《基础数学（第1册）（第2版）》（史旭东）教案 第三章教案 3.1函数的概念及表示法

课题函数的概念及其表示法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解函数的定义；（2）理解函数值的概念及表示；（3）理解函数的三种表示方法；（4）掌握利用“描点法”作函数图像的方法；（5）通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；（6）通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；（7）会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．思政育人目标：培养学生丰富知识和精湛技能的同时，培养学生“爱岗敬业、尊重平等、诚信严谨、友善关爱、团队协作”的职业素养，实现在课堂教学主渠道中全方位、全过程、全员立体化育人。教学重难点教学重点：函数的概念；利用“描点法”描绘函数图像．教学难点：对函数的概念及记号的理解；利用“描点法”描绘函数图像．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.教学设计第1节课：→→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（20min）→课堂练习（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家扫码观看“生活中的变量间关系“视频，并预习有关函数的知识。生活中的变量间关系【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学本节课的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况新课预热（5min）【教师】与学生简单互动，介绍本章内容、考试要求、考核标准等【学生】聆听、互动【教师】介绍函数在生活实际中的作用我们去商场买东西时，应付款会随购买物品的种类和数量变化；我们坐车时，车费会随时间和路程的长短发生变化；我们运动时，消耗的热量会随运动的强度和时间发生变化．这些相互依赖与制约的变量关系间存在着各种规律，理解并掌握这些规律，能够为我们的生产和生活带来便利与进步，而函数就是帮助我们认识这些规律、解锁变量间关系的密钥？【学生】聆听、记录、理解通过老师自我介绍，与学生相互熟悉，并让学生了解这章内容的大致要求问题导入（5min）【教师】提出以下问题：2019年6月5日，我国首次在海上成功发射运载火箭．火箭上升过程中，其离地高度会随时间的变化而变化；火箭外的温度和气压也会随其离地高度的变化而变化．除这些以外，这个过程中还有很多存在相互影响，且其影响具有一定规律的变量，这些变量间的关系可以用什么来反映呢？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解函数的概念【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解函数的概念事实上，现实生活中有许多运动变化现象都可以表示为变量间的对应关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也随之变化，将这些变化用数学语言反映出来就是我们要研究的函数．设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量x的取值范围是数集D，如果对于数集D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，就将y称为x的函数，记作，．其中，x称为自变量，x的取值范围（即数集D）称为函数的定义域．当时，函数对应的值称为函数在点处的函数值，记作．例如，函数在处的函数值为．当自变量x取遍定义域D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域．与初中时学过的函数定义相比，该定义从集合的观点出发，强调了函数的定义域与对应法则，更加完善，且更具有一般性．函数的定义中有三个要素，即定义域、对应法则和值域．当函数的定义域和对应法则确定以后，函数的值域也就随之确定了，因此，我们将定义域和对应法则称为确定一个函数的两个关键要素．可见，判断两个函数是否相同，只需要看它们的定义域和对应法则就可以了，也就是说，如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，就认为这两个函数是相同函数与表示的是同一个函数．在研究函数时，除用符号表示函数外，还常用，，，，，等符号表示函数．如果函数没有明确给出其定义域，那么函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量可取的所有实数的集合．但在实际应用问题中，函数的定义域还要根据自变量的实际意义来确定．例如，圆的面积S是半径r的函数，即．由实际意义可知，半径，即函数的定义域为．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1例1； （2）； （3）解（1）由于自变量取任意实数时，函数都有意义，所以这个函数的定义域为实数集R，即．（2）要使函数有意义，必须使，解不等式得或，所以函数的定义域为．（3）要使函数有意义，必须使，即，所以函数的定义域为．例2设，求，，，例2解；；；．例3下列各函数与是不是同一个函数？为什么？例3（1）； （2）解（1）函数的定义域为，而函数的定义域为实数集R，它们的定义域不同，因此不是同一个函数．（2）函数，它与函数的定义域相同，都是实数集R，对应法则也相同，因此它们是同一个函数．【学生】聆听、思考、记忆【头脑风暴】【教师】提出问题请同学们收集并查阅函数形成和发展的相关资料，思考函数的概念是如何被不断精炼和深化的．函数与是同一个函数吗？为什么？与的意义相同吗？【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】总结学生的回答【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生了解函数的概念课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．求下列函数的定义域．（1）； （2）．2．设，求，，，3．判断下列函数与是否为同一函数，并说明原因．（1）； （2）．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况纠错记忆（8min）【教师】对学生进行同桌互助纠错（学困生回答）：下列关于集合的说法正确吗？