《高职应用数学》教案 第29课 多元函数的概念、极限与连续性

第29课多元函数的概念、极限与连续性课题多元函数的概念、极限与连续性课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解多元函数的概念、定义和图形2．理解二元函数的极限，并掌握其运算法则3．理解二元函数的连续性思政育人目标：通过学习多元函数的概念、极限与连续性，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：多元函数的概念及其几何意义教学难点：掌握二元函数极限的运算法则教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（20min）→课堂测验（13min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→互助指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是二元函数？（2）什么是二元函数的极限？（3）什么是二元函数的连续性?【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（20min）【教师】通过实例引出多元函数的概念实例1具有一定质量的理想气体，其体积V，压强P，热力学温度实例1（是常数）．这里有三个变量，当和每取一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强与之对应．若考虑等温过程，即保持不变，则只随的变化而变化，此时压强是体积的一元函数．实例2设长方体的边长分别为，则长方形的体积为实例2．【教师】介绍多元函数的定义，并通过例题介绍二元函数定义域的求法定义1设有三个变量，若变量在某一范围内任取一对值，按照一定的法则，变量z总有唯一确定的值与其对应，则称变量是变量的二元函数，记作．其中，称为自变量，称为因变量．自变量的取值范围称为函数的定义域．二元函数在点处的函数值记为或或．类似于二元函数的定义，我们可以给出三元函数、四元函数甚至多元函数的定义，我们把二元及二元以上的函数统称为多元函数．一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，而二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的平面区域．围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域．常见的区域如下：（1）矩形域；（2）圆域．圆域一般又称为平面上点的邻域，记作，而称不包含点的邻域为空心邻域，记作．若区域可以被包含在以原点为圆心，以一定长为半径的圆内，则称为有界区域，否则称为无界区域．二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找出使函数有意义的自变量的范围，不过定义域的图形要复杂一些．例1求二元函数的定义域．例1解要使函数有意义，应有，即．因此，函数的定义域为．例2求二元函数的定义域．例2解该函数的定义域应满足，即，于是．因此，函数的定义域为．【教师】介绍二元函数的图形二元函数的图形在空间直角坐标系中表示一个曲面，如图6-10所示．图6-10，当点在中移动时，对应点的轨迹就是函数的几何图形，它通常是一个曲面，而其定义域就是此曲面在平面上的投影．例如，二元函数表示球心在原点，半径为的上半球面，其定义域为．【学生】理解二元函数的概念、定义和图形，掌握二元函数定义域的求法；理解二元函数的图形学习二元函数的概念、定义和图形。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（13min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解二元函数极限的定义，并通过例题介绍其运算法则总趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数当时的极限，记作或．二元函数的极限也有与一元函数类似的运算法则．例3求极限．例3解．（例4、例5详见教材）【教师】讲解二元函数连续性的定义定义3设函数在点的某邻域内有定义，若，则称二元函数在点处连续．若在区域内的每一点处都连续，则称在区域内连续，或称是内的连续函数．若函数在点处不连续，则称为函数的不连续点或间断点．与一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）及复合函数仍是连续函数．多元初等函数在其定义域内连续．【学生】理解二元函数极限的定义，并掌握其运算法则；理解二元函数连续性的定义学习二元函数极限和连续性的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了多元函数的概念、定义和图形，以及二元函数极限的定义，并掌握了其运算法则，还理解了二元函数的连续性的定义，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题6-2总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学习链接【学生】登录文旌课堂APP或其他学习平台查看相关知识链接，完成课后任务延展知识面