所以，所以.（2）因为，，所以.令与的夹角为θ，则，所以向量与夹角的余弦值是.18.在①f(x)的图像关于直线对称，②f(x)的图像关于点对称，③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.已知函数的最小正周期不小于，且___________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3？注∶如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：由于函数的最小正周期不小于，所以，所以，，若选择①，即的图像关于直线对称，有，解得，由于，，，所以，，此时，，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，不符合题意.故不存在正实数a，使得函数在上有最大值若选择②，即的图象关于点对称，则有，解得，由于，，，所以，此时，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，不符合题意.故不存在正实数a，使得函数在上有最大值3；若选择③，即在上单调递增，则有，解得，由于，，，所以，此时，由，得，因此当，即时，取得最大值，令，解得，符合题意.故存在正实数，使得函数在上有最大值19.△的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．解：（1）由题设，，则，∴，，则，又，故，即.∴.（2），而且，∴，△为锐角三角形，即，∴，则.20.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.（1）若M是FC的中点，求证：直线//平面；（2）求证：BD⊥；（3）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.（1）证明：因为,分别为中点，所以//又，所以.（2）证明：因为，且所以又所以（3）解：直线与直线不能垂直因为,,,，所以.因为，所以，又因为，所以.假设，因为，，所以，所以，这与为锐角矛盾所以直线与直线不能垂直.21.已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼共2000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目后，立即放回池塘中．这样的记