第四章 空间问题的基本理论

第四章

空间问题的基本理论

空间问题的数学描述

已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；

15个未知函数——6个应力分量：

6个应变分量，三个位移分量：

u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。

分析空间问题时，仍然要从三个方面来考虑：静力学方面，几何学方面和物理学方面。第四章

空间问题的基本理论§3-1平衡微分方程

在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同样可以得出第四章

空间问题的基本理论列出x轴方向的力的平衡方程

由其余两个平衡方程和可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）第四章

空间问题的基本理论§3-2几何方程和连续性方程

在平面问题里，通过研究oxy平面内平行于x、y轴两微元线素的变形得到几何方程，用同样方法研究另外两平面线素的变形可得到类似的方程。综合起来，得到空间问题的几何方程。

与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程或协调方程），在空间问题里表示为第四章

空间问题的基本理论

第一个方程式在平面问题中已作过推导。类似地可得到第二、第三个方程式。现在推导第四个方程式。由空间问题的几何方程式，有

将以上后三式相加，并与第一式比较，便得到连续性方程的第四式。其余各式可由第一式、第四式轮换字母得到。第四章

空间问题的基本理论§3-3物理方程

各向同性弹性体的物理方程用应变表示应力的物理方程为式中[D]—弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第四章

空间问题的基本理论用应力表示应变的物理方程为式中显然，有第四章

空间问题的基本理论下面推导空间物理方程的另一种表达形式。将展开，并将其前三式相加，得或式中e

—体积应变

m

—平均应力K—体积弹性常数—体积弹性定律令则物理方程可写成如下形式第四章

空间问题的基本理论及

各种弹性常数之间的关系其中

、G—拉密常数第四章

空间问题的基本理论§3-4边界条件

位移边界条件在Su上应力边界条件将平面问题应力边界条件推广到空间问题，可得第四章

空间问题的基本理论

如果是用位移法求解，还应把应力边界条件用位移来表示。将几何关系式代入物理关系式，有在S

上

和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分为三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。第四章

空间问题的基本理论小结

对于空间问题，共有15个未知函数：6个应力分量

；

6个应变分量；3个位移分量。这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。第四章

空间问题的基本理论在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件在应力边界问题中，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。

在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件，而另一些边界条件是应力边界条件。在S

上在Su上第四章

空间问题的基本理论§3-5物体内任一点的应力状态

已知物体在任一点P的六个应力分量，试求经过P点的任一斜面上的应力。令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为

设三角形ABC的面积为

S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为l

S

、m

S、n

S。四面体PABC的体积用

V表示。三角形ABC上的应力在坐标轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根据四面体的平衡条件，得第四章

空间问题的基本理论除以

S，移项后，得

当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以

V/

S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件可以得出其余两式。设三角形ABC上的正应力为N,则由投影可得将上式代入，得第四章

空间问题的基本理论设三角形ABC上的剪应力为N，由于所以有

在物体的任意一点，如果已知六个应力分量就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。

在特殊情况下，如果ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分量，于是得出即弹性体的应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。第四章

空间问题的基本理论主应力与主方向

设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主方向。在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽管应力分量随着坐标系改变）。应力状态不变量第四章

空间问题的基本理论§3-6按位移求解空间问题

将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程。

按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数。对空间问题来说，要从15个基本方程中消去应力分量和应变分量