《基础数学（第1册）（第2版）》（史旭东）教案 第三章教案 3.4函数的应用

课题函数的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；（3）了解实际问题中的一次函数、二次函数、分段函数问题．（4）会求分段函数的定义域和分段函数在点处的函数值；（5）掌握分段函数的作图方法；（6）能建立简单实际问题的一次函数、二次函数、分段函数的关系式．思政育人目标：培养学生丰富知识和精湛技能的同时，培养学生“爱岗敬业、尊重平等、诚信严谨、友善关爱、团队协作”的职业素养，实现在课堂教学主渠道中全方位、全过程、全员立体化育人。教学重难点教学重点：分段函数的概念；分段函数的图像．教学难点：建立实际问题的分段函数关系；分段函数的图像．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣；（2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．教学设计第1节课：→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（20min）→课堂练习（5min）→纠错记忆（5min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家回忆一次函数和二次函数的图像与性质。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解本节课的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】提出以下问题：在我们的日常生活中，经常会遇到已知某些条件求解变量的实际问题，如购买商品、泳池加水、出租车计费、个人所得税计算等，若能建立合适的函数模型，便能高效地解决这些问题．那么你在生活中遇到过哪些可以通过建立函数模型来解决的问题？你觉得生活中哪些地方用到了函数？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解一次函数、二次函数的实际应用【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解一次函数的实际应用一次函数的应用常见于商品价格计算、弹簧伸缩长度计算、排水量计算、海拔高度计算等问题中，变量之间关系通常可用解析式建立函数模型．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1某公司要用1

000元的预算购买一批2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的钥匙扣送给员工，花131元可购买2个，花247元可购买4个，价格中均包含了相同的邮费．若钥匙扣的总价y（元）是单价x（个）的一次函数，则这个函数的解析式该如何表示？该公司的预算最多可以购买多少个钥匙扣例1解根据条件，总价y（元）是物品单价x（件）的一次函数，则可设解析式为．由于当时，，当时，，因此代入解析式可得解得因此这个函数的解析式为．又因为，即，得，由于x必为整数，所以总价y（元）与物品单价x（个）之间的函数模型可表示为．由此得知该公司的预算最多可以购买16件．【学生】聆听、思考、练习【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解一次函数的实际应用二次函数的应用常见于面积计算、落地及升空高度计算、销售利润计算、汽车过隧道的隧道高度计算等问题中，变量之间关系通常可用解析式建立函数模型．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例2某农业示范村要建一个新的矩形养鸡场，养鸡场需要建造围栏，围栏材料共有100m例2根据条件可知，这是一个可用二次函数解决的问题．设养鸡场的围栏宽度为，面积为，则围栏长度为，且．围栏面积与围栏宽度的解析式为．由可知，，因此可得．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握一次函数、二次函数的实际应用课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．现要给一个泳池匀速加水，已知泳池的最大容量为225

，上水前泳池中已有50

的水，加水20

min后，泳池中有120

的水．若泳池内的水量y（）是加水时间x（min）的一次函数，这个函数的解析式是什么？若要将水加至泳池的最大容量，需要加水多长时间？2．一辆满载货物的汽车要通过一个隧道，隧道横截面为抛物线形，隧道底部宽4m，顶部距地面4.4m，车上货物的顶部距地面2.7m，宽度为2.4m，请建立二次函数模型判断这辆汽车能否通过隧道．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况讨论归纳（8min）【教师】提出一个实际问题如何去建立一个简单的函数模型叫数学建模思想，生活中有哪些建模的实际例子，分组讨论。【学生】聆听、思考、同桌讨论【教师】与学生一起讨论，并进行归纳通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课课前任务（5min）【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家观看视频“身边的分段函数”，并预习本节课内容。身边的分段函数【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解上节课的内容，为下一节课做铺垫问题导入（5min）【教师】提出问题：我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：用水量不超过10部分超过10部分收费（元／）1.302.00污水处理费（元／）0.300.80那么，每户每月用水量（）与应交水费（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解分段函数的概念和性质【知识精讲】【教师】举例讲解分段函数的概念在我们的日常生活中，电费、水费、出租车费、航空行李托运费、通信费、银行利息、个人所得税等的计费方式，都有一个共同的特征，那就是不同取值范围内的计费方式有所不同，可以分段用不同的函数来表示，那么这种函数有什么特点？又要如何应用呢？下面我们先观察以下函数可以看出，这个函数在自变量x的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，我们将这种函数称为分段函数．分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．例如，上面函数的定义域为．求函数值时，应先判断所属的取值范围，再把代入对应的函数解析式中进行求解．作分段函数的图像时，要在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同取值范围内，根据对应的函数解析式作出相应部分的图像．．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3某厂对每月用电不超过100度的职工的收费办法是：当用电不超过50度时，按每度0.6元收费；当用电超过50度时，其中前50度仍按原标准收费，超过部分按每度0.8元收费，试写出职工每月用电不超过100例3解设职工每月的用电量为x（度），应缴纳的电费为y（元）．由题意知，当用电量x在不同的取值范围内时，收费标准是不同的，具体如表3-6所示．综合以上两种情况，可以得到职工每月用电量不超过100度时应缴纳的电费y（元）与用电量x（度）之间的函数解析式为例4某市通信营业厅为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：固定月租费用为10元；每月拨打市内电话不超过120min时，每分钟收费0.2元；超过120min时，超过部分每分钟收费0.1元；不足1min按1min计费．请写出某用户一个月的市内电话费y（元）与拨打时间x（min例4由题意知，当拨打时间x在不同范围内时，收费标准是不同的，具体如表3-7所示．综合以上两种情况，可以得到某用户一个月的市内电话费y（元）与拨打时间x（min）之间的函数解析式为函数的图像如图3-17所示．当时，图像是线段AB（包含端点A和端点B）；当时，图像是一条以点B为起点的射线（不含端点B）图3-17【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握分段函数的性质课堂练习（5min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．设函数（1）求函数的定义域；（2）求，，的值；（3）作出函数的图像．2．旅客携带行李乘坐某班飞机时，托运行李的质量若不超过，则不收费；若超过，则每超过收运费10元；若超过，则每超过收费25元，托运行李的总质量不得超过，试求运费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数解析式，并作出函数图像．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情纠错记忆（5min）【教师】对学生进行同桌互助纠错（学困生回答）：一．了解分段函数图像的做法．因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．课堂中问题的解答（找出错误）分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表：用水量/水费/元书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作则，对不对？【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错【教师】与学生一起纠错，并进行总结通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对分段函数相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业（1）