《基础数学（第1册）（第2版）》（史旭东）教案 第四章教案 4.6 三角函数的图像和性质

课题三角函数的图像和性质课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解正弦函数的图像和性质；（2）理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；（3）了解余弦函数的图像和性质；（4）识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；（5）会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；（6）通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．思政育人目标：培养学生丰富知识和精湛技能的同时，培养学生“爱岗敬业、尊重平等、诚信严谨、友善关爱、团队协作”的职业素养，实现在课堂教学主渠道中全方位、全过程、全员立体化育人．教学重难点教学重点：正弦函数的图像及性质；用“五点法”作出函数y=sinx在上的简图．教学难点：周期性的理解．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；（5）观察类比得到余弦函数的性质．教学设计第1节课：→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（20min）→课堂练习（5min）→纠错记忆（5min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家扫码观看“小实验：利用单摆运动画出正弦曲线”视频以，并预习有关正弦函数、余弦函数的知识。小实验：利用单摆运动画出正弦曲线【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学本节课的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】提出以下问题：观察如图4-19所示的钟表，当前显示的时间为10点10分整，那么12

h之后，钟表显示的时间会是多少？再过12

h呢？钟表每隔12

h显示的时间有什么规律？这样的规律若反映在正弦函数上，表现的是正弦函数的什么性质？图4-19【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解正弦的图像和性质【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解正弦函数的图像正弦函数的定义域为实数集R．这里先用描点法作出它在区间上的图像．将区间分成8等份，分别求出函数在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表4-6所示．以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在上的图像，如图4-20所示．图4-20观察发现，正弦函数在上的图像有五个关键点，分别为，，，，．在平面直角坐标系中，描出这五个点后，正弦函数在上的图像形状就基本确定了．因此，当绘图精度要求不高时，经常先描出这五个关键点，然后用光滑的曲线将这些点依次连接起来，从而得到正弦函数在上的简图．这种作图方法称为“五点法”．根据终边相同的角的正弦函数值相等，即，可知，正弦函数在区间，，，，，，上的图像，都与它在区间上的图像形状完全相同，只是位置不同而已．我们将正弦函数在上的图像向左或向右平移2π，4π，6π，个单位，就得到了在R上的图像，如图4-21所示．正弦函数的图像称为正弦曲线．图4-21由正弦曲线可知，正弦函数主要具有以下性质．（1）定义域．正弦函数的定义域为R，即．（2）值域．正弦函数的值域为．当时，取得最大值1；当时，取得最小值．（3）周期性．一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域D内的每一个值时，都有，并且成立，那么函数称为周期函数，非零常数T称为这个函数的一个周期．由于正弦函数的定义域为R，对于任意的，都有，并且成立，因此正弦函数是周期函数，以及都是它的周期．在周期函数的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那么就将它称为最小正周期（习惯上直接简称为周期）．故正弦函数的周期为．（4）奇偶性．正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数是奇函数．（5）单调性．当x由增大到时，正弦曲线逐渐上升，的值由增大到1；当x由增大到时，正弦曲线逐渐下降，的值由1减小到．根据周期性可知，正弦函数在每一个区间上都是增函数，其函数值由增大到1；在每一个区间上都是减函数，其函数值由1减小到．【学生】记笔记、思考、聆听【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1利用“五点法”作出函数在上的图像．例1表4-7x012表4-7x012101以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在上的图像，如图4-22所示．图4-22例2已知，求a的取值范围．例2解已知，可得的取值范围为，解不等式得．因此，a的取值范围为．例3求使函数取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．例3解设，则使函数取得最大值1的集合是．由，可得．故所求集合为的最大值为1．【学生】聆听、思考、练习【头脑风暴】【教师】提出问题为什么在正弦函数取最小值时我们用，而不是，尽管我们研究的区间是？【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】总结学生的回答【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生了解正弦函数的图像与性质根据知识点讲解相应的例题，加深学生对知识的理解和掌握引导学生体会换元数学方法思想课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．用“五点法”作出函数在上的图像．2．已知，求a的取值范围．3．求使函数取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况讨论归纳（8min）【教师】提出问题在上根据正弦函数图像分象限总结函数的增减性，正负性【学生】聆听、思考、同桌讨论【教师】与学生一起讨论，并进行归纳出“一四增，二三减’“一二正，三四负”通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课课前任务（5min）【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家回忆正弦函数的六条性质，对比余弦函数进行总结，并预习本节课内容。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解上节课的内容，为下一节课做铺垫问题导入（5min）【教师】提出问题：我们知道钟表每隔12h显示的时间都是相同的，有周期性规律，而这一规律恰好也是正弦函数的性质之一，那么余弦函数是否有与正弦函数相似的规律呢？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解余弦函数图像和性质【知识精讲】【教师】举例讲解余弦函数图像首先用描点法作出余弦函数在区间上的图像．将区间分成8等份，分别求出函数在各分点及区间端点的函数值，然后列出表格，如表4-8所示．表4-8以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在上的图像，如图4-23所示．图4-23观察发现，余弦函数在上的图像有五个关键点，分别为，，，，．在直角坐标系中，描出这五个点后，余弦函数在上的图像形状就基本确定了．因此，当绘图精度要求不高时，可用“五点法”作出余弦函数在上的简图．根据终边相同的角的余弦函数值相等，我们将余弦函数在上的图像向左或向右平移个单位，就得到了在R上的图像，如图4-24所示．余弦函数的图像称为余弦曲线．图4-24观察图4-25所示的正弦曲线与余弦曲线，它们之间存在什么联系？图4-25通过对比和在R上的图像可以发现，的图像可由的图像平移得到，即将的图像向左平移个单位便可得出的图像．综上可知，余弦函数主要具有如下性质．（1）定义域．余弦函数的定义域为R，即．（2）值域．余弦函数的值域为．当时，取得最大值1；当时，取得最小值．（3）周期性．余弦函数是周期为的函数．（4）奇偶性．余弦曲线关于y轴对称，因此余弦函数是偶函数．（5）单调性．当x由0增大到时，余弦曲线逐渐下降，的值由1减小到；当x由增大到时，余弦曲线逐渐上升，的值由增大到1．根据周期性可知，余弦函数在每一个区间上都是增函数，其函数值由增大到1；在每一个区间上都是减函数，其函数值由1减小到．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例4利用“五点法”作出函数在上的图像．例4解按五个关键点列出表格，如表4-9所示．以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在上的图像，如图4-26所示．图4-26例5例5解设，则使函数取得最大值1的集合是，由 ，可得 ．故所求集合为的最大值为1．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握余弦函数图像与性质根据知识点讲解相应的例题，加强学生对知识的巩固和理解培养学生数学中的换元思想课堂练习（5min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情纠错记忆（5min）【教师】对学生进行同桌互助纠错（学困生回答）：纠错问题一：在，正弦函数同正同增的象限，同负同减的象限．纠错问题一：在，余弦函数同正同增的象限，同负同减的象限．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错【教师】与学生一起纠错，并进行总结通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？本节课学习了正余弦函数的图像与性质，重点内容是五点法做函数的图像，并根据图像总结性质。*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？【学