《高等应用数学》（曾慧平）教案 第三章 导数的应用 3.4曲率

课题曲率课时1课时（45min）第26课时教学目标知识技能目标：（1）理解曲率的概念。（2）掌握曲率的计算公式。（3）掌握曲率圆和曲率半径的计算。素质目标：（1）培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力．（2）培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力．（3）养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度．教学重难点教学重点：曲率的概念和计算公式教学难点：曲率圆和曲率半径的计算教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（18min）→解题技巧归纳（5min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→布置作业教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家预习本节课内容。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学课知识的重要性，增加学生的学习兴趣考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（2min）【教师】提出以下问题：回忆二阶求导的方法与计算公式？【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（24min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式知识点曲率的概念❖【教师】介绍曲率的定义如图3-11所示，设，B是光滑曲线上的两点，弧段的长度为，曲线在点处的切线倾斜角为，在点B处的切线倾斜角为．当点移动到点B时，切线转过的角度为．我们用比值（即单位弧段上切线转过的角度）来表达弧段的平均弯曲程度．图3-11记，称为弧段的平均曲率．记，称为曲线在点处的曲率．在存在的条件下，也可以表示为．此式说明曲线在点A处的曲率可表示为转角微分与弧微分之比，其中弧微分．❖【学生】聆听、理解❖【教师】讲解例题图3-12例1如图3-12所示，设点为半径为的圆上的任意两点，圆在点处的切线所夹的角为，求该圆在各点处的曲率．图3-12知识点曲率的计算公式❖【教师】介绍曲率的计算公式设曲线的函数为，且具有二阶导数．因为，上式两边取微分得，所以．已知，从而得曲率的计算公式，即．❖【学生】聆听、理解、记忆公式❖【教师】讲解例题例2计算双曲线在点处的曲率．❖【学生】聆听、理解、演算3.4.2曲率圆与曲率半径知识点曲率圆与曲率中心❖【教师】介绍曲率圆与曲率中心的定义如图3-13所示，设曲线在点处的曲率为()．在点处曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使．以点为圆心，为半径作圆，这个圆称为曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率中心，曲率圆的半径称为曲线在点处的曲率半径．曲线在点处的曲率()与曲线在点处的曲率半径有如下关系：．图3-13❖【学生】聆听、理解❖【教师】讲解例题图3-14例3如图3-14所示，设工件内表面的截线为抛物线．现要用砂轮磨削其内表面，问选用砂轮的直径为多大时才比较合适？图3-14【学生】聆听、思考、演算、对比演算步骤和结果通过教师讲解和例题分析，使学生理解曲率的概念并理解曲率圆与曲率半径的几何意义，掌握实际问题中求曲线的长度解题技巧归纳（5min）【教师】提炼知识1．．2．以“曲”代“直”的思路【学生】聆听，记笔记通过提炼知识点有利于提升学生学习的高效性强化练习（10min）【教师】通过APP发送强化练习作业题，并点名部分学生进行板演1．求下列曲线在指定点处的曲率和曲率半径．（1）在点处； （2）在点处．2．曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．3．设工件内表面的截线为抛物线，用砂轮磨削其内表面，问应选用多大直径的砂轮可得到较好的磨削结果？对比自己的计算结果，查找易错点，提升解题水平通过强化练习，使学生巩固所学知识，并以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了曲率的概念和计算公式，曲率圆与曲率半径的定义及计算。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，能够熟练掌握曲率圆和曲率半径的计算。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生对曲率相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中小节作业3.4中与本课相关的习题本课作业布置二维码老师扫描此码，即可进行线上作业布置【学生】完成课后任务通过课后作业复习巩固学到