如果不正确，请指出错误之处并说明原因．（1）函数与是同一个函数；（2）如果两个函数的定义域和对应法则都相同，则值域一定相同；（3）在求函数定义域时，以下步骤是否正确要使函数有意义，必须使，解不等式得，即；所以函数的定义域为．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错【教师】与学生一起纠错，并进行总结通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课课前任务（5min）【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家回忆函数的两要素，记忆函数定义域的几种情况，并预习本节课内容。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望问题导入（5min）【教师】提出问题：商场售卖某款衣服，一件50元，那么该如何清晰明了地反映出购买这款衣服时的应付款与购买件数之间的关系呢？对于这种情况，只需要设应付款为y（元），购买件数为x（件），用就能够清晰地反映出二者的关系．【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解函数的解析法【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解函数的解析法像这样，用等式来表示两个变量间函数关系的方法称为解析法，这个等式称为函数的解析式．例如，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等都是用解析法来表示的函数．用解析法表示函数简单明了，容易根据自变量求出对应的函数值，便于研究函数的性质，但不够直观．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1一辆火车驶出100km后开始匀速行驶，行驶速度为200km/h，预计匀速行驶时间为4h，请列出该火车行驶的总路程s（km）与匀速行驶时间t（h例1解由题意可知，函数的定义域为，函数的解析式为，故用解析法表示该函数应为，．【学生】聆听、思考、记忆【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解函数表示的列表法某通信运营商推出了一款套餐，每月的前30min通话费用为0.3元/min，30～60min通话费用为0.2元/min，60min之后通话费用为0.1元/min，每月基本消费20元．为了方便顾客参考，工作人员将总通话费用y与通话时间x（选取了不同的时间节点）之间的关系列成了表格，如表3-1所示．表3-1想一想，这样的表示方法有何特点？像这样，用表格来表示两个变量间函数关系的方法称为列表法．列表法的优点是容易查找与自变量相对应的函数值，缺点是所列数据一般不完整．【学生】聆听、思考、记忆【教师】根据知识的整体性拓展知识【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例2小明外出时叫了一辆出租车，出租车起步价为10元，收费标准为2元/km，不足1km按1km收费，总车费为行驶里程数的函数．当车辆行驶里程在5以内（含5km例2解．（1）根据题意可得函数的解析式为，故用解析法表示该函数应为，．根据收费标准，分别计算出行驶1～5km时应付的总车费，列成表格，如表3-2所示．【学生】聆听、思考、记忆【头脑风暴】【教师】提出问题根据课本的生活中数学，你能用解析法表示每月通话60min之后的总通话费用吗？【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】总结学生的回答【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解函数表示的图像法在医院里，护理人员每天都要在相同的时间点测量住院患者的体温，并将测得的数据作为点的坐标，将这些点连成曲线（见图3-1），可体现出患者体温随时间的变化趋势，以供医生参考，为医生诊断病情提供依据．图3-1观察图3-1，你能从中得出什么结论？这种表示患者体温与时间之间关系的方法有何特点？图3-1反映了患者体温与时间之间的变化关系，每天相同的时间点都有唯一的体温T与之相对应．像这样，用图像来表示两个变量间函数关系的方法称为图像法．图像法的优点是能直观形象地展现出函数的变化情况．为了研究函数的某些性质，往往要画出函数的图像，以便观察函数的变化趋势和它自身的一些特点．若已知函数的解析式，则可以通过描点法作出函数的图像，具体步骤如下．（1）确定函数的定义域．（2）选取若干具有代表性的自变量x的值．（3）以自变量x的值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点．（4）根据函数的具体情况确定是否需要将描出的点连接成光滑的曲线．【学生】聆听、思考、记忆【教师】根据知识的整体性拓展知识【头脑风暴】【教师】提出问题生活中还有哪些函数关系适合用图像法来表示？什么样的函数需要将点连接成光滑的曲线？什么样的函数不需要？请举例【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】总结学生的回答【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3商店销售某种笔，每支售价为2.5元，应付款是购买支数的函数，当购买支数在5支以内（含5例3解（2）以表3-3中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在如图3-2所示的直角坐标系中依次描出点，，，，，即为该函数的图像．图3-2例4用描点法作出函数的图像，并判断点是否位于该图像上．例4解（1）确定定义域：要使函数有意义，必须保证，即，所以函数的定义域为．（2）列出表格，如表3-4所示．（3）作图：以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，便得到了该函数的图像，如图3-3所示．图3-3（4）判断：由于，所以点位于该图像上。【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握函数的三种表示方法课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：超市里瓜子的价格是16元/kg，应付款y（元）是购买瓜子重量x（kg）的函数，请分别用解析法和图像法表示这个函数．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体